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1、数字信号处理数字信号处理DSP_Chapter1_离散离散时间信号与离散时间时间信号与离散时间系统系统内容提要离散时间的基本概念LSI系统的输入、输出关系LSI系统的频率响应 确定性信号的相关函数DSP:Digital Signal Processing 2页离散时间系统的基本概念变换:一个离散时间系统可以抽象为一种变换或者是一种映射关系:yn=T(xn)其中x(n)为输入序列,y(n)为输出序列,T表示变换.如三点平均器(Moving Average):DSP:Digital Signal Processing 3三点平均器DSP:Digital Signal Processing 4MA
2、平滑对输出急剧变化的量进行平滑处理e.g.12个月的平均e.g.xn=sn+dnDSP:Digital Signal Processing 5累加器输出为过去所有输入的相加:DSP:Digital Signal Processing 6累加器DSP:Digital Signal Processing 7DT系统的分类线性变换：T x(n)=T x(n),Tx1(n)+x2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)如果系统对x1(n)的响应是y1(n),对x2(n)的响应是y2(n),那么对于 x1(n)+x2(n)的响应为:y(n)=T x1(n)+x2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)=y1(n)+
3、y2(n)DSP:Digital Signal Processing 8线性系统的图解说明x1(n)x2(n)T y(n)DSP:Digital Signal Processing 9线性系统的叠加原理T T x1(n)x2(n)y1(n)y2(n)y(n)DSP:Digital Signal Processing 10线性举例1累加器:x(n)=x1(n)+x2(n)DSP:Digital Signal Processing 11线性举例2能量算子:y(n)=x2(n)x(n-1)x(n+1)x(n)=x1(n)+x2(n)DSP:Digital Signal Processing 12线性
4、举例3平移累加器:但是DSP:Digital Signal Processing 13平移不变性平移不变性：Tx(n)=y(n)Tx(n-k)=y(n-k)即如果输入信号x(n)延迟了k个抽样周期,那么它的输出也延迟了k个抽样周期.DSP:Digital Signal Processing 14移不变系统的反例插值采样:y1(n)=x1(n/L),(n=r L)x(n)=x1(n-k)y(n)=x(n/L)=x1(n/L-k)Not Shift Invariant =x1(n L k)/L)=y1(n L k)y1(n k)DSP:Digital Signal Processing 15Ano
5、ther counterexample y(n)=n x(n)因此 y1(n k)=(n k)x1(n k).如果 x(n)=x1(n k)y(n)=n x(n)=n x1(n k)y1(n k)Not Shift Invariant System 参数依赖变量 n.DSP:Digital Signal Processing 16线性移不变系统线性移不变系统：同时具有线性和平移不变性的系统 LSI(Linear Shift Invariant System).容易运算.仍然广泛使用如果离散指标与时间有关,称为Linear Time Invariant(LTI)系统.DSP:Digital Si
6、gnal Processing 17线性移不变系统的例子例1：给定系统(1)y(n)=n x(n)判断这个系统是否是 线性、移不变系统.解：给定输入 x(n),它的响应为 y(n)=T x(n)=n x(n)=n x(n)=Tx(n)因此满足齐次性，又给定输入x1(n)+x2(n),它的响应为：y(n)=Tx1(n)+x2(n)=n(x1(n)+x2(n)=n*x1(n)+n*x2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)DSP:Digital Signal Processing 18线性移不变系统的例子 因此这个系统满足可加性，所以是一个线性系统.又系统对x(n-k)的响应为 yk(n)=Tx(n-
7、k)=n x(n-k),而 y(n k)=(n-k)x(n-k),因此系统不具有 平移不变性。DSP:Digital Signal Processing 19线性移不变系统的例子2 考虑系统 y(n)a y(n-1)=x(n),y(-1)=0,n 0是否具有线性移不变性。解：假设x1(n)的响应为y1(n),x2(n)的响应为y2(n),那么当输入 x1(n)+x2(n)时,y1(n)+y2(n)也满足系统方程:(y1(n)+y2(n)a(y1(n-1)+y2(n-1)=x1(n)+x2(n)因此系统是一个线性系统.容易验证当输入x(n-k)时，y(n-k)也满足系统方程，因此y(n-k)即为
