自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记 .pdf

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1、自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记 前 言 概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。预备知识 （一）加法原则（一）加法原则 引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有 3

2、 种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。【答疑编号：10000101 针对该题提问】解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共 5 种。它是由第一类的 3 种方法与第二类的 2 种方法相加而成。一般地有下面的加法原则：办一件事，有 m 类办法，其中：第一类办法中有 n1种方法；第二类办法中有 n2种方法；第 m 类办法中有 nm种方法；则办这件事共有种方法。（二）乘法原则（二）乘法原则 引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上

3、海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？【答疑编号：10000102 针对该题提问】解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共 6 种，它是由第一步由北京到天津的 3 种方法与第二步由天津到上海的 2 种方法相乘 3 2=6 生成。一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分 m 个步骤进行，其中：第一步骤的方法有 n1种；第二步骤的方法有 n2种；第 m 步骤的方法有 nm种；则办这件事共有种方法。（三）排列（数）：（三）排列（数）：从 n 个不同的元素中，任取其中 m 个排成与顺序有关的一排的方法数叫

4、排列数，记作或。排列数的计算公式为：例如：（四）组合（数）：（四）组合（数）：从 n 个不同的元素中任取 m 个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。组合数的计算公式为 例如：=45 组合数有性质 （1），（2），（3）例如：例一，袋中有 8 个球，从中任取 3 个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103 针对该题提问】解：任取出三个球与所取 3 个球顺序无关，故方法数为组合数 （种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）从中任取 3 件，求所取 3 件中有 2 件正品 1 件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104 针对该题提问】解：第一步在 5 件正品中取 2 件

5、，取法有 （种）第二步在 3 件次品中取 1 件，取法有 （种）由乘法原则，取法共有 10 3=30（种）第一章 随机事件与随机事件的概率 1.1 随机事件随机事件 引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下 则出现两次面向相同的事件 A 与两次面向不同的事件 B 都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6 则出现偶数点的事件 A，点数4 的事件 B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件（一）随机事件：在

6、一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用 A、B、C 表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用 表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件（二）基本（随机）事件 随机试验的每

7、一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用 表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数 1,2,3,4,5,6 分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作，当然 是必然事件。（三）随机事件的关系（三）随机事件的关系 （1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B发生，就说事件 B包含事件 A，记作。例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数2，B 表示掷出的点数3。A=1，2，B=1，2，3。所以 A 发生则必然导致 B发生。显然有 （2）事件的相等：若，且就记 A=B，即 A 与 B相等，事件 A 等于事件 B，表示 A 与 B实际上是同一事件

8、。（四）事件的运算（四）事件的运算 （1）和事件：事件 A 与事件 B中至少有一个发生的事件叫事件 A 与事件 B的和事件，记作：或 A+B 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3 则和事件 A+B=1，2，3，5 显然有性质 若，则有 A+B=B A+A=A （2）积事件：事件 A 与事件 B都发生的事件叫事件 A 与事件 B的积事件，记作：AB或 AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则 AB=1，3 显然有性质：若，则有 AB=A AA=A （3）差事件：事件 A 发生而且事件 B不发生的事件叫事件 A 与事件 B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=

9、1，3，5；B=1，2，3，则 A-B=5 显然有性质：若，则有 A-B=A-B=A-AB （4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B不能都发生，就说事件 A 与事件 B互不相容（或互斥）即 AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=2，4 AB=（5）对立事件：事件 A 不发生的事件叫事件 A 的对立事件。记作 例如，掷一次骰子，A=1，3，5，则 显然，对立事件有性质：注意：A 与 B对立，则 A 与 B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中 A 表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A 与 B互不相容，但不对立。下面图 1.1 至图 1.6 用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表

10、示必然事件或样本空间。图 1.1 表示事件事件 A 图 1.2 阴影部分表示 A+B 图 1.3 阴影部分表示 AB 图 1.4 阴影部分表示 A-B 图 1.5 表示 A 与 B互不相容 图 1.6 阴影部分表示 事件的运算有下面的规律：（1）A+B=B+A，AB=BA 叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC （A+B）（A+C）=A+BC 叫分配律（4）叫对偶律 例 1，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示以下事件。（1）A，B，C 三事件中，仅事件 A 发生 【答疑编号：10010101 针对该题提问】（2

