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1、函数的应用【知识梳理】1函数的零点：对于一般函数yf(x)，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：3函数零点存在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条_的曲线，且有_，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的解4二分法：对于在区间a，b上图象连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间_，使所得区间的两个端点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法5用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点
2、落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断6几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)一、单选题1()函数f(x)ln x2的零点所在的大致区间为()A(1，e) B(e，e2)C(e2，e3) D(e3，e4)2()已知一元二次方程x2mx30(mZ)有两个实数
3、根x1，x2，且0x12x21)，g(x)f(x)2mf(x)，则下列结论正确的是()A函数f(x)有唯一零点B存在实数m使得函数g(x)有三个以上不同的零点C当m1，)时，函数g(x)恰有三个不同的零点D当m(，0)(0，1)时，函数g(x)恰两个不同的零点三、填空题8()关于x的方程x2(m4)x102m0有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数m的取值范围为_9()已知2aalog2bblog3cck(k1)，则a，b，c从小到大的关系是_10()2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先
4、进的运载火箭技术根据火箭理想速度公式vv0ln，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位：m/s)，其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比已知A型火箭喷流相对速度为800 m/s，根据以上信息：(1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为_m/s；(2)若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为_(所有结果保留整数，参考数据：ln 20.693，ln 51.609，e2
5、.718)四、解答题11()已知函数f(x)log2xlog2(4x)，g(x)log2(xa)(1)求f(x)的定义域，并证明f(x)的图象关于点(2，0)对称；(2)若关于x的方程f(x)g(x)有两个不同的实数解，求实数a的取值范围12()中国国际进口博览会在上海举行本届进博会有4000多项新产品、新技术、新服务某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2023年与该跨国公司合资生产此款空调生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且R经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R4000万元现每台空调售价为0.9万元时，当年内
6、生产的空调当年能全部销售完(1)求2023年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润销售额成本13()设f(x)(a为实常数)，yg(x)与yex的图象关于原点对称(1)若函数yfg(x)为奇函数，求a的取值；(2)当a0时，若关于x的方程fg(x)有两个不等实根，求实数m的取值范围(3)当|a|1时，求方程f(x)g(x)的实数根个数，并加以证明答案【知识梳理】1f(x)02x轴f(x)03连续不断f(a)f(b)0f(c)04f(a)f(b)0，f(e)10，f(e2)0，f(e3)10，f(e4
7、)20，所以零点位于(e2，e3)，故选C.2A【解析】因为一元二次方程x2mx30(mZ)有两个实数根x1，x2，且0x12x24，令f(x)x2mx3，则由题意可得即解得m0，f(1.25)0.9840.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.375，因为f(1.375)0.2600，所以根在区间(1.375，1.5)，因为0.1250.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.438，因为f(1.438)0.1650，f(1.375)0.2600，所以根在区间(1.375，1.438)内，因为0.0630.1满足精确度，因为f(1.4065)0.052x10，则f(x2)f(x1)0，所以
8、f(x)在0，)上单调递增，又f(0)0，f(x)x12，当x趋近于时，f(x)趋近于，函数f(x)的值域为0，)由偶函数的对称性知f(x)在(，0上递减，根据对称性其值域为0，)，综上，f(x)在R上的值域为0，)，故A，B正确，C错误；由上分析知f(x)与y2有交点，即f(x)2有实根，D正确故选ABD.7ACD【解析】作出函数yf(x)的大致图象，如图，当x0时，f(x)单调递减，且f(1)0，f(x)只有一个零点；当x0时，f(x)0，f(x)没有零点，所以函数f(x)有唯一零点，故A正确；由g(x)0，得f(x)0或f(x)m，其中f(x)0有唯一实数根，而f(x)m实数根的个数即函
9、数yf(x)与ym图象交点的个数，由图可知，函数yf(x)与ym图象至多有两个交点，所以不存在m使得g(x)有三个以上零点，故B错误；当m1，)时，函数yf(x)与ym图象有两个交点，所以函数g(x)恰有三个不同的零点，故C正确；当m(，0)(0，1)时，函数yf(x)与ym图象有一个交点，所以函数g(x)恰两个不同的零点，故D正确故选ACD.三、填空题87m2【解析】7m2.9acb【解析】由2aalog2bblog3cck(k1)，可得2aak，log2bbk，log3cck，且k1，分别作出函数y2x，ylog2x，ylog3x和yxk的图象，如图，由图可知，acb.10(1)3129(
10、2)68【解析】(1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：v800ln 50800(2ln 5ln 2)800(21.6090.693)3128.83129(m/s)；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600(m/s)，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加800(m/s)，则1600ln 800ln 800，即2ln ln 1，即ln()2ln 1，即ln 1，所以25e67.9568，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.四、解答题11【解析】(1)由题设可得故0x4，故f(x)的定义域为(0，4)，而f(x)f(4x)log2xlog2(4x)log2
11、(4x)log2x0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称(2)因为f(x)g(x)有两个不同的实数解，故xa在(0，4)上有两个不同的实数解，整理得到x2(a3)x4a0在(0，4)上有两个不同的实数解，设h(x)x2(a3)x4a，则故解得1a0.12【解析】(1)由题意知，当x10时，R(x)1010210a4000，所以a300.当0x40时，W900x(10x2300x)26010x2600x260；当x40时，W900x260.所以W(2)当0x40时，W10(x30)28740，所以当x30时，W有最大值，最大值为8740；当x40时，W(x)9190291908990，当且仅当
12、x，即x100时，W有最大值，最大值为8990.因为87408990，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元13【解析】(1)设点P(x，y)为g(x)图象上任意一点，P(x，y)关于原点的对称点为P(x，y)，由题意可知P(x，y)在yex上，则有，yex，故g(x)ex.由yfg(x)为奇函数，则有fg(0)0，故a1(经检验，a1时fg(x)是奇函数)(2)a0时，f(x)，由fg(x)可得，即e2x(1m)ex2m0，令ext，则t2(1m)t2m0有两个不等正根，则有解得m52.(3)令h(x)g(x)f(x)exex1，由0，则x1时，yex1与y均单调递增，故h(x)在(1，)上单调递增，又1时，h(0)e01(a3)1ae10，故h(x)在(1，)上有唯一零点；又当x(，1)时，h(x)ex10恒成立，即h(x)在(，1)上无零点综上可知，方程f(x)g(x)有且仅有一个实数根学科网（北京）股份有限公司