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1、高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics 第一章 第第三三节节 极限运算极限运算一一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则三三、两个重要两个重要极限极限四四、无穷小的比较无穷小的比较二、二、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics一一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是由无穷小之和仍无穷小，可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理定理 1.若高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics定理定
2、理 2.若则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理证明.说明说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)证证:高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例1.求求例例2.设 n 次多项式试证证证:1.多项式型多项式型高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics为无穷小定理定理 3.若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,注 1.以上结论均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数
3、情形.高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics定理定理高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例4.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.若例例3.求求2.分母极限不为分母极限不为0型型高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例如如.高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics x=3 时分母为 0!例例5.分子也为03.型型约去公因子高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics解解商的法则不
4、能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例6 6约去公因子法也不能用4.利用无穷小利用无穷小、无穷大、无穷大运算性质求极限运算性质求极限高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics但因解解:(4)x=3 时分母=0,分子0,但因解解:(3)x=1 时分母=0,分子0,高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例7 7解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics 例例8求求解解:原式原式(消去零因子法消去零因子法)5.高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathema
5、tics例例9.求解解:时,分子分子分母同除以则分母原式(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)为非负常数)一般有如下结果：一般有如下结果：=06.型型无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics定理定理4.若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics解解例例1010原式原式=27.无穷项之和无穷项之和不能用和的极限运算法则高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher
6、mathematics例例1111解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,8.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics二二、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则例例12.求解解:法法1时,则法法2时,则换元法：将原式换元法：将原式中的中的x都用都用u代替，代替，将关于将关于x的极限的极限过程改为关于过程改为关于u的极限过程。的极限过程。高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics定理定理5.设且 x 满足时,又则有证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.高高高
7、高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics定理定理5.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例13.求求解解:令已知 原式=例例14.求求解解:法法 1则令 原式法法 2高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics时,时,高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例15：设：设(n=1,2,)，试证数列试证数列 极限存在，并求此极限。极限存在，并求此极限。证：由证：由及及知知设对某正整数设对某正整数k k有
8、有则有则有故由归纳法，对一切正整数故由归纳法，对一切正整数n n，都，都有有即即为单调减少数列，且为单调减少数列，且解得解得所以所以高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics例例1616 设，证明 存在并求此极限；证明:当时,设，则 单增有上界，从而必有极限。设，则 由得 又设，则 高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics(2),消去零因子法1.极限四则运算法则2.求函数极限的方法(3)对 型,约去公因子 ,分子分母同除分母最高次幂Th1Th2Th3Th4总结总结作业作业P33习题习题1-3中第中第1题题(4)型(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限(8)复合函数极限求法设中间变量高高高高 等等等等 数数数数 学学学学Higher mathematics思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问