11、）A，B，C 三事件都发生 【答疑编号：10010102 针对该题提问】（3）A，B，C 三事件都不发生 【答疑编号：10010103 针对该题提问】（4）A，B，C 三事件不全发生 【答疑编号：10010104 针对该题提问】（5）A，B，C 三事件只有一个发生 【答疑编号：10010105 针对该题提问】（6）A，B，C 三事件中至少有一个发生 【答疑编号：10010106 针对该题提问】解：（1）（2）ABC （3）（4）（5）（6）A+B+C 例 2.某射手射击目标三次：A1表示第 1 次射中，A2表示第 2 次射中，A3表示第 3 次射中。B0表示三次中射中 0 次，B1表示三次中射

12、中 1 次，B2表示三次中射中 2 次，B3表示三次中射中 3 次，请用 A1、A2、A3的运算来表示 B0、B1、B2、B3 【答疑编号：10010107 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例 3，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且 C 不发生 【答疑编号：10010108 针对该题提问】（2）A 与 B至少有一个发生而且 C 不发生 【答疑编号：10010109 针对该题提问】（3）A，B，C 都发生或 A，B，C 都不发生 【答疑编号：10010110 针对该题提问】（4）A，B，C 中最多有一个发生 【答疑编号：10010111 针

13、对该题提问】（5）A，B，C 中恰有两个发生 【答疑编号：10010112 针对该题提问】（6）A，B，C 中至少有两个发生 【答疑编号：10010113 针对该题提问】（7）A，B，C 中最多有两个发生 【答疑编号：10010114 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记 AB+AC+BC （7）简记 例 4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3 求（1）A+B；【答疑编号：10010115 针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116 针对该题提问】（3）；【答疑编号：10010117 针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010118

14、针对该题提问】（5）；【答疑编号：10010119 针对该题提问】（6）；【答疑编号：10010120 针对该题提问】（7），【答疑编号：10010121 针对该题提问】（8）。【答疑编号：10010122 针对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6 由本例可验算对偶律，=，=正确 例 5，（1）化简；【答疑编号：10010123 针对该题提问】（2）说明 AB与是否互斥 【答疑编号：10010124 针对该题提问】解：（1）（2）例 6.A，B，C

15、为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125 针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010126 针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127 针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128 针对该题提问】解：（1）ABC 表示事件 A，B，C 都发生的事件 （2）表示 A，B都发生且 C 不发生的事件 （3）AB表示事件 A 与 B都发生的事件，对 C 没有规定，说明 C 可发生，也可不发生。AB表示至少 A 与 B都发生的事件 （4）所以也可以记 AB表示，ABC 与 中至少有一个发生的事件。例 7.A，B，C 为三事件，说明（AB+BC+AC）与

16、是否相同。【答疑编号：10010129 针对该题提问】解：（1）表示至少 A，B发生 它表示 A，B，C 三事件中至少发生二个的事件。（2）表示 A，B，C 三事件中，仅仅事件 A 与事件 B发生的事件 表示 A，B，C 三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。1.2 随机事件的概率随机事件的概率 （一）频率：（一）频率：（1）在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生了nA次，则事件 A 发生的次数 nA叫事件 A 发生的频数。（2）比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A），即 历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用 A 表示出现正

17、面的事件：试验人 n nA fn（A）摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 从上表可见，当试验次数 n 大量增加时，事件 A 发生的频率 fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件 A 的频率fn（A）的稳定值大约是 0.5。（二）概率：（二）概率：事件 A 出现的频率的稳定值叫事件 A 发生的概率，记作 P（A）实际上，用上述定义去求事件 A 发生的概率是很困难的，因为求 A 发生的频率 fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们

