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1、第1章 离散时间信号与系统 1第1章 离散时间信号与系统 1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 1.2 1.2 线性移不变系统线性移不变系统1.3 1.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 1.41.4 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 第1章 离散时间信号与系统 学习目标学习目标l 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握掌握 序列的基本运算，并会判断序列的周期性。序列的基本运算，并会判断序列的周期性。l 掌握线性掌握线性/移不变移不变/因果因果/稳定的离散时间系统的稳定的离散时间系统的概概 念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性念
2、并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。稳定性判断的充要条件。l 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位 抽样响应。抽样响应。l 了解对连续时间信号的时域采样，掌握奈奎斯特了解对连续时间信号的时域采样，掌握奈奎斯特 采样定理，了解采样的恢复过程。采样定理，了解采样的恢复过程。第1章 离散时间信号与系统 31.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 离离散散时时间间信信号号只只在在离离散散时时间间上上给给出出函函数数值值，是是时时间间上上不不连连续续的的序序列列。它它既既可可以以是是实实数数也也可可以以是是复复数数。一一个
3、个离离散散时时间间信信号号是是一一个个整整数数值值变变量量n的的函函数数，表表示示为为x(n)或或x(n)。n就就表表示示序序列列值值在在序序列列中中前前后后位位置置的的序序号号，所所以以一一个个实实值值离离散散时时间间信信号号序序列列可可以以用用图图形形来来描描述述。横横轴轴虽虽为为连连续续直直线线，但但只只在在n为为整整数数时时才才有有意意义义。纵纵轴轴线线段的长短代表各序列值的大小。段的长短代表各序列值的大小。图图 1-1 离散时间信号的图形表示离散时间信号的图形表示 第1章 离散时间信号与系统 4 离离散散时时间间信信号号常常常常可可以以对对模模拟拟信信号号进进行行等等间间隔隔采采样样
4、而而得得到到。例例如如，对对于于一一个个连连续续时时间间信信号号xa(t)，以以每每秒秒fs=1/T个个采样的速率采样而产生采样信号，它与采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：的关系如下：然然而而，并并不不是是所所有有的的离离散散时时间间信信号号都都是是这这样样获获得得的的。一一些些信信号号可可以以认认为为是是自自然然产产生生的的离离散散时时间间序序列列，如如每每日日股股票票市市场价格、场价格、人口统计数和仓库存量等。人口统计数和仓库存量等。离散时间信号的表示方法：离散时间信号的表示方法：图形表示法图形表示法、公式表示法公式表示法此外还有此外还有集合符号表示法集合符号表示法，
5、如，如:第1章 离散时间信号与系统 5一、一、序列的运算序列的运算 1.1.序列的移位序列的移位 已已知知序序列列x(n)，当当m为为正正时时，则则x(n-m)是是指指序序列列x(n)逐逐项项依依次次延延时时（右右移移）m位位而而给给出出的的一一个个新新序序列列;而而x(n+m)是是指指依依次次超超前前（左左移移）m位位。而而当当m为负时，则相反为负时，则相反.图图 1-2 图图1-1序列序列x(n)的延时的延时 图图1-1 序列序列x(n)第1章 离散时间信号与系统 62 序列的翻褶（折迭）序列的翻褶（折迭）如如果果序序列列为为x(n),则则x(-n)是是以以n=0的的纵纵轴轴为为对对称称轴
6、轴将将序序列列x(n)加以翻褶。加以翻褶。x(n)及及x(-n)如图如图1-3(a)、(b)所示。所示。图图 1-3 序列的翻褶序列的翻褶(a)x(n)序列；序列；(b)x(-n)序列序列 第1章 离散时间信号与系统 7讨论：翻褶序列的移位讨论：翻褶序列的移位 对对于于原原序序列列x(n)而而言言，时时间间的的增增长长方方向向向向右右，即即向向右右移移滞滞后后，向向左左移移超超前前。而而对对于于原原序序列列的的翻翻褶褶序序列列x(-n)而而言言，时时间间的的增增长长方方向向向向左左，即即向向左左移移滞滞后后，向向右右移移超超前前。也也就就是是说说对对翻翻褶褶序序列列x(-n)移移位位m，即即得
