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1、2.2.4 对数函数及其性质(2)【学习目标】通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.1.对数函数的单调性增函数减函数当 a1 时，ylogax 为_；当 0a1 时，ylogax 为_.2.对于 ylogax，若 a1，当 x1 时，y_0，当 0 x1 时，y_0；若 0a1，当 0 x1 时，y_0，当 x1 时，y_0.函数(填“增”或“减”).减3.反函数yaxyx函数 ylogax(a0，且 a1)与_(a0，且 a1)互为反函数，其图象关于直线_对称.练习2：函数 yf(x)的图象与函数 y3x
2、的图象关于直线 yx 对称，则 f(x)_.练习3：若函数 f(x)的反函数为 ylog2x，则 f(x)_.f(x)2x(xR)log3x【问题探究】若函数 ylg(ax2ax1)的定义域是 R，求实数 a 的取值范围；若函数 ylg(ax2ax1)的值域为 R，求实数 a 的取值范围.题型 1 反函数问题【例 1】写出下列函数的反函数：思维突破：根据指数函数与对数函数互为反函数且底数相同求解.解：(1)ylgx 的底数为 10，它的反函数为指数函数 y10 x.【变式与拓展】B题型 2 对数函数的基本性质(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)判断 f(x)的
3、单调性(不证明)；(4)求使 f(x)0 的 x 的取值范围.f(x)是奇函数而从(1)知1x0，故可等价于1x1x，又等价于x0.【变式与拓展】ylg(2x)lg(2x)；ylg(x2)(x2)；ylg(x2)lg(x2).其中奇函数是_，偶函数是_.解析：的定义域相同，均为(2,2)，且均有 f(x)f(x)，所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)，且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)不对称，因此是非奇非偶函数答案：题型 3 综合问题原点对称，且定义域不是单元素集.(1)求 m 的值；(2)判断 g(x)在(0,2)上的单调性，并证明.思维突破：根据奇函数及单调性
4、定义，以及对数运算解决问题.解：(1)由题意，设 x，x 是定义域内的任意值，则又 g(x)g(x)0，即4m2x24x2.(m21)x20.由题意知：x可取到非零值，m210.m1.由知：m1.在 a 与 1 的大小不明确时，要对a 与1 的大小进行讨论，从而利用对数函数的单调性求解.【变式与拓展】3.已知函数 f(x)loga(3ax).(1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值，如果不存在，请说明理由.解：(1)由题意，得 3ax0 对一切 x0
5、,2恒成立a0，且 a1，g(x)3ax 在0,2上为减函数(2)假设存在这样的实数 a，由题意知：f(1)1，即loga(3a)1.当 x2 时，f(x)无意义故这样的函数不存在【例 4】已知 yloga(2ax)在0,1上是 x 的减函数，求实数 a 的取值范围.易错分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合关系，却忽视了对数函数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在0,1上有意义.解：yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a0，u2ax在0,1上是x的减函数，由复合函数关系知ylogau应为增函数，a1.又由于x在0,1上时，yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，当x1时，u2ax取最小值为umin2a0即可 a2.综上所述，所求的取值范围是1a2.方法规律小结 1.指数函数与对数函数的关系.对数函数ylogax与指数函数yax的图象关于直线yx对称，它们互为反函数.2.ylogaf(x)型或yf(logax)型的函数.(1)要注意变量的取值范围，例如，f(x)log2x，g(x)x2x，则fg(x)log2(x2x)中需有g(x)0；gf(x)(log2x)2log2x中需有x0.(2)判断ylogaf(x)型或yf(logax)型函数的奇偶性时，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断.