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1、离散时间信号与系统1.1 引言n n信号信号n n信号与信息信号与信息信号与信息信号与信息n n信号的信号的信号的信号的表示表示表示表示n n信号的信号的信号的信号的分类分类分类分类n n系统系统n n系统的系统的系统的系统的作用作用作用作用n n系统的系统的系统的系统的分类分类分类分类n n系统的系统的系统的系统的描述与分析描述与分析描述与分析描述与分析2信号与信息n n信号是信息的信号是信息的表现形式表现形式n n信息则是信号的信息则是信号的具体内容具体内容n n交通灯交通灯交通灯交通灯信号传递的信息：信号传递的信息：信号传递的信息：信号传递的信息：红灯红灯红灯红灯停而停而停而停而绿灯绿灯
2、绿灯绿灯行。行。行。行。n n信号是传递信息的函数信号是传递信息的函数n n数学上表示成数学上表示成数学上表示成数学上表示成一个或多个一个或多个一个或多个一个或多个独立变量独立变量独立变量独立变量的函数的函数的函数的函数n n一维变量：一维变量：一维变量：一维变量：时间时间时间时间或其它参量或其它参量或其它参量或其它参量n n语音语音语音语音信号表示为一个时间变量的函数信号表示为一个时间变量的函数信号表示为一个时间变量的函数信号表示为一个时间变量的函数n n静止图像静止图像静止图像静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数信号表示为两个空间变量的亮度函数信号表示为两个空间变量的亮度函数信号表示为
3、两个空间变量的亮度函数3信号的分类n n连续时间信号：连续时间信号：连续时间信号：连续时间信号：n n连续时间连续时间连续时间连续时间域内的信号域内的信号域内的信号域内的信号n n幅度幅度幅度幅度可以是可以是可以是可以是连续连续连续连续数值，或是数值，或是数值，或是数值，或是离散离散离散离散数值数值数值数值n n离散时间信号：离散时间信号：离散时间信号：离散时间信号：n n离散时间点离散时间点离散时间点离散时间点上的信号上的信号上的信号上的信号n n幅度幅度幅度幅度同样可以是同样可以是同样可以是同样可以是连续连续连续连续数值，或是数值，或是数值，或是数值，或是离散离散离散离散数值数值数值数值n
4、 n特殊形式：特殊形式：特殊形式：特殊形式：模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号n n模拟信号：模拟信号：模拟信号：模拟信号：时间和幅度时间和幅度时间和幅度时间和幅度都是都是都是都是连续连续连续连续数值的信号，实际中数值的信号，实际中数值的信号，实际中数值的信号，实际中与连续时间信号常常通用。与连续时间信号常常通用。与连续时间信号常常通用。与连续时间信号常常通用。n n数字信号：数字信号：数字信号：数字信号：时间和幅度时间和幅度时间和幅度时间和幅度都都都都离散离散离散离散化的信号。化的信号。化的信号。化的信号。4本章主要内容n n离散时间信号的基本概念离散时
5、间信号的基本概念n n离散时间系统的定义及其性质离散时间系统的定义及其性质n n线性常系数差分方程及其求解方法线性常系数差分方程及其求解方法n n理想取样：连续时间信号数字处理的理想取样：连续时间信号数字处理的概念和基本方法概念和基本方法n nMatlab实现实现51.2 离散时间信号序列n n序列的定义及表示序列的定义及表示n n序列的基本运算序列的基本运算n n几种常用序列几种常用序列n n序列的周期性序列的周期性n n用单位脉冲序列表示任意序列用单位脉冲序列表示任意序列61.2.1 序列的定义及表示n n序列的定义序列的定义n n数字序列：离散时间信号数字序列：离散时间信号数字序列：离散
6、时间信号数字序列：离散时间信号n n一般只在均匀间隔的离散时间一般只在均匀间隔的离散时间一般只在均匀间隔的离散时间一般只在均匀间隔的离散时间n nT T上给出上给出上给出上给出数值数值数值数值n n序列的表示序列的表示n nx x=x x(n n)，-n n+(1.1)+(1.1)n n图图图图1.1 1.1 图形表示图形表示图形表示图形表示n n用单位脉冲序列表示用单位脉冲序列表示用单位脉冲序列表示用单位脉冲序列表示7序列表示x=x(n)，-n+n nn 代表代表nTn nnT 指指均匀间隔均匀间隔的离散时间的离散时间n nT 指指间隔间隔的的离散离散时间时间n nn 为为非整数非整数时时没