7、得x(m-n)，当当m为为正正整整数数时时，右右移移m位位，当当m为为负负整整数数时时，左左移移m位位，恰恰好好与与原原序序列列x(n)的的移移位位规律相反。规律相反。第1章 离散时间信号与系统 8第1章 离散时间信号与系统 93 序列的和序列的和 两两序序列列的的和和是是指指同同序序号号n的的序序列列值值逐逐项项对对应应相相加加而而构构成的一个新序列。成的一个新序列。和序列和序列z(n)可表示为可表示为 图图 1-4 两序列相加两序列相加第1章 离散时间信号与系统 104 序列的乘积序列的乘积 两两序序列列相相乘乘是是指指同同序序号号n的的序序列列值值逐逐项项对对应应相相乘乘。乘积序列乘积序
8、列z(n)可表示为可表示为 补充：序列的标乘补充：序列的标乘 序列序列x(n)的标乘是指的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常的每个序列值乘以常数数c。标乘序列。标乘序列z(n)可表示为：可表示为：第1章 离散时间信号与系统 11 5.累加累加它它表表示示y(n)在在某某一一个个n0上上的的值值y(n0)等等于于在在这这一一个个n0上上的的x(n0)值与值与n0以前所有以前所有n上的上的x(n)之和。之和。设某序列为设某序列为x(n)，则，则x(n)的累加序列的累加序列y(n)定义为定义为 图图 1-5 序列序列x(n)及其累加及其累加 序列序列y(n)第1章 离散时间信号与系统 126 差分运
9、算差分运算 前向差分：前向差分：x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：后向差分：x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出：由此得出：x(n)=x(n-1)图图1-6 x(n)、前项差分、前项差分x(n)及后项差分及后项差分x(n)第1章 离散时间信号与系统 137 序列的时间尺度变换（抽取与零值插入）序列的时间尺度变换（抽取与零值插入）(a)序列序列x(n)(b)抽取序列抽取序列xd(n),(D=2)(1)抽取抽取 已已知知序序列列x(n)，其其时时间间尺尺度度变变换换后后的的序序列列记记为为x(Dn)，D为为正正整整数数。x(Dn)表表示示从从x(n)的的每每连连续续D个个抽抽样样值值中
10、中取取出出一一个个组组成成的的新新序序列列，这这种种运运算算称称为为抽抽取取，x(Dn)称称为为x(n)的的D取取1的的抽抽取取序序列列。（注注意意：它它不不是是简简单单的的时时间间轴轴的的压压缩缩，而是相当于将抽样时间间隔由而是相当于将抽样时间间隔由T变成变成DT）图图1-7 抽取运算抽取运算第1章 离散时间信号与系统 14(a)序列序列x(n)(b)插值序列插值序列xe(n),(D=2)(2)零值插入零值插入 已已知知序序列列x(n)，序序列列的的零零值值插插入入就就是是把把x(n)的的两两个个相相邻抽样值之间插入邻抽样值之间插入(D-1)-1)个零值。可表示为：个零值。可表示为：图图1-
11、7 零值插入运算零值插入运算I为正整数，为正整数，其他其他n第1章 离散时间信号与系统 158 卷积和（离散卷积）卷积和（离散卷积）（）(1)定定义义：卷卷积积和和是是求求离离散散线线性性移移不不变变系系统统输输出出响响应应（零状态响应）的主要方法。（零状态响应）的主要方法。其中其中*表示卷积和。由上式可以证明，卷积与两序表示卷积和。由上式可以证明，卷积与两序列的先后次序无关，即列的先后次序无关，即 设设已知序列已知序列x(n)和和h(n)，它们的卷积和定义为：，它们的卷积和定义为：第1章 离散时间信号与系统 16(1)翻翻褶褶：先先在在哑哑变变量量坐坐标标m上上作作出出x(m)和和h(m)，
12、将将h(m)以以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m).(2)移移位位：将将h(-m)移移位位n，即即得得h(n-m).当当n为为正正整整数数时时，右移右移n位，当位，当n为负整数时，左移为负整数时，左移n位位.(3)相乘：相乘：再将再将h(n-m)和和x(m)的相同的相同m值的对应点值相乘值的对应点值相乘.(4)相加：相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来把以上所有对应点的乘积叠加起来,即得即得y(n)值值.依上法依上法,取取n=,-2,-1,0,1,2,各值，即可得全部各值，即可得全部y(n)值值.(2)卷积和的运算：卷积和的运算：卷积和的运算在图形表示上可分为以下四
