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1、自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记前言概率论与数理统计是经管类各专业的根底课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论根底，数理统计那么从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。预备知识一加法原那么引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，假设北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，那么坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，假设
2、北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。【答疑编号：10000101针对该题提问】解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。一般地有下面的加法原那么：办一件事，有m类方法，其中：第一类方法中有n1种方法；第二类方法中有n2种方法；第m类方法中有nm种方法；那么办这件事共有种方法。二乘法原那么引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法
3、有多少种？【答疑编号：10000102针对该题提问】解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘32=6生成。一般地有下面的乘法原那么：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；第m步骤的方法有nm种；那么办这件事共有种方法。 三排列数：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。 排列数的计算公式为：例如：四组合数：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。组合
4、数的计算公式为例如：=45组合数有性质 1，2 ，3例如：例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103针对该题提问】解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数种例二，袋中五件不同正品，三件不同次品从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104针对该题提问】解：第一步在5件正品中取2件，取法有种第二步在3件次品中取1件，取法有种由乘法原那么，取法共有103=30种第一章 随机事件与随机事件的概率1.1随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下那么出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的
5、事件B都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6那么出现偶数点的事件A，点数4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。一随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现
6、的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定不出现，它是不可能事件。二根本随机事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫根本随机事件，简称根本领件，也叫样本点，习惯用表示根本领件。例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是根本领件，或叫样本点。全部根本领件叫根本领件组或叫样本空间，记作，当然是必然事件。三随机事件的关系1事件的包含：假设事件A发生那么必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点
7、数2，B表示掷出的点数3。A=1，2，B=1，2，3。所以A发生那么必然导致B发生。显然有2事件的相等：假设，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。四事件的运算 1和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3那么和事件A+B=1，2，3，5显然有性质假设，那么有A+B=BA+A=A2积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，那么AB=1，3显然有性质：假设，那么有AB=AAA=A3差事件
8、：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作A-B例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，那么A-B=5显然有性质：假设，那么有A-B=A-B=A-AB4互不相容事件：假设事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容或互斥即AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB= 5对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5，那么显然，对立事件有性质：注意：A与B对立，那么A与B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。下面图1.1至图1.6用图形直观的表
9、示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间。图1.1表示事件事件A图1.2阴影局部表示A+B图1.3阴影局部表示AB图1.4阴影局部表示A-B图1.5表示A与B互不相容图1.6阴影局部表示事件的运算有下面的规律： 1A+B=B+A，AB=BA叫交换律2A+B+C=A+B+C叫结合律 ABC=ABC3AB+C=AB+ACA+BA+C=A+BC叫分配律4叫对偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。1A，B，C三事件中，仅事件A发生【答疑编号：10010101针对该题提问】2A，B，C三事件都发生【答疑编号：10010102针对该题提问】3A，B，C三事件都不发生【
10、答疑编号：10010103针对该题提问】4A，B，C三事件不全发生【答疑编号：10010104针对该题提问】5A，B，C三事件只有一个发生【答疑编号：10010105针对该题提问】6A，B，C三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106针对该题提问】解：12ABC3456A+B+C例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3【答疑编号：10010107针对该题提问】解：1234例3 ，A，B，C表示
