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1、2012 年 10 月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对全国2012 年 10 月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。一点说明：本次串讲所使用的课本是2006 年 8 月第一版。二、考点分析1. 总体印象对本
2、套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。内容比较常规： 概率分数偏高，共74 分；统计分数只占26 分，与今年7 月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同； 除回归分析仅占2 分外，对课本中其他各章内容都有涉及；几乎每道题都可以在课本上找到出处。如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24 分，中等题目约占 60 分，稍偏难题目约占16 分，包括计算量比较大额题目。2. 考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18 分，一维随机变量（包括数字特征）约22 分，二维随机变量（包括数字特征）约30 分，大数定律4 分，统计量及其分布
3、6 分，参数估计6 分，假设检验12 分，回归分析 2 分。考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1. 已知事件A，B，AB的概率分别为0.5 ，0.4 ， 0.6 ，则P（A） = A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5 918150101【答案】 B 【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.5 0.3 0.
4、2 ，故选择B. 快解 用 Venn图可以很快得到答案：【提示】 1. 本题涉及集合的运算性质：（i ）交换律：AB=BA,AB=BA；（ii ）结合律：（AB）C=A（BC）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）；（iv ）摩根律（对偶律）,. 2. 本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与 B不能同时发生，称事件A与 B互不相容或互斥，可表示为AB，且 P（AB） =P（A）+P（B）. 3. 本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2. 设F（x）为随机变量X的分布函数，则有A.F（ -）
5、 =0，F（+） =0 B.F（-） =1，F（+） =0 C.F（ -） =0，F（+） =1 D.F（-） =1，F（+） =1 918150102【答案】 C 【解析】根据分布函数的性质，选择C。【提示】分布函数的性质： 0 F（x）1； 对任意 x1，x2（x1x2），都有Px10. 如果二维随机变量 （X,Y）的概率密度为，则称（ X,Y）服从区域D上的均匀分布 . 本题 x2+y21 为圆心在原点、半径为1 的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=，故选择 D. 【提示】 课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。 若 （X,Y）服从二维正态分布，
6、表示为（X,Y）. 4. 设随机变量X服从参数为2 的指数分布，则E（ 2X1） = A.0 B.1 C.3 D.4 918150104【答案】 A 【解析】因为随机变量X服从参数为2 的指数分布，即 =2，所以；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0 ，故选择 A. 【提示】 1. 常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X0 1 概率q p A. 两点分布 分布列 数学期望： E（X） =P 方差： D（ X ）=pq。B. 二项分布： XB（ n,p ） 分布列：， k=0，1，2， n； 数学期望： E（X） =np 方差： D（ X ）=npq C.
7、 泊松分布： XP（ ） 分布列：，k=0，1， 2， 数学期望： E（X） = 方差： D（ X ） （2） 常用连续型随机变量的分布A.均匀分布： X Ua,b 密度函数：, 分布函数：， 数学期望： E（X）, 方差： D（ X ）. . 指数分布： XE（ ） 密度函数：, 分布函数：， 数学期望： E（X）, 方差： D（ X ）. C.正态分布（A）正态分布： XN（, 2） 密度函数：， x 分布函数： 数学期望： E（X） , 方差： D（X） 2， 标准化代换：若 XN（, 2），则 YN（0,1 ）. （B）标准正态分布：XN（0,1 ） 密度函数：， x 分布函数：， x
8、0, 则 P（B|A）=P（B）. 12. 设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B） =，则P（|）=_. 918150202【答案】【解析】，由 1 题提示有，所以，所以，故填写. 【提示】条件概率：事件B （P（B）0）发生的条件下事件A发生的概率；乘法公式P（AB ） =P（B） P （A|B）。13. 已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A） =0.2 ，则P（B）=_. 918150203【答案】 0.8 【解析】，所以 P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写 0.8. 【提示】本题给出一个结论：若，则有. X1 2 3 4 5 ，P2a0.1 0.