13、步：卷积和的运算在图形表示上可分为以下四步：第1章 离散时间信号与系统 17例例1-7（教材（教材P13）：设）：设计算离散卷积计算离散卷积第1章 离散时间信号与系统 18图图1-8 x(n)和和h(n)的卷积和图解的卷积和图解第1章 离散时间信号与系统 19 利用图利用图1-8，求任意一个，求任意一个y(n)时，只需将两序列时，只需将两序列对应位置上的点相乘再求和即可。对应位置上的点相乘再求和即可。第1章 离散时间信号与系统 20二、几种常用序列（二、几种常用序列（）这这个个序序列列只只在在n=0 处处有有一一个个单单位位值值1，其其余余点点上上皆皆为为0。这这是是最最常常用用、最最重重要要
14、的的一一种种序序列列，它它在在离离散散时时间间系系统统中中的的作作用用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。单位冲激序列单位冲激序列(n)右移右移m位有：位有：(1-2)1.单位抽样序列单位抽样序列(单位冲激序列单位冲激序列,单位脉冲序列单位脉冲序列)(n)第1章 离散时间信号与系统 21图图 1-9 单位抽样序列单位抽样序列 第1章 离散时间信号与系统 222 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。(1-3)图图 1-10 单位阶跃序列单位阶跃序列 u(n)
15、第1章 离散时间信号与系统 23(n)和和u(n)间的关系为：间的关系为：而而 令令n-m=k，代入此式可得，代入此式可得(1-4)(1-5)(1-6)(后向差分后向差分)图图 1-10 单位阶跃序列单位阶跃序列 u(n)(累加累加)第1章 离散时间信号与系统 243矩形序列矩形序列RN(n)(1-7)RN(n)和和(n)、u(n)的关系为的关系为:图图 1-11 矩形序列矩形序列(1-8)(1-9)第1章 离散时间信号与系统 254实指数序列实指数序列 式式中中：a为为实实数数。当当|a|1时时，序列是发散的。序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的。为负数时，序列是摆动的。图图 1-12 指
16、数序列指数序列(1-10)第1章 离散时间信号与系统 26 序序列列值值为为复复数数的的序序列列称称为为复复序序列列。复复序序列列的的每每个个值值具具有有实实部部和和虚虚部部两两部部分分，复复指指数数序序列列是是最最常常用用的的一一种复序列：种复序列：(1-11a)或或(1-11b)式中，式中，0是数字域频率。是数字域频率。5 复指数序列复指数序列第1章 离散时间信号与系统 27对第一种表示，序列的实部、虚部分别为对第一种表示，序列的实部、虚部分别为 如果用极坐标表示，则如果用极坐标表示，则 因此有：因此有：注意：注意：只有当只有当0 0为常数时为常数时 才是一个序才是一个序列，列，它是否具有
17、周期性，还有待讨论它是否具有周期性，还有待讨论。第1章 离散时间信号与系统 286 正弦型序列正弦型序列图图1-13 当当 时的正弦序列时的正弦序列(周期性序列，周期周期性序列，周期N=10)x(n)=A sin(n0+)(1-12)式式中中:A为为幅幅度度;为为起起始始相相位位;0为为数数字字域域的的频频率率，它它反反映映了了序列变化的速率。序列变化的速率。第1章 离散时间信号与系统 29三、三、序列的周期性序列的周期性(1-13)则称序列则称序列x(n)是周期性序列，周期为是周期性序列，周期为N。由于由于 则则 如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，满足，满足1
18、.周期性序列的定义周期性序列的定义2.正弦序列的周期性正弦序列的周期性第1章 离散时间信号与系统 30若若N0=2k,当当k为正整数时，则为正整数时，则 由由此此可可见见,该该正正弦弦序序列列就就是是周周期期性性序序列列，其其周周期期满满足足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下：必须为整数）。可分几种情况讨论如下：式中，式中，P,Q为互素的整数，则为互素的整数，则 ,显然当显然当k=Q时时N=P为最小正整数，为最小正整数，序列的周期为序列的周期为N。（1）当当2/0为正整数时，周期为为正整数时，周期为2/0。（2）当当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表不是整数，而是
