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1、函数概念及性质、幂函数(2)【知识梳理】1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称方法总结1.判断函数的奇偶性的三种方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：常用结论：奇奇为奇；偶偶为偶；奇偶为非奇非偶；奇()奇为偶；奇()偶为奇；偶()偶为偶若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记偶函数g(x)f(x)f(x)，奇函数h(x)f(x)f(x)，则f(x)g(x)
2、h(x)复合函数yfg(x)的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|)2抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断3已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象(3)求函数解析式：将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式(4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函
3、数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)3三个重要结论：(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中a0的x的取值范围是()A(，1)(1，0)B(0，1)(1，)
4、C(1，0)(1，)D(，1)(1，1)4()已知定义在R上的函数f(x)满足f(x4)f(x)，且满足f(3x1)为奇函数，则下列说法一定正确的是()A函数f(x)的图象关于直线x2对称B函数f(x)的周期为2C函数f(x)关于点(，0)中心对称Df(2023)05()已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为()A6 B7 C8 D9二、多选题6()定义min若函数f(x)min，且f(x)在区间m，n上的值域为，则区间m，n的长度可以是()A. B. C. D17()下列说法正确的是()A偶函数f(x)的
5、定义域为2a1，a，则aB一次函数f(x)满足f(f(x)4x3，则函数f(x)的解析式为f(x)x1C奇函数f(x)在2，4上单调递增，且最大值为8，最小值为1，则2f(4)f(2)15D若集合Ax|ax24x20中至多有一个元素，则a2三、填空题8()函数f(x)的单调递增区间为_9()已知函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x都有f(x4)f(x)2，若函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(2029)_10()已知函数f(x)x2ax7a，若f(x)0，g(x)0，f(x)g(x)0；当x(1，0)时，f(x)0，f(x)g(x)0，g(x)0，f(x)g(x)0；
6、当x(1，)时，f(x)0，g(x)0；故满足f(x)g(x)0的x的取值范围是x(0，1)(1，)，故选B.4D【解析】因为函数f(x)关于直线x2对称，不能确定f(x)是否关于直线x2对称，A错误；因为f(3x1)为奇函数，所以f(3x1)f(3x1)，所以f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x2)，所以函数f(x)关于点(1，0)中心对称，故C错误；由f(x)f(x4)与f(x)f(x2)得f(x4)f(x2)，即f(x4)f(x2)，故f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故B错误；f(2023)f(50641)f(1)0，故D正确故选D.5B【解析】因为f(x)且f(x2
7、)f(x)，所以函数f(x)的周期为2，因为g(x)，所以g(x)2，所以g(x)2，函数g(x)关于点(2，2)对称，作出函数f(x)，g(x)的图象，由图象可知，方程g(x)f(x)在区间5，1上的实数根有3个，x23，x1满足5x14，x3满足0x31，x1x34，所以方程g(x)f(x)在区间5，1上的实数根之和为7.故选B.二、多选题6AD【解析】令x23x33，当x3时，不等式可整理为x22x30，解得1x3，故x3符合要求，当x3时，不等式可整理为x24x30，解得1x3，故1x3的解为x3，所以f(x)令x23x3，解得x，令x23x3，解得x或，令3，解得x或，令3，解得x或
8、，所以区间m，n的最小长度为1，最大长度为.故选AD.7AC【解析】对A，偶函数f(x)的定义域为2a1，a，2a1a，解得a，A对；对B，设一次函数f(x)kxb(k0)，则f(f(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb，f(f(x)4x3，解得或函数f(x)的解析式为f(x)2x1或f(x)2x3，B错；对C，奇函数f(x)在2，4上单调递增，且最大值为8，最小值为1，f(2)1，f(4)8，f(2)f(2)1，f(4)f(4)8，2f(4)f(2)2(8)115，C对；对D，集合Ax|ax24x20中至多有一个元素，方程ax24x20至多有一个解，当a0时，方程4x20只有一个解，符
9、合题意；当a0时，由方程ax24x20至多有一个解，可得168a0，解得a2，a0或a2，D错故选AC.三、填空题8(0，2)，(4，)【解析】f(x)作出函数f(x)的图象，由图可知f(x)的单调递增区间为(0，2)，(4，)922【解析】函数f(x1)的图象关于直线x1对称，函数f(x)的图象关于直线x0对称，函数f(x)为偶函数，对任意的实数x都有f(x4)f(x)2，f(x8)f(x4)2f(x)22f(x)，函数f(x)的周期是8，f(2029)f(82535)f(5)，在f(x4)f(x)2中令x1，得f(5)f(1)2，函数f(x)为偶函数，f(1)f(1)2，f(5)22.10
10、(，4【解析】关于x的不等式f(x)只有一个正整数解，令g(x)，x1，则g(x)(x1)22242，当且仅当x1，即x21时等号成立，由对勾函数性质得g(x)在(1，21)上递减，在(21，)上递增，而1212，g(2)，g(1)4，g(3)4，故当a(，4不等式只有一个正整数解x2.四、解答题11【解析】(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2ax10在xR恒成立，当a0时，10恒成立，当a0时，由题意得解得0a4，综上，0a4，所以a的取值集合为A.(2)因为xA是xB的必要不充分条件，所以BA，当B时，符合题意，则3mm2，得m1，当B时，因为A，B，BA，所以得0m1，综上，m0，
11、即实数m的取值范围为0，)12【解析】(1)将(0，320)，(10，650)分别代入ukvb得解得把(10，650)代入u450av2，得650450a102，解得a2.所以u(v)(2)航行时间t小时，所需费用设为z元，则zu(v)t当0v6606401300；当v10时，z221200，当且仅当40v，即v15时，等号成立由12001300知，v15时，航行所需费用最小所以当航行速度为15千米/时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元13【解析】(1)由题意，1，2为方程x2ax20的两个不等实数根，12aa3，所以不等式f(x)1x2为x23x21x22x23x10，解得x或x1，所以不等式的解集为(，1，)(2)f(x)2a(x1)4x2ax2a20对x1，1恒成立，令h(x)x2ax2a2，即h(x)0对x1，1恒成立，因为函数h(x)开口向上，故只需满足解得a，所以a的取值范围为(，(3)当a3时，f(x)x23x2，开口向上，对称轴为x，当x1，4时，f(x)min，f(x)max6，f(x)6，x(1，8)时，g(x)(8m，1m)，由题意，对任意x11，4，总存在x2(1，8)，使f(x1)g(x2)成立，即函数f(x)的值域是函数g(x)的值域的子集，即，6(8m，1m)，解得7m，所以m的取值范围为(7，)学科网（北京）股份有限公司