11、三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。1A，B都发生且C不发生【答疑编号：10010108针对该题提问】2A与B至少有一个发生而且C不发生【答疑编号：10010109针对该题提问】3A，B，C都发生或A，B，C都不发生【答疑编号：10010110针对该题提问】4A，B，C中最多有一个发生【答疑编号：10010111针对该题提问】5A，B，C中恰有两个发生【答疑编号：10010112针对该题提问】6A，B，C中至少有两个发生【答疑编号：10010113针对该题提问】7A，B，C中最多有两个发生【答疑编号：10010114针对该题提问】解：123456简记AB+AC+BC7简记例4，假设=1，2
12、，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求1A+B；【答疑编号：10010115针对该题提问】2AB；【答疑编号：10010116针对该题提问】3 ；【答疑编号：10010117针对该题提问】4；【答疑编号：10010118针对该题提问】5；【答疑编号：10010119针对该题提问】6；【答疑编号：10010120针对该题提问】7，【答疑编号：10010121针对该题提问】8 。【答疑编号：10010122针对该题提问】解：1A+B=1，2，3，5；2AB=1，3；3=2，4，6；4=4，5，6；5=4，6；6=2，4，5，6；7=2，4，5，6；8=4，6由本例可验算对偶律，=，=正
13、确例5，1化简；【答疑编号：10010123针对该题提问】2说明AB与是否互斥【答疑编号：10010124针对该题提问】解：12例6.A，B，C为三事件，说明以下表示式的意义。1ABC；【答疑编号：10010125针对该题提问】2；【答疑编号：10010126针对该题提问】3AB；【答疑编号：10010127针对该题提问】4【答疑编号：10010128针对该题提问】解：1ABC表示事件A，B，C都发生的事件2 表示A，B都发生且C不发生的事件3AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。AB表示至少A与B都发生的事件4所以也可以记AB表示，ABC与 中至少有一个发生
14、的事件。例7.A，B，C为三事件，说明AB+BC+AC与是否相同。【答疑编号：10010129针对该题提问】解：1表示至少A，B发生它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。2表示A，B，C三事件中，仅仅事件A与事件B发生的事件表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。1.2随机事件的概率一频率：1在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，那么事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。2比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fnA，即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件： 试验人nnAfnA摩根204810610.518
15、1蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fnA会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fnA的稳定值大约是0.5。二概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作PA实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fnA的稳定值要做大量试验，它的优点是经过屡次的试验后，给人们提供猜测事件A发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率PA就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我
16、们不加证明地介绍事件A的概率PA有以下性质：10PA 12P=1，P=03假设A与B互斥，即AB=，那么有PA+B=PA+PB假设A1，A2，An互斥，那么有三古典概型：假设我们所进行的随机试验有下面两个特点：1试验只有有限个不同的结果；2每一个结果出现的可能性相等，那么这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，那么每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r那么有公式：例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。
17、【答疑编号：10010201针对该题提问】解：样本空间为=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5n=6,r=3 例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：1PA；【答疑编号：10010202针对该题提问】2PB；【答疑编号：10010203针对该题提问】3PC【答疑编号：10010204针对该题提问】解：样本空间=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；1 23 由于在古典概型中，事件A的概率PA的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本
18、空间的样本点总数比拟多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。【答疑编号：10010205针对该题提问】解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以根本领件总数 A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的根本领件 例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。【答疑编号：10010206针对该题提问】解：1第一次取一个数字的方法有9种；第二次取一个数
19、字的方法与第一次相同也是9种；由乘法原那么，知两次所取的数字方法有99=92种每一种取法是一个根本领件，所以n=922所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：也可按1的乘法原那么求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有98种r=98例5，袋中有5个白球，3个红球，从中任取2个球，求1所取2个球的颜色不同的事件A的概率；【答疑编号：10010207针对该题提问】2所取2个球都是白球的事件B的概率；【答疑编号：10010208针对该题提问】3所取2个球都是红球的事件C的概率；【答疑编号：10010209针对该题提问】4所取2个球
20、是颜色相同的事件的概率。【答疑编号：10010210针对该题提问】解：袋中共的8个球，从中任取2个球结果与顺序无关，所以取法共有种，每一种取法的结果是一个根本领件，所以根本领件总数为1分两步取。第一步，在5个白球中任取一个，方法数为5；第二步在3个红球中取一个，方法数为3，根据乘法原那么，共有53种方法，即有53种结果。2从5个白球中任取2个，结果与顺序无关取法共有种B包含的根本领件共有r2=10 3从3个红球中任取2个的方法为种C包含的根本领件数r3=3 4所取2个球颜色相同的有两类：第一类：2个球都是白球的方法有种 第二类：2个球都是红球的方法有种根据加法原那么，所取2个球是颜色相同的方法