19、一个有理数时（有理数可表示成分数），则示成分数），则 第1章 离散时间信号与系统 31（3）当当2/0是是无无理理数数时时，则则任任何何k皆皆不不能能使使N取取正正整整数。数。这时，正弦序列不是周期性的。这时，正弦序列不是周期性的。3.连续信号采样得到的正弦序列为周期性序列的条件连续信号采样得到的正弦序列为周期性序列的条件设连续正弦信号设连续正弦信号x(t)为为 其频率为其频率为f0，则角频率，则角频率0=2f0，信号的周期为，信号的周期为 第1章 离散时间信号与系统 32 以以采采样样时时间间间间隔隔T对对连连续续周周期期信信号号x(t)进进行行采采样样，得到采样信号得到采样信号x(n)，则
20、有，则有 如果令如果令0为数字域频率，满足为数字域频率，满足 式中式中fs是采样频率。用是采样频率。用0代替代替0T，可得可得 第1章 离散时间信号与系统 33 分分析析2/0与与T及及T0的的关关系系，从从而而讨讨论论上上面面所所述述正正弦弦型型序列的周期性的条件意味着什么？序列的周期性的条件意味着什么？这这表表明明：1)若若要要2/0为为整整数数，就就表表示示连连续续正正弦弦信信号号的的周周期期T0应为采样时间间隔应为采样时间间隔T的整数倍的整数倍;2)若若要要2/0为为有有理理数数，就就表表示示T0与与T是是互互为为互互素素的的整整数数，且有且有(1-14)(1-15)式中，式中，k和和
21、N皆为正整数，从而有皆为正整数，从而有 即即N个采样间隔应等于个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。个连续正弦信号的周期。第1章 离散时间信号与系统 34图中图中 ，则有，则有 上式说明上式说明,14个采样间隔个采样间隔T等于等于3个连续正弦信号个连续正弦信号T0的周期，的周期，此时此时 为有理数为有理数 ，所以该正弦序列是周期序列。，所以该正弦序列是周期序列。第1章 离散时间信号与系统 35 任意序列可以表示成单位抽样序列的移位加权和，任意序列可以表示成单位抽样序列的移位加权和，即即(1-16)由于由于 四、四、用单位抽样序列来表示任意序列用单位抽样序列来表示任意序列和和 加权加权 移位移
22、位 则则 因此式（因此式（1-16）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。第1章 离散时间信号与系统 36式式(1-16)恰好满足卷积和的定义式，即恰好满足卷积和的定义式，即上式说明，任意序列与上式说明，任意序列与 作卷积运算仍得到原作卷积运算仍得到原序列，这就是说序列，这就是说任意序列都可看成是该序列与任意序列都可看成是该序列与 的卷积和。的卷积和。例例1-8（教材（教材P19）第1章 离散时间信号与系统 37五、五、序列的能量序列的能量(1-18)序列序列x(n)的能量的能量E定义为序列各抽样值的平定义为序列各抽样值的平方和，方和，即即 第1章
23、离散时间信号与系统 381.2 线性移不变系统线性移不变系统 定定义义：一一个个离离散散时时间间系系统统是是将将输输入入序序列列变变换换成成输输出出序序列的一种列的一种运算运算。若若以以T来来表表示示这这种种运运算算，则则一一个个离离散散时时间间系系统可表示为：统可表示为：离散时间系统中最重要、离散时间系统中最重要、最常用的是最常用的是“线性线性移不变系统移不变系统”。（线性时不变系统或线性定常系。（线性时不变系统或线性定常系统）统）图图 1-16 离散时间系统离散时间系统 第1章 离散时间信号与系统 39一、一、线性系统线性系统那么当且仅当那么当且仅当1.定义：定义：满足叠加原理的系统称为线
24、性系统。满足叠加原理的系统称为线性系统。如如果果系系统统在在x(n)和和x2(n)单单独独输输入入时时的的输输出出分分别别为为y1(n)和和y2(n)，即即:同时成立时，该系统是线性的。式中同时成立时，该系统是线性的。式中ai为任意常数。这两个为任意常数。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成性质合在一起就成为叠加原理，写成 可加性可加性齐次性或比例性齐次性或比例性第1章 离散时间信号与系统 402.在在证证明明一一个个系系统统是是线线性性系系统统时时，必必须须证证明明此此系系统统同同时时满满足足可可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可
25、以是复数。例例1-10 以下系统是否为线性系统：以下系统是否为线性系统：y(n)=2x(n)+3解：设解：设很明显，很明显，在一般情况下在一般情况下 所以此系统不满足叠加性，所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。故不是线性系统。第1章 离散时间信号与系统 41二、移不变系统（时不变系统）二、移不变系统（时不变系统）定定义义：系系统统的的运运算算关关系系T在在整整个个运运算算过过程程中中不不随随时时间间（也也即即不不随随序序列列的的先先后后）而而变变化化，这这种种系系统统称称为为移移不不变变系系统统（或称时不变系统）。（或称时不变系统）。这这个个性性质质可可用用以以下下关关系系表表达达：若若输