8、x(n-k)的响应，所以系统是线性移不变系统.DSP:Digital Signal Processing 20因果性系统的输出y(n)只与现在和过去时刻的输入x(n),x(n-1),有关而与将来的输入无关。实时信号处理中，系统的输出不能早于输入，否则不是物理可实现系统。例：y(n)=n x(n)是一个因果系统。y(n)=x(n+1),y(n)=x(n2)和y(n)=x(-n)是非因果系统.DSP:Digital Signal Processing 21因果性举例算术平均:y(n)只依赖于 x(n-k),k 0 因果性.中心平均:非因果性,具有将来点的值.一个非因果性系统可以通过延迟它的输入转化
9、为因果性系统.DSP:Digital Signal Processing 22稳定性有界性：如果存在实数M，使得对于所有n都满足|x(n)|M，则称信号x(n)有界.对于一个LSI系统如果输入x(n)有界，输出y(n)也有界，那么这个系统稳定.设计的实际系统应该满足稳定性。DSP:Digital Signal Processing 23冲激响应Impulse Response:IR 脉冲:给定一个系统:如果 x(n)=(n)那么定义 y(n)=h(n)为系统的冲激响应.LSI 系统完全由h(n)给定.DSP:Digital Signal Processing 24有限冲激响应系统如果系统的抽样
10、响应仅包含有限个点，则为有限冲激响应（FIR)，否则为无限冲激响应(IIR)。求三点加权系统 y(n)=1x(n)+2x(n-1)+3 x(n-2)的单位冲激响应。解：将x(n)换成(n)，有 h(n)=1(n)+2(n-1)+3(n-2)所以 h(0)=1,h(1)=2,h(2)=3,当n 2时,h(n)=0.DSP:Digital Signal Processing 25 Example图例:DSP:Digital Signal Processing 26卷积冲激响应:平移不变性:线性:DSP:Digital Signal Processing 27LSI系统的输入、输出关系输入信号的卷积
11、表示:x(n)=x(k)(n-k)=+x(-1)(n+1)+x(0)(n)+x(n)为输入信号,(n)为单位冲激信号.输出信号的卷积表示:假设单位冲激信号(n)的响应为h(n),那么当输入为 x(k)(n-k)时,由LSI性质得到它的响应为:x(k)h(n-k).DSP:Digital Signal Processing 28LSI系统的卷积表示由于 x(n)=x(k)(n-k)因此LSI系统对信号x(n)的响应y(n)为:y(n)=T x(k)(n-k)=Tx(k)(n-k)=x(k)T(n-k)=x(k)h(n-k)卷积定义:DSP:Digital Signal Processing 29
12、卷积运算的性质交换律:y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)分配律:(x(n)+y(n)*h(n)=x(n)*h(n)+y(n)*h(n).结合律:(x(n)*h(n)*y(n)=x(n)*(h(n)*y(n)DSP:Digital Signal Processing 30线性卷积运算的步骤步骤1:将x(n),h(n)的时间下标由n换成k步骤2:将h(k)翻转得到 h(-k)步骤3:把h(-k)逐次右移n个抽样点得到 h(n-k),并且与x(n)相乘,所得结果相加得到响应y(n).DSP:Digital Signal Processing 31卷积运算图解信号xn通过一个LSI系统等
13、价于这个信号与它的冲激响应hn的卷积.DSP:Digital Signal Processing 32卷积运算图解1DSP:Digital Signal Processing 33卷积运算图解2DSP:Digital Signal Processing 34卷积运算的矩阵解释DSP:Digital Signal Processing 35卷积运算的注记长度为N和M的两个序列,它们的卷积运算长度为:N+M-1.卷积运算中的项之和为指标n,i.e.(n k)+k=n,求和项的指标从两个相反的方向移动.DSP:Digital Signal Processing 36线性卷积运算的例子1例1:令 h(
14、n)=h(0),h(1)=1,1,x(n)=x(0),x(1),x(2),x(3)=1,2,3,4,求x(n)和h(n)的线性卷积.解:当n=0时,把h(-k)与x(k)对应相乘,得到 y(0)=h(0)x(0)=1.y(1)=x(1)h(0)+x(0)h(1)=3,y(2)=x(1)h(1)+x(2)h(0)=5,y(3)=x(2)h(1)+x(3)h(0)=7,y(4)=x(3)h(1)=4.当n 5时 y(n)=0.DSP:Digital Signal Processing 37线性卷积运算的例子2例2：令 x(n)=bn u(n),h(n)=an u(n),求系统的输出 y(n).解:
15、直接由定义得:利用等比级数的求和公式可得:DSP:Digital Signal Processing 38卷积运算的Matlab实现函数为 conv如果 a=0,3,1,2,-1,b=3,2,1 那么conv(a,b)=0,9,9,11,2,0,-1DSP:Digital Signal Processing 39串联系统串联：我们假设h(n)是两个系统的串联,它们的冲激响应分别为 h1(n)和h2(n),则 h(n)=h1(n)*h2(n)由交换律得:DSP:Digital Signal Processing 40逆系统(n)对于卷积运算是单位元素,i.e.x(n)*(n)=x(n)考虑系统