7、有定义没有定义，不能不能认为此时认为此时x(n)的值是的值是零零8图1.1 序列的图形表示91.2.2 序列的基本运算n n和和n n积积n n移位移位n n标乘标乘n n翻转翻转n n累加累加n n差分差分n n时间尺度变换时间尺度变换n n序列的能量序列的能量n n卷积和卷积和10基本运算序列的和 设序列为设序列为x(n)和和y(n)，则序列，则序列z(n)=x(n)+y(n)(1.2)表示两个序列的和，定义为表示两个序列的和，定义为同序号同序号的序的序列值列值逐项对应逐项对应相加。相加。11例：序列的和例例1.1 设序列设序列计算序列的和计算序列的和x(n)+y(n)。解：解：12例：序
8、列求和图示13基本运算序列的积 设序列为设序列为x(n)和和y(n)，则序列，则序列z(n)=x(n)y(n)(1.3)表示两个序列的积，定义为表示两个序列的积，定义为同序号同序号的序的序列值列值逐项对应逐项对应相乘。相乘。14例：序列的积例例1.1 设序列设序列计算序列的和计算序列的和x(n)y(n)。解：解：15例：序列求积图示x(n)16基本运算序列的移位 设序列为设序列为x(n)，则序列，则序列y(n)=x(n-m)(1.4)表示将序列表示将序列x(n)进行移位。进行移位。n n m为正时为正时n nx x(n n-mm)：x x(n n)逐项依次逐项依次逐项依次逐项依次延时延时延时延
9、时(右移右移右移右移)mm位位位位n nx x(n n+mm)：x x(n n)逐项依次逐项依次逐项依次逐项依次超前超前超前超前(左移左移左移左移)mm位位位位n n m为负时，则为负时，则相反相反。17例：序列的移位例例1.1 设序列设序列计算序列的移位计算序列的移位x(n+1)。解：解：18例：序列移位图示x(n)19基本运算序列的标乘 设序列为设序列为x(n)，a为常数为常数(a 0)，则序列，则序列y(n)=ax(n)(1.5)表示将序列表示将序列x(n)的标乘，定义为的标乘，定义为各序列值各序列值均乘以均乘以a，使新序列的，使新序列的幅度幅度为原序列的为原序列的a倍。倍。20例：序列
10、的标乘例例1.1 设序列设序列计算序列的标乘计算序列的标乘4x(n)。解：解：21基本运算序列的翻转 设序列为设序列为x(n)，则序列，则序列y(n)=x(-n)(1.6)表示以表示以n=0的的纵轴为对称轴纵轴为对称轴将序列将序列x(n)加加以翻转。以翻转。22例：序列的翻转例例1.2 设序列设序列计算序列的翻转计算序列的翻转x(-n)。解：解：23基本运算序列的累加 设序列为设序列为x(n)，则序列，则序列 (1.7)定义为对定义为对x(n)的累加，表示将的累加，表示将n 以前以前的所的所有有x(n)值求和。值求和。24基本运算序列的差分n n前向差分：前向差分：将序列将序列先先进行进行左移
11、左移，再相减，再相减x(n)=x(n+1)-x(n)(1.8)n n后向差分：后向差分：将序列将序列先先进行进行右移右移，再相减，再相减x(n)=x(n)-x(n-1)(1.9)n n由此，容易得出由此，容易得出 x(n)=x(n-1)25多阶差分运算 n n 二阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分n n 二阶后向差分二阶后向差分二阶后向差分二阶后向差分 n n 单位延迟算子单位延迟算子单位延迟算子单位延迟算子D D，有，有，有，有 DyDy(n n)=)=y y(n-n-1)1)n ny y(n n)=)=y y(n n)-)-y y(n-n-1)=1)=y y(n n)-)-Dy
12、 Dy(n n)=(1-)=(1-D D)y y(n n)n n=1-=1-D D n nk k 阶后向差阶后向差阶后向差阶后向差分分分分(按二项式定理展开按二项式定理展开)n n二阶后向差分二阶后向差分二阶后向差分二阶后向差分26基本运算时间尺度(比例)变换 设序列为设序列为x(n)，m为正整数，则序列为正整数，则序列n n 抽取序列抽取序列抽取序列抽取序列y(n)=x(mn)(1.10)n n x x(mnmn)和和和和x x(n/mn/m)定义为对定义为对定义为对定义为对x x(n n)的的的的时间尺度变换时间尺度变换时间尺度变换时间尺度变换。n n 插值序列插值序列插值序列插值序列 (