26、输入入x(n)的的输输出出为为y(n),则则将将输输入入序序列列移移动动任任意意位位后后,其其输输出出序序列列除除了了跟跟着着移移动动相相同同位位外外，数值应该保持不变，即若数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n)则则 Tx(n-m)=y(n-m)（m为任意整数）为任意整数）(1-20)满足以上关系的系统就称为移不变系统。满足以上关系的系统就称为移不变系统。第1章 离散时间信号与系统 42例例1-12 证明证明 不是移不变系统。不是移不变系统。证：证：由于二者不相等，故不是移不变系统。由于二者不相等，故不是移不变系统。同同时时具具有有线线性性和和移移不不变变性性的的离离散散时时间间系系统统称
27、称为为线线性性移移不不变变（LSI）离离散散时时间间系系统统，简简称称LSI系系统统。除除非非特特殊殊说明，本书都是研究说明，本书都是研究LSI系统。系统。第1章 离散时间信号与系统 43三、单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和三、单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和1.定定义义：单单位位抽抽样样响响应应是是指指输输入入为为单单位位冲冲激激序序列列时时系系统统的的输出。一般用输出。一般用h(n)表示，即表示，即h(n)=T(n)利用利用h(n)就可得到此线性移不变系统对任意输入的输出。就可得到此线性移不变系统对任意输入的输出。2.线性移不变系统的卷积和表达式（线性移不变系统的卷积和表达式（）设
28、设系系统统输输入入序序列列为为x(n)，输输出出序序列列为为y(n)。由由于于任任一一序列序列x(n)可以写成可以写成(n)的移位加权和，的移位加权和，即即（1-21）注：注：线性移不变系统可用它的单位抽样响应线性移不变系统可用它的单位抽样响应h(n)来表征。来表征。(1-21)式完全表征了系统的时域特征。式完全表征了系统的时域特征。第1章 离散时间信号与系统 44系统的输出为系统的输出为 由于系统是线性的，由于系统是线性的，利用叠加原理知利用叠加原理知 又又由由于于系系统统是是移移不不变变的的，故故对对移移位位的的单单位位冲冲激激序序列列的的响响应应就就是单位抽样响应的移位，即是单位抽样响应
29、的移位，即 因此，得到因此，得到线性移不变系统的卷积和表达式：线性移不变系统的卷积和表达式：（1-22）图图 1-19 线性移不变系统线性移不变系统 图图 1-16 离散时间系统离散时间系统 反映了离散时间反映了离散时间线性移不变系统线性移不变系统的输入输出关系的输入输出关系 第1章 离散时间信号与系统 45四、线性移不变系统的性质四、线性移不变系统的性质 1 交换律交换律 由于卷积和与两卷积序列的次序无关由于卷积和与两卷积序列的次序无关,故故即即卷卷积积和和服服从从交交换换律律,这这说说明明：如如果果把把单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)改改作作为为输输入入，而而把把输输入入x(n)改改作作为
30、为系系统统单单位位抽抽样样响应，则输出响应，则输出y(n)不变。不变。(1-24)图图1-20 卷积和服从交换律卷积和服从交换律第1章 离散时间信号与系统 462 结合律结合律利用卷积和的定义可证明卷积运算服从结合律，即利用卷积和的定义可证明卷积运算服从结合律，即 上上式式说说明明：两两个个线线性性移移不不变变子子系系统统级级联联后后仍仍构构成成一一个个线线性性移移不不变变系系统统,其其单单位位抽抽样样响响应应为为两两子子系系统统单单位位抽抽样样响响应应的的卷卷积积,且且线线性性移移不不变变系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应与与它们的级联次序无关。它们的级联次序无关。(1-25)第1章 离散
31、时间信号与系统 47图图 1-21 具有相同单位脉冲响应的三个线性移不变系统具有相同单位脉冲响应的三个线性移不变系统 第1章 离散时间信号与系统 483 分配律分配律 由卷积和的定义可证明卷积和服从加法分配律由卷积和的定义可证明卷积和服从加法分配律,即即(1-26)上上式式说说明明：两两个个线线性性移移不不变变系系统统的的并并联联等等效效系系统统（等等式式左左边边）的的单单位位抽抽样样响响应应等等于于两两系系统统各各自自单单位位抽抽样样响响应之和。应之和。图图1-22 线性移不变系统的并联组合及其等效系统线性移不变系统的并联组合及其等效系统 第1章 离散时间信号与系统 491.定定义义：因因果