21、共有10+3=13种。2个球颜色相同的事件D包含r4=13种根本领件。例6，袋中有10件产品，其中有7件正品，3件次品，从中每次取一件，共取两次，求:1不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。【答疑编号：10010211针对该题提问】2放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率【答疑编号：10010212针对该题提问】解1第一次取一件产品的方法有10种不放回，第二次取一件产品的方法有9种由乘法原那么知，取两次的方法共有109种也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有种根本领件
22、总数n=109第一次取到正品，第二次取到次品的方法有73种，所以事件A包含的根本领件有：2放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种，由乘法原那么知抽取方法共有1010=100种，所以根本领件总数n=1010=100第一次取正品方法有7种，第二次取次品的方法有3种，由乘法原那么，事件B包含的根本领件共有 例7，将一套有1,2,3,4,5分册的5本书随机放在书架的一排上，求1，2分册放在一起的事件A的概率。【答疑编号：10010301针对该题提问】解：1根本领件总数n=54321种或者为2A包含的根本领件有种例8，掷两次骰子，求点数和为7的事件A的概率。【答疑编号：100
23、10302针对该题提问】解：1根本领件总数n=66=36种2A=；A包含的根本领件数r=6 例9，从1，2，3，4，5，6，7这七个数码中任取3个，排成三位数，求1所排成的三位数是偶数的事件A的概率。2所排成的三位数是奇数的事件B的概率。【答疑编号：10010303针对该题提问】解：根本领件总数个1所排成的三位数是偶数的取法需分两步：第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有3种；第二步，将其余6个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有种方法。根据乘法原那么，事件A包含的根本领件数2所排成的三位数的取法也需分两步进行；第一步，取一个奇数放在个位码位置，有4种方法。第二步，将其余
24、6个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有种。根据乘法原那么，事件B包含的根本领件数例10，袋中有9个球，分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9从中任取3个球，求1所取3个球的最小号码为4的事件A的概率；【答疑编号：10010304针对该题提问】2所取3个球的最大号码为4的事件B的概率；【答疑编号：10010305针对该题提问】解：根本领件总数个1最小号码为4的取法分两步进行第一步，取出4号球，方法只有1种第二步，在5，6，7，8，9这5个球中任取2个，方法数为A包含的根本领件2最大码为4的取法为：第一步，取出4号球方法只有1种第二步，在1，2，3号球中任取2个，方法数为B包含的根本领
25、件例11，将两封信投入4个信箱中，求两封信在同一信箱的事件A的概率。【答疑编号：10010306针对该题提问】解：1先将第一封信投入信箱，有4种方法再将第二封信投入信箱，也有4种方法根据乘法原那么共有44种方法根本领件总数n=442将两封信同时投入一个信箱，方法有4种A包含的根本领件数r=4例12，袋中有10个球，其中有6个白球，4个红球，从中任取3个，求：1所取的三个球都是白球的事件A的概率【答疑编号：10010307针对该题提问】2所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率【答疑编号：10010308针对该题提问】3所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率【答疑编号：10010309针
26、对该题提问】4所取3个球颜色相同的事件D的概率【答疑编号：10010310针对该题提问】解：根本领件总数1A包含的根本领件数2B包含的根本领件数3C的根本领件包含两类：第一类，一个白球，二个红球的取法有第二类，0个白球，三个红球取法有种事件C包含的根本领件数4事件D包含的根本领件有两类：第一类，三个球都是白球的取法有种第二类，三个球都是红球的取法有种事件D包含的根本领件数种四概率的加法公式请先看下面引例：掷一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3请求：1PA；【答疑编号：10010311针对该题提问】2PB；【答疑编号：10010312针对该题提问】3PA+B；【答疑编号：10010313针对
27、该题提问】4PAB【答疑编号：10010314针对该题提问】解：1 23 4 由本例看出，PA+B=PA+PB-PAB，本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：特别情形： 1如果A与B互斥，即AB=那么PAB=0这时2因为A与有性质所以 当上面等式中左边的概率PA不易求得，而且A的对立事件的概率那么较易计算时，便可以通过容易计算的求难计算的概率PA。例1假设PA=0.5，PA+B=0.8，PAB=0.3，求PB【答疑编号：10010315针对该题提问】解：因为PA+B=PA+PB-PABPB=PA+B+PAB-PA=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件产品，其中有6件
28、正品，4件次品，从只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。【答疑编号：10010316针对该题提问】解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比拟复杂。而对立事件 那么表示没有次品，即都是正品的事件，比拟简单。因为根本领件总数事件 包含的根本领件加法公式可推广如下：例3，PA=0.4，PB=0.5，PC=0.4，PAB=0.2，PAC=0.24，PBC=0，求PA+B+C。【答疑编号：10010317针对该题提问】解： 五概率的减法公式 因为，而，而BA与明显不相容。特别地，假设，那么有AB=A所以当例1 ，PB=0.8，PAB=0.5，求 【答疑编号：10
29、010318针对该题提问】解：例2，假设A与B互不相容，PA=0.5，PB=0.3，求【答疑编号：10010319针对该题提问】解：1PA+B=PA+PB=0.8根据对偶公式所以 1.3条件概率一条件概率和乘法公式 符号叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率，需要指出的是条件概率仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B已经发生为条件。 例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。求1PA；【答疑编号：10010401针对该题提问】2