13、1.11)27抽取序列n nx(mn)：对对对对x x(n n)进行抽取运算进行抽取运算进行抽取运算进行抽取运算n n 不是简单在时间轴上按比例增加到不是简单在时间轴上按比例增加到不是简单在时间轴上按比例增加到不是简单在时间轴上按比例增加到mm倍倍倍倍n n 以以以以1/1/mm倍的取样频率倍的取样频率倍的取样频率倍的取样频率每隔每隔每隔每隔mm-1-1个点个点个点个点抽取抽取抽取抽取1 1点。点。点。点。n n 保留保留保留保留 x x(0)(0)28插值序列n n x(n/m)：对对x(n)进行插值运算进行插值运算n n 表示在原序列表示在原序列表示在原序列表示在原序列x x(n n)相邻
14、两点相邻两点相邻两点相邻两点之间插入之间插入之间插入之间插入mm-1-1个零个零个零个零值点值点值点值点n n 保留保留保留保留 x x(0)(0)29基本运算序列的能量 设序列为设序列为x(n)，则序列，则序列 (1.12)n n 定义为序列的能量，表示序列各取样值的定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方平方之和；之和；n n 若为复序列，取若为复序列，取模值模值后再求平方和。后再求平方和。30基本运算序列的卷积和 设序列为设序列为x(n)和和z(n)，则序列，则序列 (1.13)定义为定义为x(n)和和z(n)的的卷积和卷积和。卷积和又称卷积和又称为为离散卷积离散卷积或或线性卷积线性卷积
15、，是，是很重要很重要的公式。的公式。31卷积和计算的四个步骤n n 翻转翻转：x x(mm)，z z(mm)z z(-(-mm)n n 移位移位：z z(-(-mm)z z(n n-mm)n n n n为正数时，右移为正数时，右移为正数时，右移为正数时，右移n n位位位位n n n n为负数时，左移为负数时，左移为负数时，左移为负数时，左移n n位位位位n n 相乘相乘：z z(n n-mm)x x(mm)（mm值相同）值相同）值相同）值相同）n n 相加相加：y y(n n)=)=z z(n n-mm)x x(mm)32对应点相乘！对应点相乘！对应点相乘！对应点相乘！例：卷积和计算例例例例1
16、.3 1.3 设序列设序列设序列设序列求求求求y y(n n)=)=x x(n n)*)*z z(n n)。解：解：解：解：n n n n n n0 0 0 0时，时，时，时，x(m)x(m)x(m)x(m)与与与与z(n-m)z(n-m)z(n-m)z(n-m)没有重叠没有重叠没有重叠没有重叠，得，得，得，得y(n)=0y(n)=0y(n)=0y(n)=0。n n 0000n n n n4444时，时，时，时，对应点相乘！对应点相乘！对应点相乘！对应点相乘！33例：卷积和计算n n 4 4 4 4n6n6n6n6时，时，时，时，n n 4 4 4 4n6n6n6n6时，时，时，时，n n n
17、 n n n10101010时，时，时，时，x x x x(m m m m)与与与与z z z z(n-mn-mn-mn-m)没有重叠，得没有重叠，得没有重叠，得没有重叠，得y y y y(n n n n)=0)=0)=0)=0。341.2.3 几种常用序列n n单位脉冲序列单位脉冲序列n n单位阶跃序列单位阶跃序列n n矩形序列矩形序列n n实指数序列实指数序列 n n正弦序列正弦序列 n n复指数序列复指数序列 35单位脉冲序列n n(n n)只在只在只在只在n n=0=0时取确定时取确定时取确定时取确定值值值值1 1，其它均为零，其它均为零，其它均为零，其它均为零 n n(n n)类似于
18、类似于类似于类似于(t t)n n(n n-mm)只有在只有在只有在只有在n n=mm时时时时取确定值取确定值取确定值取确定值1 1，而其余点，而其余点，而其余点，而其余点取值均为零取值均为零取值均为零取值均为零 36单位阶跃序列n nu u(n n)类似于类似于类似于类似于u u(t t)n nu u(t t)在在在在t t=0=0时常不定义，时常不定义，时常不定义，时常不定义，u u(n n)在在在在n n=0=0时为时为时为时为u u(0)=1(0)=1 n n(n n)和和和和u u(n n)的关系：的关系：的关系：的关系：(n)=u(n)-u(n-1)37单位矩形序列n n N N