18、提供猜想事件 A 发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件 A 发生的概率 P（A）就是事件 A 发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我们不加证明地介绍事件 A 的概率 P（A）有下列性质：（1）0P（A）1 （2）P（）=1，P（）=0 （3）若 A 与 B互斥，即 AB=，则有 P（A+B）=P（A）+P（B）若 A1，A2，An互斥，则有 （三）古典概型：（三）古典概型：若我们所进行的随机试验有下面两个特点：（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有 6 个，假设

19、骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是 1/6，所以相等，这种试验是古典概型。下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为 n，A 为随机事件，其中所含的样本点数为 r 则有公式：例 1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件 A 的概率。【答疑编号：10010201 针对该题提问】解：样本空间为=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5 n=6,r=3 例 2.掷三次硬币，设 A 表示恰有一次出现正面，B 表示三次都出现正面，C 表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；【答疑编号：10010202 针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010203 针

20、对该题提问】（3）P（C）【答疑编号：10010204 针对该题提问】解：样本空间=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1）（2）（3）由于在古典概型中，事件 A 的概率 P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数 n 和事件 A 包含的样本点的个数 r 就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出 n 与 r 的数值即可。例 3，从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数码中，取出三个不同的数码，求所取 3 个数码不含 0 和 5 的事件 A 的概率。【答疑编号：1

21、0010205 针对该题提问】解：从 10 个不同数码中，任取 3 个的结果与顺序无关，所以基本事件总数 A 事件中不能有 0 和 5，所以只能从其余 8 个数码中任取 3 个，所以 A 中的基本事件 例 4，从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件 A 的概率。【答疑编号：10010206 针对该题提问】解：（1）第一次取一个数字的方法有 9 种；第二次取一个数字的方法与第一次相同也是 9 种；由乘法原则，知两次所取的数字方法有 9 9=92（种）每一种取法是一个基本事件，所以 n=92 （2）所取两个数字不同时，相当于从中任

22、取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：也可按（1）的乘法原则求 r，第一次的取法有 9 种，第二次的数字与第 1 次不同，所以只有 8 种，所以取法共有 9 8（种）r=9 8 例 5，袋中有 5 个白球，3 个红球，从中任取 2 个球，求（1）所取 2 个球的颜色不同的事件 A 的概率；【答疑编号：10010207 针对该题提问】（2）所取 2 个球都是白球的事件 B的概率；【答疑编号：10010208 针对该题提问】（3）所取 2 个球都是红球的事件 C 的概率；【答疑编号：10010209 针对该题提问】（4）所取 2 个球是颜色相同的事件的概率。【答疑编号：10010210 针对该题

23、提问】解：袋中共的 8 个球，从中任取 2 个球结果与顺序无关，所以取法共有种，每一种取法的结果是一个基本事件，所以基本事件总数为 （1）分两步取。第一步，在 5 个白球中任取一个，方法数为 5；第二步在 3 个红球中取一个，方法数为 3，根据乘法原则，共有 5 3 种方法，即有 5 3 种结果。（2）从 5 个白球中任取 2 个，结果与顺序无关 取法共有（种）B包含的基本事件共有 r2=10 （3）从 3 个红球中任取 2 个的方法为（种）C 包含的基本事件数 r3=3 （4）所取 2 个球颜色相同的有两类：第一类：2 个球都是白球的方法有（种）第二类：2 个球都是红球的方法有（种）根据加法

24、原则，所取 2 个球是颜色相同的方法共有 10+3=13 种。2 个球颜色相同的事件 D 包含 r4=13 种基本事件。例 6，袋中有 10 件产品，其中有 7 件正品，3 件次品，从中每次取一件，共取两次，求:（1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件 A 的概率。【答疑编号：10010211 针对该题提问】（2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件 B 的概率 【答疑编号：10010212 针对该题提问】解（1）第一次取一件产品的方法有 10 种 不放回，第二次取一件产品的方法有 9 种

