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1、教学目标及要求教学目标及要求 1、能正确运用极限的四则运算法则、两个重、能正确运用极限的四则运算法则、两个重要极限求数列与函数的极限；要极限求数列与函数的极限；2、会对无穷小量的阶进行比较（正确运用等、会对无穷小量的阶进行比较（正确运用等价无穷小代换求数列与函数的极限）价无穷小代换求数列与函数的极限）.1.3 极限运算极限运算1.3 极限运算极限运算v一、极限运算法则一、极限运算法则v二、两个重要极限二、两个重要极限 v三、无穷小的比较三、无穷小的比较 一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理 设设 上述法则对上述法则对等其它极限过程也成立等其它极限过程也成立.求求极限举例极限举例提示提示 设
2、多项式P(x)a0 xn a1xn1 an 则 例例1 解解:=1讨论讨论 多项式的极限多项式的极限 a0 x0na1x0n1 anP(x0)例例2 解解原式原式 解解:例例3 解解原式原式 讨论讨论 有理分式函数的极限有理分式函数的极限提示提示 当Q(x0)0，P(x0)0时)()()()(lim000 xQxPxQxPxx 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)例例5 求求 解原式解原式 例例6 求求 解原式=解解:先用x3去除分子及分母 然后取极限 例例7 先用x3去除分子及分母 然后取极限 解解:例例8 讨论讨论 例例9 解解:所以有理分式函数的极限有理分式函数的极
3、限 =？提示提示例例1010 求求解原式解原式=练习练习3 3=练习练习4 4=4 准则准则1（夹逼准则）（夹逼准则）如果在点如果在点x0的某去心邻域内总有的某去心邻域内总有二、两个重要极限二、两个重要极限定理例例1111解解由夹逼定理得由夹逼定理得准则准则2（极限存在准则）（极限存在准则）单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.如数列如数列 收敛于收敛于1，但其并非单调，但其并非单调.逆命题不一定成立，逆命题不一定成立，两个重要极限：两个重要极限：极限极限 I 例例12 解原式解原式注意注意 极限极限 I的一般形式为：例例14 解解:练习练习6 求答案两个重要极限：两个重要极限：极限极限
4、II 例例15 求注意注意 极限极限 II的一般形式为：例例16 求解原式解原式=在式 中，令 ，则 时，得到重要极限重要极限II 的另一种形式 注意注意 这个极限的一般形式为：解解原式原式 例例17练习练习7 练习练习8 三、无穷小的比较三、无穷小的比较观察与比较观察与比较y=xy=x3y=xy=x2y=2xy=xy=xy=sinx 观察两个无穷小比值的极限观察两个无穷小比值的极限:在在x0的过程中的过程中 x30比比x0 x0比比x20 2 2x0 0与与x0 0 而而sin x0与与x0 两个无穷小比值的极限的各种不同情况两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不反映了不同的无穷小趋于
5、零的同的无穷小趋于零的“快慢快慢”程度程度“快些快些”“慢些慢些”“快慢相差不大快慢相差不大”，“快慢一致快慢一致”1无穷小阶的定义无穷小阶的定义 定义定义 设设 ，为自变量同一变化过程中的无穷小，为自变量同一变化过程中的无穷小，也是在这个变化过程中的极限，也是在这个变化过程中的极限，）若）若,就说就说 是是 高阶高阶的无穷小的无穷小,记为记为）若）若，就说，就说 是是 低阶低阶的无穷小；的无穷小；）若）若，就说，就说 是是 同阶同阶的无穷小；的无穷小；）若）若，就说，就说 与与 是是等价等价无穷小，记为无穷小，记为 举例举例 x0时时,x3=（x）;x1时时,（x-1）3=（x-1）x0时时
6、,x2=（sinx）上节例中：上节例中：即即 时时,是同阶无穷小，是同阶无穷小，公式公式,即即 是等价无穷小是等价无穷小,2等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理 定理定理 若在自变量的某种变化趋势下，若在自变量的某种变化趋势下，均为无均为无 穷小，穷小，且且 ，则，则一些常用的等价无穷小一些常用的等价无穷小 时:例例18 解 当x0时，tanxx，故原式=事实上，当事实上，当 时:例例19 求 解 当x0时，2x0，5x0，故tan2x2x，sin5x5x，原式=例例20 求 解 当x0时，tanxx，sinxx，原式=等价替换只适等价替换只适用于用于分式或整分式或整式中的因式式中的因式，对于用对于用+、-号号连接的项不能连接的项不能分别作替换分别作替换原式原式=当当x0时，sinxx，例例21 求 解解 当当x0时，时，2x20，5x0，故，故ln（2x2+1）2x 2，arcsin5x 5x，原式原式=练习练习8 求求 练习练习9 求=0.小小 结结 4.无穷小的比较反应了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并非所有的无穷小都可进行比较。1.极限运算法则使用时要注意其使用条件；