19、为矩形序列的为矩形序列的为矩形序列的为矩形序列的长度长度长度长度 n n 和和和和u u(n n)、(n n)的关系的关系的关系的关系：38实指数序列n na a为实数为实数为实数为实数n n当当当当|a|a|1 1时序列时序列时序列时序列收敛收敛收敛收敛n n当当当当|a|a|1 1时序列时序列时序列时序列发散发散发散发散 39正弦序列 n nA A为幅度为幅度为幅度为幅度n n为数字域角频率为数字域角频率为数字域角频率为数字域角频率n n 为起始相位为起始相位为起始相位为起始相位 n nx x(n n)由由由由x x(t t)=sin)=sint t 取样取样取样取样得到得到x(n)=As
20、in(n+)n n归一化归一化归一化归一化:=T=/fs (与与与与线性关系线性关系)40复指数序列 n n为为为为数字域数字域数字域数字域角频率角频率角频率角频率n n用用用用实部实部实部实部与与与与虚部虚部虚部虚部表示表示表示表示 n用用极坐标极坐标极坐标极坐标表示表示 n n=0=0时，序列具有以时，序列具有以时，序列具有以时，序列具有以22为周期的为周期的为周期的为周期的周期性周期性周期性周期性 411.2.4 序列的周期性 n n对于序列对于序列对于序列对于序列x x(n n)，如果对所有，如果对所有，如果对所有，如果对所有n n 存在一个最小的正整存在一个最小的正整存在一个最小的正
21、整存在一个最小的正整数数数数N N，满足，满足，满足，满足x x(n n)=)=x x(n+Nn+N)则序列则序列则序列则序列x x(n n)是周期序列是周期序列是周期序列是周期序列 ，最小周期最小周期最小周期最小周期为为为为N N。n n以以以以正弦序列正弦序列正弦序列正弦序列 为例讨论周期性为例讨论周期性 设设设设 x x(n n)=)=A Asin(sin(nn+)则有则有则有则有 x x(n+Nn+N)=)=A Asinsin(n+Nn+N)+)+=A Asin(sin(NN+n+n+)若若若若满足条件满足条件满足条件满足条件N=N=2 2k k，则，则，则，则 x x(n+Nn+N)
22、=)=A Asinsin(n+Nn+N)+)+=A Asin(sin(n+n+)=x=x(n n)42周期性讨论n nN N、k k 为整数，为整数，为整数，为整数，k k 的取值满足条件，且保证的取值满足条件，且保证的取值满足条件，且保证的取值满足条件，且保证N N 最小正整数。其周期为最小正整数。其周期为最小正整数。其周期为最小正整数。其周期为 n n2/2/为为为为整数整数整数整数时，取时，取时，取时，取k k=1=1，保证为最小正整数。此，保证为最小正整数。此，保证为最小正整数。此，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为时为周期序列，周期为时为周期序列，周期为时为周期序列，周期为2/
23、2/。例例1.41.4 序列序列序列序列 ，因为，因为，因为，因为2/2/=8=8，所以是，所以是，所以是，所以是一个周期序列，其周期一个周期序列，其周期一个周期序列，其周期一个周期序列，其周期N N=8=8。43周期性讨论n n2/2/为为为为有理数而非整数有理数而非整数有理数而非整数有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期时，仍然是周期序列，周期时，仍然是周期序列，周期时，仍然是周期序列，周期大于大于大于大于2/2/。例例1.51.5 序列序列序列序列 ，2/2/=8/3=8/3是有理数，是有理数，是有理数，是有理数，所以是周期序列，取所以是周期序列，取所以是周期序列，取所以是周期序列，取k
24、 k=3=3，得到周期，得到周期，得到周期，得到周期N N=8=8。n n2/2/为为为为无理数无理数无理数无理数时，时，时，时，任何任何k 都不能使都不能使N 为正整数，这为正整数，这时正弦序列不是周期序列。时正弦序列不是周期序列。例例 序列序列序列序列n n指数为纯虚数指数为纯虚数指数为纯虚数指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的的复指数序列的周期性与正弦序列的的复指数序列的周期性与正弦序列的的复指数序列的周期性与正弦序列的情况情况情况情况相同相同相同相同。441.2.5 用单位脉冲序列表示任意序列 n n任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表任何序列都可以用单位脉冲序列的移位