25、由乘法原则知，取两次的方法共有 109 种 也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有（种）基本事件总数 n=109 第一次取到正品，第二次取到次品的方法有 73 种，所以事件 A 包含的基本事件有：（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是 10 种，由乘法原则知抽取方法共有 1010=100 种，所以基本事件总数 n=1010=100 第一次取正品方法有 7 种，第二次取次品的方法有 3 种，由乘法原则，事件 B 包含的基本事件共有 例 7，将一套有 1,2,3,4,5 分册的 5 本书随机放在书架的一排上，求 1，2 分册放在一起的事件 A 的概率。【答疑

26、编号：10010301 针对该题提问】解：（1）基本事件总数 n=54321（种）或者为 （2）A 包含的基本事件有（种）例 8，掷两次骰子，求点数和为 7 的事件 A 的概率。【答疑编号：10010302 针对该题提问】解：（1）基本事件总数 n=66=36（种）（2）A=；A 包含的基本事件数 r=6 例 9，从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数码中任取 3 个，排成三位数，求（1）所排成的三位数是偶数的事件 A 的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件B 的概率。【答疑编号：10010303 针对该题提问】解：基本事件总数（个）（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步：第一步，取一个

27、偶数放在个位码位置，取法有 3 种；第二步，将其余 6 个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有种方法。根据乘法原则，事件 A 包含的基本事件数 （2）所排成的三位数的取法也需分两步进行；第一步，取一个奇数放在个位码位置，有 4 种方法。第二步，将其余 6 个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有种。根据乘法原则，事件 B 包含的基本事件数 例 10，袋中有 9 个球，分别标有号码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 从中任取 3 个球，求 （1）所取 3 个球的最小号码为 4 的事件 A 的概率；【答疑编号：10010304 针对该题提问】（2）所取 3 个球的最大号码为

28、4 的事件 B 的概率；【答疑编号：10010305 针对该题提问】解：基本事件总数（个）（1）最小号码为 4 的取法分两步进行 第一步，取出 4 号球，方法只有 1 种 第二步，在 5，6，7，8，9 这 5 个球中任取 2 个，方法数为 A 包含的基本事件 （2）最大码为 4 的取法为：第一步，取出 4 号球方法只有 1 种 第二步，在 1，2，3 号球中任取 2 个，方法数为 B 包含的基本事件 例 11，将两封信投入 4 个信箱中，求两封信在同一信箱的事件 A 的概率。【答疑编号：10010306 针对该题提问】解：（1）先将第一封信投入信箱，有 4 种方法 再将第二封信投入信箱，也有

29、 4 种方法 根据乘法原则共有 44 种方法 基本事件总数 n=44 （2）将两封信同时投入一个信箱，方法有 4 种 A 包含的基本事件数 r=4 例 12，袋中有 10 个球，其中有 6 个白球，4 个红球，从中任取 3 个，求：（1）所取的三个球都是白球的事件 A 的概率 【答疑编号：10010307 针对该题提问】（2）所取三个球中恰有 2 个白球一个红球的事件 B 的概率 【答疑编号：10010308 针对该题提问】（3）所取 3 个球中最多有一个白球的事件 C 的概率 【答疑编号：10010309 针对该题提问】（4）所取 3 个球颜色相同的事件 D 的概率 【答疑编号：100103

30、10 针对该题提问】解：基本事件总数 （1）A 包含的基本事件数 （2）B 包含的基本事件数 （3）C 的基本事件包含两类：第一类，一个白球，二个红球的取法有 第二类，0 个白球，三个红球取法有种 事件 C 包含的基本事件数 （4）事件 D 包含的基本事件有两类：第一类，三个球都是白球的取法有种 第二类，三个球都是红球的取法有种 事件 D 包含的基本事件数（种）（四）概率的加法公式（四）概率的加法公式 请先看下面引例：掷一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3请求：（1）P（A）；【答疑编号：10010311 针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010312 针对该题提问】（3）P（

31、A+B）；【答疑编号：10010313 针对该题提问】（4）P（AB）【答疑编号：10010314 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：特别情形：（1）如果 A 与 B互斥，即 AB=则 P（AB）=0 这时（2）因为 A 与有性质 所以 当上面等式中左边的概率 P（A）不易求得，而且 A 的对立事件的概率则较易计算时，便可以通过容易计算的求难计算的概率 P（A）。例 1 若 P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求 P（B）【答疑编号：10010315