32、果系系统统是是指指某某时时刻刻系系统统的的输输出出只只取取决决于于此此时时刻刻和和此此时时刻刻以以前前时时刻刻的的输输入入的的系系统统，即即n时时刻刻的的系系统统输输出出y(n)只只取取决决于于x(n),x(n-1),x(n-2),。如如果果系系统统的的输输出出y(n)还还取取决决于于未未来来的的输输入入x(n+1),x(n+2),这这样样的系统是的系统是非因果系统非因果系统，也即不现实的系统。，也即不现实的系统。五、因果系统五、因果系统例：例：根据上述定义判断下列根据上述定义判断下列5个系统是否为因果系统。个系统是否为因果系统。1)y(n)=nx(n)2)y(n)=x(n+2)+ax(n)因
33、果系统因果系统非因非因果系统果系统第1章 离散时间信号与系统 502线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0,n0 (1-27)证明：可利用卷积和公式进行证明，参见教材证明：可利用卷积和公式进行证明，参见教材P27，28。3)y(n)=x(n3)4)y(n)=x(-n)5)y(n)=x(n)sin(n+2)非因非因果系统果系统非因非因果系统果系统因因果系统果系统 注意：注意：1)必须从全部时间上看输入输出关系的因果性必须从全部时间上看输入输出关系的因果性；2)考考查查因因果果系系统统时时必必须须把把输输入入信信号号的的影影响响与与系系统统定
34、义中用到的其他函数的影响区别开来。定义中用到的其他函数的影响区别开来。注：注：n0，x(n)=0 的序列称为因果序列，因果序列可以作的序列称为因果序列，因果序列可以作为一个因果系统的单位抽样响应。为一个因果系统的单位抽样响应。第1章 离散时间信号与系统 51 许许多多重重要要的的网网络络，如如频频率率特特性性为为理理想想矩矩形形的的理理想想低低通通滤滤波波器器以以及及理理想想微微分分器器等等都都是是非非因因果果的的不不可可实实现现的的系系统统。但但是是数数字字信信号号处处理理往往往往是是非非实实时时的的，即即使使是是实实时时处处理理，也也允允许许有有很很大大延延时时。这这时时对对于于某某一一个
35、个输输出出y(n)来来说说，已已有有大大量量的的“未未来来”输输入入x(n+1),x(n+2),，记记录录在在存存储储器器中中可可以以被被调调用用，因因而而可可以以很很接接近近于于实实现现这这些些非非因因果果系系统统。也也就就是是说说，可可以以用用具具有有很很大大延延时时的的因因果果系系统统去去逼逼近近非非因因果果系系统统。这这个个概概念念在在以以后后讲讲有有限限长长单单位位脉脉冲冲响响应应滤滤波波器器设设计计时时要要常常用用到到，这这也也是是数数字字系系统统优优于于模模拟拟系系统统的的特特点点之之一一。因因而而数数字字系系统统可可以比模拟系统更能获得接近理想的特性。以比模拟系统更能获得接近理
36、想的特性。第1章 离散时间信号与系统 521.定定义义：稳稳定定系系统统是是指指有有界界输输入入产产生生有有界界输输出出（BIBO）的的系系统统。也也就就是是说说稳稳定定系系统统满满足足：若若|x(n)|M，则，则|y(n)|P。六、稳定系统六、稳定系统2.线线性性移移不不变变系系统统是是稳稳定定系系统统的的充充分分必必要要条条件件是是单单位抽样响应绝对可和，位抽样响应绝对可和，即即(1-28)证明：充分性：由稳定系统的定义证明；证明：充分性：由稳定系统的定义证明；必要性：反证法证明。必要性：反证法证明。第1章 离散时间信号与系统 53如果输入信号如果输入信号x(n)有界有界,即即对于所有对于
37、所有n皆有皆有|x(n)|M,则则 即输出信号即输出信号y(n)有界，故充分性得证。有界，故充分性得证。证明：充分性：即已知证明：充分性：即已知 成立，要证线性成立，要证线性移不变系统是稳定的。若移不变系统是稳定的。若必要性：利用反证法。已知系统稳定，假设必要性：利用反证法。已知系统稳定，假设 第1章 离散时间信号与系统 54可以找到一个有界的输入可以找到一个有界的输入 式中式中h*(-n)是是h(-n)的复共轭。的复共轭。也即也即y(0)是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。所以成立。所以 是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。输出输出y(n)在
