《题目：微分中值定理(1).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《题目：微分中值定理(1).ppt（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、题目：微分中值定理（题目：微分中值定理（1）w目的：由导数目的：由导数f的已知性质来推断函的已知性质来推断函 数数f所应具有的性质。所应具有的性质。w方法：发现法、启发式方法：发现法、启发式w内容：内容：请同学们观察函数请同学们观察函数y=f(x)(xa，b)图形，从中找出已知条件。图形，从中找出已知条件。yy=f(x)ABab xy=f(x)在在a,b上连续上连续y=f(x)ABab xxy=f(x)在在a,b上连续上连续 y=f(x)在在(a,b)内可导内可导yy=f(x)Bab xyAy=f(x)在在a,b上连续上连续y=f(x)在在(a,b)内可导内可导 f(a)=f(b)请请同同学学
2、们们观观察察图图形形中中的的切切线线变变化化，问问：切切线线在在变变化化过过程程中中与与线线段段AB是是否否有有特特殊殊的的位位置关系？怎样用数学语言表示？置关系？怎样用数学语言表示？y=f(x)在在a,b上连续上连续y=f(x)在在(a,b)内可导内可导f(a)=f(b)y=f(x)ABabxxyy=f(x)ABabxy 通过观察在（通过观察在（a,b）内内有点有点使得该点处使得该点处的切线平行于的切线平行于AB，且平行于且平行于x轴，故其切轴，故其切线斜率为线斜率为0。猜想：猜想：f(x)在在a,b上连续上连续f(x)在在(a,b)内可导内可导(a,b)(a,b)使使f()=0)=0f(a
3、)=f(b)上上面面的的命命题题是是我我们们的的一一个个猜猜想想，如如果果我我们们能能证证明明上上面面的的命命题题，则则它它是是一一个个真真命命题题；反反之之若若能能举举出出反反例例，则则它它是是一一个个假假命命题题。下下面面的的工工作作是是：我我们们企企图图对对其其证证明明。我我们们再再来来观观察察图图形形，从从中中搜搜寻寻有有用的信息。用的信息。切切线线出出现现在在y=f(x)在在（a，b）内内的的最最大大值值或最小值位置处。或最小值位置处。y=f(x)ABabxy问：满足猜想中的条件，问：满足猜想中的条件，y=f(x)的最大值点或最小值点是的最大值点或最小值点是 否至少有一个在（否至少有
4、一个在（a，b）内？内？可考虑两种情形：（可考虑两种情形：（1）最小值）最小值m=最大值最大值M（2）最小值最小值m最大值最大值M情形情形1：当：当m=M时，则时，则y=f(x)在在a,b上的图形蜕变成：上的图形蜕变成：显然，对显然，对 x(a,b)，有有f(x)=0,即猜想的结论成立即猜想的结论成立.yxABaby=f(x)=m=M 情形情形2：当：当mM时，由时，由y=f(x)在在a，b上上连续知，连续知，y=f(x)在在a，b上一定有最大值上一定有最大值M与最与最小值小值m。M与与m只能出现在只能出现在a，b的内部或两个的内部或两个端点处。由端点处。由 f(a)=f(b)及及mM 可知，
5、可知，M与与m至少有一个在至少有一个在（a,b）内取得。内取得。结论：结论：(a,b)(a,b)使使f()=m或或f()=M即即是一个极值点。是一个极值点。回忆最值（或极值）与导数的关系。回忆最值（或极值）与导数的关系。引引理理：设设函函数数f在在点点的的某某邻邻域域内内有有定定义义，且且在在点点处处可可导导，若若点点是是f的的极极值值点点，则则必必有有 f()=0(注注：P.93华华东东师师大大编编数数学学分分析析，费费马马定定理理)综合前面的分析，可知猜想的结论成立。下综合前面的分析，可知猜想的结论成立。下面我们把这个证明过程整理出来，并且这个猜想面我们把这个证明过程整理出来，并且这个猜想
6、是一个真命题，它是是一个真命题，它是Rolle发现的，我们称它为发现的，我们称它为Rolle中值定理。（所谓中值，是指中值定理。（所谓中值，是指取在取在（a，b）中）。中）。l定理定理6.1（罗尔（罗尔（Rolle）中值定理）中值定理）f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导(a,b)(a,b)使使f()=0 f(a)=f(b)证明证明:因为因为f在在a，b上连续，所以有最大值与最上连续，所以有最大值与最 小值，分别用小值，分别用M与与m表示。现分两种情况表示。现分两种情况讨论：讨论：（1）若）若m=M，则则f在在a，b上必为常数，从而上必为常数
7、，从而 结论显然成立。结论显然成立。（2）若）若mM，则因则因f(a)=f(b)，使得最大值使得最大值M与最小值与最小值m至少有一个在（至少有一个在（a，b）内某点内某点处取得，处取得，从而从而是是f的极值点。由的极值点。由f()存在及费马定理推知存在及费马定理推知:f()=0将罗尔中值定理的第三个条件去掉，情况又将罗尔中值定理的第三个条件去掉，情况又如何？请同学们认真观察对应的图形。如何？请同学们认真观察对应的图形。f在在a,b上连续上连续 f在在(a,b)内可导内可导通通过过观观察察，有有f在在（a，b）的的处处，曲曲线线上上的切线平行与的切线平行与AB，则切线斜率：则切线斜率：f()=k
8、AB=f(b)-f(a)b-aByxf(x)(b,f(b)abA(a,f(a)猜想：猜想：f在在a，b上连续上连续(a，b),使使f(b)-f(a)=f()(b-a)f在在(a，b)内可导内可导下面我们试图证明这个猜想成立，观察其图形变化。下面我们试图证明这个猜想成立，观察其图形变化。F(x)由由f与与AB之差得到之差得到 Byxf(x)abAF(x)F(x)=f(x)-f(a)+(x-a)证明证明:F在在a，b上连续上连续F在在(a，b)内可导内可导(a,b)使使0=0=F()=f()-F(a)=F(b)(a，b),使使f(b)-f(a)=f()(b-a)这就是著名的拉格朗日中值定理。这就是著名的拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)b-a定理定理6.2（Lagrange中值定理）中值定理）f在在a，b上连续上连续(a，b),使使f(b)-f(a)=f()(b-a)f在在(a，b)内可导内可导称为称为Lagrange中值公式。中值公式。