32、针对该题提问】解：因为 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6 例 2，袋中有 10 件产品，其中有 6 件正品，4 件次品，从只任取 3 件，求所取 3 件中有次品的事件 A 的概率。【答疑编号：10010316 针对该题提问】解：A 表示有次品，它包含有 1 件次品，有 2 件次品，有 3 件次品三类事件，计算比较复杂。而对立事件 则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。因为基本事件总数 事件 包含的基本事件 加法公式可推广如下：例 3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0

33、.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求 P（A+B+C）。【答疑编号：10010317 针对该题提问】解：（五）概率的减法公式（五）概率的减法公式 因为，而，而 BA 与明显不相容。特别地，若，则有 AB=A 所以当 例 1，已知 P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 【答疑编号：10010318 针对该题提问】解：例 2，若 A 与 B 互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求 【答疑编号：10010319 针对该题提问】解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8 根据对偶公式 所以 1.31.3 条件概率条件概率 （一）条件概率和乘法公式（一）条件概率和乘法公式

34、 符号叫在事件 B已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，叫条件概率，需要指出 的是 条件概率仍是事件 A 的概率，但是它有条件，条件是以 B已经发生为前提，或者 是以 B已经发生为条件。例 1，某厂有 200 名职工，男、女各占一半，男职工中有 10 人是优秀职工，女职工中有 20 人是优秀职工，从中任选一名职工。用 A 表示所选职工优秀，B 表示所选职工是男职工。求（1）P（A）；【答疑编号：10010401 针对该题提问】（2）P（B）；【答疑编号：10010402 针对该题提问】（3）P（AB）；【答疑编号：10010403 针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010404 针对该题

35、提问】解：（1）（2）（3）AB 表示所选职工既是优秀职工又是男职工 （4）表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时 n=100,r=10 由本例可以看出 事件 A 与事件不是同一事件,所以它们的概率不同,即 由本例还可看出,事件AB与事件也不相同，事件 AB 表示所选职工既是男职工又是优秀职 工，这时基本事件总数 n1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数 n2=100，r=10，所以虽然 P（AB）与不相同，但它们有关系，由本例可以看出 本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：显然有：若 P（A）

36、0 则有 将上面的结果改写为整式有 公式叫概率的乘法公式。例 2，在 10 件产品中，有 7 件正品，3 件次品，从中每次取出一件（不放回），A 表示第一次取出正品，B 表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；【答疑编号：10010405 针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010406 针对该题提问】（3）P（AB）【答疑编号：10010407 针对该题提问】解（1）（2）（3）=例 3，若 P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求 【答疑编号：10010408 针对该题提问】解：例 4，若 P（A）=0.8，P（B）=0.4，求。【答疑编号：10010409 针对该题提问】解：（1）（2

37、）例 5，某人寿命为 70 岁的概率为 0.8，寿命为 80 岁的概率为 0.7，若该人现已 70 岁时，问他能活到 80 岁的概率是多少？【答疑编号：10010410 针对该题提问】解：用 A 表示某人寿命为 70 岁，B 表示某人寿命为 80 岁。已知 P（A）=0.8，P（B）=0.7 由于 因为 所以，已经活到 70 岁的人能活到 80 岁的概率为 0.875 乘法公式可以推广为：例 6，袋中有三件正品，二件次品（）从中每次取出 1 件（不放回）共取 3次，求第 3 次才取到次品的事件 B 的概率。【答疑编号：10010411 针对该题提问】解：用 A1表示第一次取到正品 A2表示第二

38、次取到正品 A3表示第三次取到正品 则 用古典概型计算 P（A1），这时 n1=5，r1=3 再用古典概型计算，这时 n2=4，r2=2 再用古典概型计算，这时 n3=3，r3=2 （二）全概公式 定义：若事件组满足条件（1）互不相容（2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即 就说事件组是样本空间 的一个划分。例如事件组 A 与有所以事件组是样本空间的一个划分。例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组 A1，A2，A3满足：（1）（2）所以事件组 A1，A2，A3是样本空间的一个划分。下面介绍全概公式 设是样本