38、在n=0 点上的值为点上的值为 第1章 离散时间信号与系统 55注注意意：要要证证明明一一个个系系统统不不稳稳定定，只只需需找找一一个个特特别别的的有有界界输输入入，如如果果此此时时能能得得到到一一个个无无界界的的输输出出，那那么么就就一一定定能能判判定定一一个个系系统统是是不不稳稳定定的的。但但是是要要证证明明一一个个系系统统是是稳稳定定的的，就就不不能能只只用用某某一一个个特特定定的的输输入入作作用用来来证证明明，而而要要利利用用在在所所有有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。3.一一个个结结论论：因因果果稳稳定定的的线线性性
39、移移不不变变系系统统的的单单位位抽抽样样响响应既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即：应既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即：第1章 离散时间信号与系统 56例例1-16 设某线性移不变系统，其单位抽样响应为设某线性移不变系统，其单位抽样响应为讨论系统的因果性和稳定性。讨论系统的因果性和稳定性。解：由题意知：解：由题意知：1)讨论因果性：讨论因果性：n0将式将式 改写为另一种递推关系改写为另一种递推关系或或又利用已得出的结果又利用已得出的结果y(n)=h(n)=0 (n0),则有：则有：第1章 离散时间信号与系统 63所以所以 由例由例1-17知系统是非因果系统，知系统是非因果系统，时，系统
40、稳定。时，系统稳定。说明：说明：1)一个常系数线性差分方程并不一定代表因果一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统;注意：注意：在以后的讨论中在以后的讨论中,均假设常系数线性差分方程就均假设常系数线性差分方程就代表线性移不变系统代表线性移不变系统,且多数代表可实现的因果系统。且多数代表可实现的因果系统。2）一个常系数线性差分方程一个常系数线性差分方程,只有当初始条件选的合只有当初始条件选的合适时才相当于一个线性移不变系统适时才相当于一个线性移不变系统.(参见参见P32例例1-19)第1章 离散时间信号与系统 64乘法
41、器，乘法器，表示延时一为的延时单元。表示延时一为的延时单元。二从差分方程表达式直接得到系统的结构二从差分方程表达式直接得到系统的结构将输入变换成输出的运算将输入变换成输出的运算结构，而非实际结构结构，而非实际结构例如：已知一阶差分方程例如：已知一阶差分方程其运算结构如图所示。其运算结构如图所示。图图1-26 一阶差分方程的运算结构一阶差分方程的运算结构图中图中 代表加法器，代表加法器，代表代表第1章 离散时间信号与系统 651.4 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 在在数数字字信信号号处处理理系系统统中中，往往往往要要把把连连续续时时间间信信号号变变为为离离散散时时间间序序列列，并并且且要
42、要求求在在某某些些合合理理条条件件限限制制下下，该该连连续续时时间间信信号号要要能能用用其其离离散散时时间间序序列列来来完完全全给给予予表表示示。而而这这个个从从连连续续时时间间信信号号到到离离散散时时间间序序列列的的过过程程是是通通过过“采样采样”来完成的。来完成的。信信号号采采样样后后，信信号号的的频频谱谱将将发发生生怎怎样样的的变变换？换？信号内容会不会丢失？信号内容会不会丢失？由由离离散散信信号号恢恢复复成成连连续续信信号号应应该该具具备备哪哪些些条件？条件？研究研究内容内容第1章 离散时间信号与系统 661实际采样（物理采样）实际采样（物理采样）一理想采样的采样定理一理想采样的采样定
43、理采样：采样：就是把连续信号变成离散信号的过程，它是模就是把连续信号变成离散信号的过程，它是模拟信号数字化处理的第一个环节。拟信号数字化处理的第一个环节。采采样样器器：可可以以看看成成是是一一个个电电子子开开关关。采采样样开开关关每每隔隔T秒秒短短暂暂地地闭闭合合一一次次，将将连连续续信信号号接接通通，实实现现对连续信号的一次采样。对连续信号的一次采样。采样周期：采样周期：采样开关两次闭合的时间间隔采样开关两次闭合的时间间隔T。第1章 离散时间信号与系统 67图图 1-27 实际采样过程实际采样过程 设设开开关关每每隔隔T秒秒闭闭合合一一次次,若若开开关关每每次次闭闭合合的的时时间间为为秒秒,
44、那那么么采采样样器器的的输输出出将将是是一一串串周周期期为为T,宽宽度度为为的的脉脉冲冲。而而脉脉冲冲的的幅幅度度就就是是连连续续信信号号在在这这段段时时间间内内的的幅幅度度。这这个个采采样样过过程程可可以以看看作作是是一一个个脉脉冲冲调调幅幅过过程程。被被调调制制的的脉脉冲冲载载波波是是一一串串周周期期为为T、宽宽度度为为的的矩矩形形脉脉冲冲信信号号，记记作作p(t)，而而调调制制信信号号就就是是输输入入的的连连续续信信号号xa(t),因因而而有有采采样输出信号样输出信号 为：为：第1章 离散时间信号与系统 682.理想采样理想采样1）预备知识：冲激信号）预备知识：冲激信号(t)(t)的抽取