30、PB；【答疑编号：10010402针对该题提问】3PAB；【答疑编号：10010403针对该题提问】4；【答疑编号：10010404针对该题提问】解：123AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工 4表示所选职工是男职工。在所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10 由本例可以看出事件A与事件不是同一事件,所以它们的概率不同,即 由本例还可看出,事件AB与事件也不相同，事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职工，这时根本领件总数n1=200，r=10。而事件 那么表示所选职工是男职工，所以根本领件总数n2=100，r=10，所以虽然PAB与不相同，但它们有关系，由本例可
31、以看出本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：显然有：假设PA0那么有将上面的结果改写为整式有 公式叫概率的乘法公式。 例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件不放回，A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：1PA；【答疑编号：10010405针对该题提问】2；【答疑编号：10010406针对该题提问】3PAB【答疑编号：10010407针对该题提问】解123 = 例3，假设PAB=0.3，PB=0.5，求【答疑编号：10010408针对该题提问】解： 例4，假设PA=0.8，PB=0.4，求。【答疑编号：10010409针对该题提问】解：12例
32、5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，假设该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？【答疑编号：10010410针对该题提问】解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。PA=0.8，PB=0.7由于因为所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875乘法公式可以推广为：例6，袋中有三件正品，二件次品从中每次取出1件不放回共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。【答疑编号：10010411针对该题提问】解：用A1表示第一次取到正品A2表示第二次取到正品A3表示第三次取到正品那么用古典概型计算PA1，这时n1=5，r1=3再用古典概型计算，这时
33、n2=4，r2=2再用古典概型计算，这时n3=3，r3=2二全概公式 定义：假设事件组满足条件1互不相容2在一次试验中，事件组中至少发生一个，即 就说事件组是样本空间的一个划分。例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，那么事件组A1，A2，A3满足：12所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。下面介绍全概公式 设是样本空间的一个划分，B是一个事件，那么有：【答疑编号：10010412针对该题提问】证： 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改写为特别地1假设是的
34、一个划分，那么有2是的一个划分，所以全概公式的优点是当PB不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求PB例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白球，从中每次取出一个球不放回用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求1PA；【答疑编号：10010413针对该题提问】2PB【答疑编号：10010414针对该题提问】解：1用古典概型n=5,r=32直接求PB很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得：所以可用全概公式计算可见第一次，第二次取到红球的概率相同。例2，男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，假设人群中男女各半。当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？
35、【答疑编号：10010415针对该题提问】解：用B表示该人是色盲者，A表示该人是男人.直接求PB比拟困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但例3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为0.03，乙车床的次品率为0.02，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。【答疑编号：10010416针对该题提问】解：用B表示该产品是次品，A表示该产品由甲车床生产 例4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为0.25，被击中一弹的概率为0.5,被击中二弹的概率为0.25，假设敌机中一弹时被击落的概率为0.7，敌机中二弹时，被击落的概率
36、为0.9。求敌机被击落的概率。【答疑编号：10010417针对该题提问】解：用AK表示敌机的被击中K弹，K=0,1,2；B表示敌机被击落显然有其中A0,A1,A2是的一个划分三逆概公式贝叶斯公式由 可得公式叫逆概公式贝叶斯公式当PA,PB，时，可反过来求。例5，某地七月份下暴雨的概率为0.7，当下暴雨时，有水量的概率为0.2；当不下暴雨时，有水量的概率为0.05，求：1该地七月份有水灾的概率.【答疑编号：10010501针对该题提问】2当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.【答疑编号：10010502针对该题提问】解：用B表示该地七月有水灾；A表示该地七月下暴雨12例6，某种产品分别由甲、乙
37、、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：1该产品的次品率【答疑编号：10010503针对该题提问】2假设任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。【答疑编号：10010504针对该题提问】解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。所以表示产品甲厂产品时，该产品是次品表示产品是乙厂产品时，该产品是次品。表示该产品是丙厂产品时，该产品是次品。那么表示产品是次品时，它是甲厂产品；那么表示产品是次品时，它是乙厂产品；那么表示产品是次品时，它是丙厂产品
38、；12可见，假设该产品是次品，那么此次品是丙厂产品的可能性最大。例7，甲袋中有3个白球，2个红球，乙袋中有2个白球，3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：1从乙袋中取出的球是白球的概率；【答疑编号：10010505针对该题提问】2如果从乙袋中取出的球是白球，那么这时从甲袋中取出白球的概率是多少？从甲袋中取出红球的概率是多少？【答疑编号：10010506针对该题提问】解：用B表示从乙袋中取出白球；A表示从甲袋中取出白球，所以表示从甲袋中取出红球。 12 可见从甲袋中取出白球的可能性大。例8，求1PAB；【答疑编号：10010507针对该题提问】2【答疑编号：10010508针对该题提问】解：1