39、空间 的一个划分，B是一个事件，则有：【答疑编号：10010412 针对该题提问】证：又 B=B 互不相容 也互不相容 用乘法公式上式可改写为 特别地（1）若是 的一个划分，则有 （2）是 的一个划分，所以 全概公式的优点是当 P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求 P（B）例 1，袋中有 5 个球，其中有 3 个红球，2 个白球，从中每次取出一个球（不放回）用A 表示第一次取到红球，B 表示第二次取到红球，求 （1）P（A）；【答疑编号：10010413 针对该题提问】（2）P（B）【答疑编号：10010414 针对该题提问】解：（1）用古典概型 n=5,r=3 （2）直接求

40、P（B）很困难，因为 B 发生的概率与事件 A 发生与之有关，用古典概型容易求得：所以可用全概公式计算 可见第一次，第二次取到红球的概率相同。例 2，已知男人中有 5%是色盲，女人中有 1%是色盲，若人群中男女各半。当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？【答疑编号：10010415 针对该题提问】解：用 B 表示该人是色盲者，A 表示该人是男人.直接求 P（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知 例 3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为 0.03，乙车床的次品率为 0.02，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，

41、求该产品是次品的概率。【答疑编号：10010416 针对该题提问】解：用 B 表示该产品是次品，A 表示该产品由甲车床生产 已知 例 4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为 0.25，被击中一弹的概率为 0.5,被击中二弹的概率为 0.25，若敌机中一弹时被击落的概率为 0.7，敌机中二弹时，被击落的概率为 0.9。求敌机被击落的概率。【答疑编号：10010417 针对该题提问】解：用 AK表示敌机的被击中 K 弹，K=0,1,2；B 表示敌机被击落 已知 显然有 其中 A0,A1,A2是 的一个划分 （三）逆概公式（贝叶斯公式）（三）逆概公式（贝叶斯公式）由 可得 公式 叫逆概公式（贝叶

42、斯公式）当 P（A）,P（B），已知时，可反过来求。例 5，某地七月份下暴雨的概率为 0.7，当下暴雨时，有水量的概率为 0.2；当不下暴雨时，有水量的概率为 0.05，求：（1）该地七月份有水灾的概率.【答疑编号：10010501 针对该题提问】（2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.【答疑编号：10010502 针对该题提问】解：用 B 表示该地七月有水灾；A 表示该地七月下暴雨 已知 （1）（2）例 6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占 50%，次品率为 0.01，乙厂产量占 30%，次品率为 0.02，丙厂产量占 20%，次品率为 0.05，求：（1）该产品的次品率

43、【答疑编号：10010503 针对该题提问】（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。【答疑编号：10010504 针对该题提问】解：用 B 表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。所以表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品 表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品；则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品；则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品；（1）（2）可见，若该产品是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。例 7，甲袋中有 3 个白球，2 个红球，乙

44、袋中有 2 个白球，3 个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：（1）从乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑编号：10010505 针对该题提问】（2）如果从乙袋中取出的球是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少？从甲袋中取出红球的概率是多少？【答疑编号：10010506 针对该题提问】解：用 B 表示从乙袋中取出白球；A 表示从甲袋中取出白球，所以表示从甲袋中取出红球。已知 （1）（2）可见从甲袋中取出白球的可能性大。例 8，已知，求（1）P（AB）；【答疑编号：10010507 针对该题提问】（2）【答疑编号：10010508 针对该题提问】解：（1）（2）例 9，若；

45、求（1）P（B）；【答疑编号：10010509 针对该题提问】（2）P（A+B）【答疑编号：10010510 针对该题提问】解：（1）（2）（3）例 10，已知；求 【答疑编号：10010511 针对该题提问】解：（1）（2）（3）1.41.4 事件的独立性事件的独立性 （一）事件的独立性（一）事件的独立性 （1）定义：若 P（AB）=P（A）P（B），就说事件 A 与事件 B相互独立。（2）A 与 B 独立的性质 性质一，若 A 与 B 独立，则 而若 A 与 B 独立，则 证：A 与 B 独立，P（AB）=P（A）P（B）（1）当 P（A）0 时，（2）当 P（B）0 时，性质一说明 A