45、特性：的抽取特性：第1章 离散时间信号与系统 692）理想采样）理想采样理理想想采采样样：采采样样开开关关闭闭合合时时间间0时的采样。时的采样。理理想想采采样样特特点点：采采样样脉脉冲冲序序列列p(t)变变成成冲冲激激函函数数序序列列T(t),而而这这些些冲冲激激函函数数准准确确地地出出现现在在采采样样瞬瞬间间上上,其其积积分分幅幅度度(面面积积)准准确确地地等等于于输输入入信信号号xa(t)在在采采样样瞬瞬间间的的幅幅度度。即即理理想想采采样样可可看看作作是是对对冲冲激激脉脉冲冲载载波的调幅过程。波的调幅过程。图图 1-28 理想采样过程理想采样过程 第1章 离散时间信号与系统 70(1-3
46、2)把式（把式（1-32）代入式（）代入式（1-33），得），得 由于由于(t-mT)只在只在t=mT时不为零，故时不为零，故(1-33)(1-34)3）理想采样的数学表示）理想采样的数学表示冲激函数序列冲激函数序列T(t)为为 理想采样输出理想采样输出 为为理想采样时域理想采样时域数学表示数学表示 第1章 离散时间信号与系统 713.理想采样信号的频谱理想采样信号的频谱(1-36)1）频频谱谱延延拓拓：对对理理想想采采样样信信号号进进行行傅傅立立叶叶变变换换，可可以以证证明明理理想想采采样样信信号号的的频频谱谱是是连连续续信信号号频频谱谱的的周周期期延延拓。分析如下：拓。分析如下：连续信号的
47、傅里叶变换表示为：连续信号的傅里叶变换表示为：以以 表示理想采样表示理想采样 的傅立叶变换，则的傅立叶变换，则(1-35)第1章 离散时间信号与系统 72 由由于于 是是以以采采样样频频率率重重复复的的冲冲激激脉脉冲冲，因因此此是是一一个个周周期函数，可表示为傅里叶级数，即期函数，可表示为傅里叶级数，即 此级数的基频为采样频率，即：此级数的基频为采样频率，即：系数系数Ak可以通过以下运算求得可以通过以下运算求得：因而：因而：(1-37)第1章 离散时间信号与系统 73将式（将式（1-37）代入式（）代入式（1-36）可得）可得(1-38)结结论论:连连续续时时间间信信号号经经过过理理想想采采样
48、样后后,其其频频谱谱沿沿着着频频率率轴轴以以采采样样频频率率 为为间间隔隔而而周周期期性性重重复复,即即理理想想采采样样信信号号的的频频谱谱产产生生了了周周期期性性延延拓拓,其其周周期期为为 ,而而频频谱谱的的幅幅度度则则受受1/T加权加权,且每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同且每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同.第1章 离散时间信号与系统 74图图 1-29 时时域域采采样样后后，频频谱谱的的周周期期延延拓拓（a）原始限带信号频谱原始限带信号频谱;（b）已采样信号频谱（）已采样信号频谱（s 2h）（c）已采样信号频谱（）已采样信号频谱（s s/2,则则各各周周期期延延拓拓分分量量产产生生
49、频频谱谱的的交交叠叠，称称为为频频谱谱混混叠叠现现象象。不不可可能能无无失失真真的的滤滤出出原原信信号号的的频频谱谱，故故恢恢复复出出来来的的信信号号出现失真。出现失真。第1章 离散时间信号与系统 75采样频率之半（采样频率之半（s/2）称为）称为折叠频率折叠频率，即，即当信号频谱超过当信号频谱超过折叠频率折叠频率时，就会造成频谱的混叠。时，就会造成频谱的混叠。2）采样定理（）采样定理（）奈奈奎奎斯斯特特采采样样定定理理：若若xa(t)是是实实限限带带信信号号，要要想想采采样样后后x(n)=xa(nT)能能够够不不失失真真地地还还原原出出原原信信号号xa(t)，则则采采样频率必须样频率必须大于
50、大于或等于两倍信号谱的最高频率，即或等于两倍信号谱的最高频率，即第1章 离散时间信号与系统 76二二.信号的重建（采样的恢复）信号的重建（采样的恢复）则采样后不会产生频谱混叠，且则采样后不会产生频谱混叠，且 故故将将 通通过过一一个个理理想想低低通通滤滤波波器器，该该理理想想低低通通滤滤波波器器应该只让基带频谱通过应该只让基带频谱通过,故其带宽应该等于折叠频率，即故其带宽应该等于折叠频率，即 如如果果理理想想采采样样满满足足奈奈奎奎斯斯特特定定理理，即即模模拟拟信信号号谱谱的最高频率小于折叠频率，即的最高频率小于折叠频率，即1采样的恢复采样的恢复第1章 离散时间信号与系统 77图图1-31 采