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1、第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算【授课时数授课时数】总时数：6 学时.【学习目标学习目标】1、知道无穷小和无穷大的定义；2、会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限求函数的极限【重、难点重、难点】重点：无穷小与无穷大的定义、极限的四则运算法则和两个重要极限，由观察函数的变化趋势引出 难点：正确求解函数的极限和左右极限，由实例讲解方法第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算一、无穷小一、无穷小一、无穷小一、无穷
2、小1定义定义极限为零的变量称为无穷小量，简称极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小无穷小.例如例如第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算注意注意（1）无穷小是以极限为零的变量）无穷小是以极限为零的变量,不能与不能与很很（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变小的常数混淆小的常数混淆;（3）常数中只有零是无穷小）常数中只有零是无穷小.化趋势；化趋势；第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算2运算性质运算性质定理定理 在自变量同一变化过程中在自变量同一变化过程中,(1)有限个无穷小
3、的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小;(3)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例11解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例11解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例11解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例
4、例11解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算3无穷小与有极限函数的关系无穷小与有极限函数的关系第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算二、无穷大二、无穷大二、无穷大二、无穷大特殊情形：正无穷大特殊情形：正无穷大(或负无穷大或负无穷大)第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不
5、能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例22解解解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算下面我们再来看一个现象下面我们再来看一个现象极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同
6、.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算定义定义*四、无穷小的比较四、无穷小的比较四、无穷小的比较四、无穷小的比较第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算由无穷小比较的定义知由无穷小比较的定义知第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算练习题练习题第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算五、函数极限的四则运算法则五、函数极限的四则运算法则五、函数极限的四则运算法
7、则五、函数极限的四则运算法则法则1和法则2可推广到有限个函数情形.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1.1.解解 例例33第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得2.2.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算解解3.3.(约去零因子法约去零因子法)第一章第一章 极限与
8、连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算4.4.解解(无穷小分出法无穷小分出法)第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算5.5.解解(无穷小分出法无穷小分出法)(无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系)第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂除以分子分母中自变量的最高次幂除分子分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例44解解先变形再求
9、极限先变形再求极限.第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例55解解(不能用函数极限的四则运算法则2来求!)第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例66解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算(1)(1)解解 例例77第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三
10、函数极限的计算函数极限的计算(2)(2)解解 例例77第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算练习题练习题第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算七、两个重要极限七、两个重要极限七、两个重要极限七、两个重要极限第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1 1 1 1重要极限重要极限重要极限重要极限第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1 1解解 例例 第一章第一
11、章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算2 2解解 例例 第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算3 3解解 例例 第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算4 4解解 例例 第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例99解解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
12、则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意注意 例例1010解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例1111解解解解错错第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算第一章第一章 极限与连续
13、极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算2 2 2 2重要极限重要极限重要极限重要极限2 2 2 2第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题求极限求极限第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算练习题练习题第一章第一章 极限与连续极限与连续课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算通过本课题学习，学生应该达到：1熟记无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限；2会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限和等价无穷小求函数的极限【课后练习课后练习】【授课小结授课小结】1P005 习题1-3（一）；2P005 习题1-3（二）；3P005 习题1-3（三）