46、与 B 相互独立时，A 发生与否，对 B 发生的概率没有影响，而且，B 发生与否也对 A 发生的概率没有影响。性质二，若 A 与 B独立，则有 （1）与独立（2）与 B独立（3）A 与独立 证：用独立性定义：（1）A 与 B 独立，P（AB）=P（A）P（B）由对偶公式 与独立 （2）与 B 相互独立 （3）A 与相互独立 由 A 与 B 独立这一定义可推广有下列结果：若 A，B，C 相互独立，则有 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）若相互独立，则有 例 1.种子的发芽率为 0.98，求三粒种子中至少有一粒发芽的概率。【答疑编号：10010601 针对该题提问】（解一）用 B 表示三粒种子

47、中至少有一粒发芽 A1表示第一粒种子发芽 A2表示第二粒种子发芽 A3表示第三粒种子发芽 很明显，A1，A2，A3相互独立 （解二）用对偶公式 例 2.甲、乙、丙三人独立破译敌码。甲能破译的概率为;乙能破译的概率为;丙能破译的概率为.求密码被破译的概率。【答疑编号：10010602 针对该题提问】解：用 B 表示敌码被破译 B=甲+乙+丙 例 3.某产品由三道工序独立加工而成。第一工序的正品率为 0.98；第二工序的正品率为 0.99；第三工序的正品率为 0.98。求该种产品的正品率和次品率。【答疑编号：10010603 针对该题提问】解：用 B 表示产品是正品 A1表示第一工序是正品 A2表

48、示第二工序是正品 A3表示第三工序是正品 B=A1A2A3 （1）（2）（二）重复独（二）重复独立试验概型立试验概型 先请看引例：某人射击目标的命中率为 P，他向目标射击三枪，求这三枪中恰中二枪的概率。【答疑编号：10010604 针对该题提问】解：用 B 表示射击三枪，恰中二枪的事件 A1表示第一枪击中目标 A2表示第二枪击中目标 A3表示第三枪击中目标 其中 A1，A2，A3独立 由本例可见与，大小相同都是 P2（1-P），总共有三类，相当于从 1，2，3 这三个数中，任取二个的方法数 由本例可以推广为：某人射击目标的命中率为 P（即每次命中率都是 P），他向目标射击 n 枪，则这 n 枪

49、中恰中 k 枪的概率为：P（射击 n 枪，恰中 k 枪）=一般地，有下面普遍结果：如果在每一次试验中，事件 A 发生的概率不变都是 P（A）=p，则在这样的 n 次重复相同的试验中，事件 A 发生 k 次的概率的计算公式为：P（在 n 次重复试验中，A 发生 k 次）=其中 P 表示在每一次试验时，A 的概率，记为 p=P（A），习惯用符号 Pn（k）表示在 n 次重复 试验中，事件 A 发生 k 次的概率。例 1.一射手对目标独立射击 4 次，每次射击的命中率 P=0.8，求 （1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。【答疑编号：10010605 针对该题提问】解：（1）（2）用

50、B 表示至少命中 1 次的事件 则表示最多命中 0 次的事件，故 表示恰好命中 0 次的事件 例 2.五台同类型的机床同时独立工作，每台车床在一天内出现故障的概率 P=0.1，求在一天内：（1）没有机床出现故障的概率；（2）最多有一台机床出现故障的概率。【答疑编号：10010606 针对该题提问】解：（1）所求概率为：（2）所求概率为：例 3.在一次试验中，事件 A 发生的概率为 P（A）=0.7，问至少做多少次试验，才能使事件 A 至少出现 1 次的概率超过 0.99。【答疑编号：10010607 针对该题提问】解：设所需试验次数为 n，它的对立事件为 Pn（0）答：试验次数至少 4 次 例