16、如果 h1(n)*h2(n)=(n)则 z(n)=y(n)*h2(n)=x(n)*(h1(n)*h2(n)=x(n).我们称 h2(n)是h1(n)的逆系统.DSP:Digital Signal Processing 41逆系统使用逆系统(Inverse System)是为了从输出信号还原输入信号,如信道译码.不是对于所有的系统都有逆系统,如 h(n)=0.逆系统一般通过求解如下方程得到:h1(n)*h2(n)=(n)DSP:Digital Signal Processing 42逆系统举例累加器:它的冲激响应为:h1(n)=u(n)向后差分算子 y(n)=x(n)x(n-1)的冲激响应为 h
17、2(n)=(n)-(n-1)由于 (h2(n)*h1(n)=(n)-(n-1)*u(n)=(n)*u(n)-(n-1)*u(n)=u(n)u(n-1)=(n),因此向后差分是累加器的逆系统.DSP:Digital Signal Processing 43并联系统并联两个并联系统的冲激响应为它们各自冲激响应的和:h(n)=h1(n)+h2(n)DSP:Digital Signal Processing 44LSI系统稳定性的判断条件系统稳定性判据1:一个LSI系统稳定的充分必要条件是:hl1,即:Proof:充分性 由|x(k)|R,得DSP:Digital Signal Processing
18、45LSI系统稳定性的判断条件必要性:取 x(n)为如下的有界数列则由y(0)的有界性得证必要性成立.DSP:Digital Signal Processing 46LSI系统的频率响应特性复正弦信号:x(n)=ejn.由Euler 公式 ejn =cos(n)+j sin(n)e-jn=cos(n)-j sin(n)得 cos(n)=(ejn+e-jn)/2,sin(n)=(ejn-e-jn)/2j.DSP:Digital Signal Processing 47LSI系统的频率响应特性复正弦信号x(n)的响应:DSP:Digital Signal Processing 48系统的频率响应:
19、性质:实际上为h(n)的离散傅立叶变换.H(ej)为周期函数,周期为2.H(ej)为的连续函数.LSI系统的频率响应特性DSP:Digital Signal Processing 49LSI系统的相频响应和幅频响应幅频响应:为复数H(ej)的绝对值|H(ej)|H(ej)=HR(ej)+j HI(ej)H(ej)=|H(ej)|ej()相频响应：()复数两种表示法的相互关系|H(ej)|=(HR(ej)2+HI(ej)2)1/2 ()=arctan(HR(ej)/HI(ej)DSP:Digital Signal Processing 50余弦信号的输出响应余弦信号的LSI响应：DSP:Digi
20、tal Signal Processing 51确定性信号的相关函数相关系数:对于能量有限的信号x(n),y(n)，我们定义它们的相关系数为 在二维空间中xy为这两个向量x(n),y(n)之间的夹角余弦cos().由Cauchy-Schwarz不等式我们易知相关系数|xy|1.相关系数在一定程度上反映了两个固定波形x(n)和y(n)的相似程度.DSP:Digital Signal Processing 52能量信号的相关函数问题的引入:两个信号sin(n)和cos(n)是正交的,即其相关系数为0,但是把其中的一个信号移动/2,则得到它们的相关系数为|xy|=1,即为同一个信号.互相关函数:自相
21、关函数:为信号x(n)的能量.DSP:Digital Signal Processing 53功率信号的相关函数问题的引入:功率信号x(0)的能量Ex无穷大，因此我们可以定义它的相关函数为能量信号相关函数的平均值.互相关函数:自相关函数DSP:Digital Signal Processing 54周期信号的自相关函数假设周期信号x(n)的周期为N,那么它的自相关函数是周期函数且周期为N.周期信号的自相关函数为：DSP:Digital Signal Processing 55能量信号相关函数举例例 4：设 为指数信号，Ts为抽样周期,u(n Ts)为阶跃序列，其自相关函数为：DSP:Digit
22、al Signal Processing 56周期信号相关函数举例例 5:令 x(n)=sin(n),其周期为N,即 =2/N,求x(n)的自相关函数.解：DSP:Digital Signal Processing 57相关函数与线性卷积的关系 线性卷积互相关函数自相关函数DSP:Digital Signal Processing 58自相关函数的性质如果x(n)是一个实信号,则它的自相关函数rx(m)是一个偶函数,i.e.rx(m)在 m=0 时取得最大值,i.e.rx(m)0,可以直接利用 Cauchy-Schwartz不等式得到证明.如果x(n)为能量信号,则当m趋于无穷时,DSP:Digital Signal Processing 59互相关函数的性质rxy(m)不是偶函数,但是有 rxy(m)=ryx(-m)rxy(m)(rx(0)ry(0)1/2=(Ex Ey)1/2 Proof:由Cauchy-Schwartz不等式得DSP:Digital Signal Processing 60互相关函数的性质如果x(n)和y(n)都是能量信号,则 Proof:DSP:Digital Signal Processing 61信号相关性图示DSP:Digital Signal Processing 62