9、3 a0.3 14. 设随机变量X的分布律则a=_. 918150204【答案】 0.1 【解析】 2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3 ，所以 a=0.1 ，故填写0.1. 【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2， 3，（1） pk0， k1，2，3，；（2）；（3）. 15. 设随机变量XN（1， 22），则P- 1X3=_.（附：（1） =0.8413 ）【答案】 0.6826 918150205【解析】（1）- （-1 ） =2（1）-1=20.8413 -1=0.6826 【提示】注意：正态分布标准化代换为
10、必考内容 . 16. 设随机变量X服从区间 2 ， 上的均匀分布，且概率密度f（x）=则 =_. 918150206【答案】 6 【解析】根据均匀分布的定义，-2=4，所以 =6，故填写6. 17. 设二维随机变量（X，Y）的分布律0 1 2 0 0.1 0.15 0 1 0.25 0.2 0.1 2 0.1 0 0.1 则 PX=Y=_. 918150207【答案】 0.4 【解析】 PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4 故填写 0.4. 18. 设二维随机变量（X，Y）N（0， 0，1，4，0），则X的概率密度fX（x）=_. 91
11、8150208【答案】， - x0 （1,2, ,n ）； A1A2An=，则对于 内的任意事件B，都有；（2）贝叶斯公式：条件同A，则，I=1,2, ,n 。（3）上述事件A1,A2, ,An构成空间 的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。27. 已知二维随机变量（X，Y）的分布律-1 0 1 0 0.3 0.2 0.1 1 0.1 0.3 0 求：（ 1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）. 918150302【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（ 1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有X的边缘分布律为X0 1 P0.6
12、0.4 Y的边缘分布律为Y1 0 1 P0.4 0.5 0.1 （2）由（ 1）有E（X）=00.6+10.4=0.4 ，E（Y）=（-1 ）0.4+00.5+10.1=-0.3 又+1（-1 ）0.1+100.3+110= -0.1所以 cov（X,Y）=E （ XY ）-E（X）E （Y）=-0.1-0.4 （-0.3 ）=0.02 。【提示】协方差：A）定义：称E（X-E（X）（ Y=E（Y）为随机变量X与 Y的协方差。记做Cov（ X,Y）. B）协方差的计算 离散型二维随机变量：； 连续性二维随机变量：； 协方差计算公式：cov（X,Y）=E（ XY ）-E（X）（ Y）； 特例：
13、cov（X,Y） =D （X） . C）协方差的性质：Cov（ X,Y） Cov（ Y,X）；Cov（ aX,bY） abCov（X,Y），其中 a，b 为任意常数；Cov（ X1+X2,Y） Cov（X1,Y） Cov（X2,Y）；若 X与 Y相互独立， Cov（X,Y） 0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；四、综合题（本大题共2 小题，每小题12 分，共 24 分）28. 某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布N（75，2），已知 85 分以上的考生数占考生总数的5% ，试求考生成绩在65 分至 85 分之间的概率. 918150303【
14、分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量X，已知 XN（75, 2），且其中ZN0,1。所以。因此，考生成绩在65 分至 85 分之间的概率约为0.9. 29. 设随机变量X服从区间 0 ，1 上的均匀分布，Y服从参数为1 的指数分布，且X与Y相互独立 . 求：（ 1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）PXY. 918150304【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知 XU0,1，YE（1），（1）X的概率密度函数为，Y的概率密度函数为（2）因为X与Y相互独立，所以f （x,y ）=f （x
15、）f （y），则, （3）积分区域D如图所示，则有D：【提示】 1. 1. 随机变量X ，Y相互独立。2. 二重积分化二次积分的方法。3. 定积分的第一换元法。五、应用题（10 分）30. 某种产品用自动包装机包装，每袋重量XN（ 500，22）（单位： g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验. 某天开工后抽取了9 袋产品，测得样本均值=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常（=0.05 ）? （附：u0.025=1.96 ） 918150305【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。【解析】设假设检验的假设H0：=0=500；H1： 0=500，已知 X
16、N（500,22），所以选择适合本题的统计量u统计量，由检验水平=0.05 ，本题是双侧检验，所以查表得临界值从而得到拒绝域根据样本得到统计量的样本观察值因为，所以拒绝H0，即可以认为这台包装机的工作不正常。【提示】假设检验的基本步骤1. 提出统计假设： 根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设） H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值 检验，原假设为H0：=0，备择假设为下列三种情况之一：H1：，其中 i ）为双侧检验，ii ）， iii）为单侧检验。2. 选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。
17、3. 求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平 查表确定对应于 的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W 。4. 求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域w内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。四、简要总结1. 关于本套试题（1）整套考题（共30 题）所有题目几乎均可在课本上找到其原型（2）两种考查内容所有的考试，包括中考、高考及考研，试题不外乎考查个内容：知识和能力。考查知识其实就是考查对课本内容的理解和记忆，这类题目一般难度不大，而考查能力的题目的难度就比较大了。本套试题知识型题目约占80 分左右，考查能力的部分约占20 分左右，包括分析能力，推演能力和计算能力，所以，本套试题属于难度稍大的类型。2. 关于复习的建议（1）认真看书，全面复习（2）加深理解，强化记忆3. 关于选作习题（1） 重视例题和习题（2）正确选作课外题4. 关于答卷的方法本套试题题目排列不是“从简到难”，比如，第一题就比较难，遇到这种情况，建议考生可跳过难题。只要把其它题目正确完成，就可以得到比较理想的分数。以上仅供学员朋友们参考。祝学员朋友们学习进步，在考试中取得理想的成绩！