25、加权和来表任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即示，即示，即示，即n nx x(n n)可看成是可看成是可看成是可看成是x x(n n)和和和和(n n)的卷积和，式中的卷积和，式中的卷积和，式中的卷积和，式中n n例例例例1.61.61.61.6 451.3 离散时间系统 n n离散时间系统的定义及表示离散时间系统的定义及表示 n n线性时不变系统线性时不变系统 n n单位脉冲响应与卷积和单位脉冲响应与卷积和 n n线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质 n n因果系统和稳定系统因果系统和稳定系统 461.3.1 离散时间系统的定义及
26、表示 n n离散时间系统定义为将输入序列离散时间系统定义为将输入序列离散时间系统定义为将输入序列离散时间系统定义为将输入序列x x(n n)映射映射映射映射成输成输成输成输出序列出序列出序列出序列y y(n n)的的的的惟一惟一惟一惟一变换或运算。变换或运算。变换或运算。变换或运算。n n以以以以T T 表示这种运算表示这种运算表示这种运算表示这种运算y y(n n)=)=T T x x(n n)n n对变换对变换对变换对变换T T 加以不同的加以不同的加以不同的加以不同的约束条件约束条件约束条件约束条件，所定义的系统，所定义的系统，所定义的系统，所定义的系统就具有不同的特性和功能。就具有不同
27、的特性和功能。就具有不同的特性和功能。就具有不同的特性和功能。n n线性时不变线性时不变线性时不变线性时不变系统系统系统系统:最重要、最常用，可表征许多物最重要、最常用，可表征许多物最重要、最常用，可表征许多物最重要、最常用，可表征许多物理过程。理过程。理过程。理过程。471.3.2 线性时不变系统 n n线性系统线性系统线性系统线性系统n n满足满足满足满足叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理n n叠加原理包含叠加原理包含叠加原理包含叠加原理包含可加性可加性可加性可加性和和和和齐次性齐次性齐次性齐次性两方面性质两方面性质两方面性质两方面性质 n n时不变系统时不变系统时不变系统时不变系统n n系
28、统的响应与输入信号系统的响应与输入信号系统的响应与输入信号系统的响应与输入信号施加施加施加施加于系统的于系统的于系统的于系统的时刻无关时刻无关时刻无关时刻无关n n运算关系在整个运算过程中运算关系在整个运算过程中运算关系在整个运算过程中运算关系在整个运算过程中不随时间而变化不随时间而变化不随时间而变化不随时间而变化 n n线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统 n n既满足既满足既满足既满足叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理，又满足，又满足，又满足，又满足时不变性时不变性时不变性时不变性的系统的系统的系统的系统 48线性系统 设系统的输入序列与输出分别为设系统的输入序列与输出分
29、别为设系统的输入序列与输出分别为设系统的输入序列与输出分别为n n可加性可加性可加性可加性:如果系统的输入之和与输出之和满足如果系统的输入之和与输出之和满足如果系统的输入之和与输出之和满足如果系统的输入之和与输出之和满足n n齐次性齐次性齐次性齐次性(或或或或比例性比例性比例性比例性):设设设设a a为常数，系统的输入增为常数，系统的输入增为常数，系统的输入增为常数，系统的输入增大大大大a a倍，输出也增大倍，输出也增大倍，输出也增大倍，输出也增大a a倍倍倍倍n n线性线性线性线性系统与系统与系统与系统与非线性非线性非线性非线性系统系统系统系统49例：证明一个线性系统n n注意注意注意注意：
30、必须证明系统必须证明系统必须证明系统必须证明系统同时满足同时满足同时满足同时满足可加性和齐次性，且信可加性和齐次性，且信可加性和齐次性，且信可加性和齐次性，且信号及比例常数都可以是号及比例常数都可以是号及比例常数都可以是号及比例常数都可以是复数复数复数复数。n n例例例例1.71.7 试分析下列系统的线性试分析下列系统的线性试分析下列系统的线性试分析下列系统的线性 n(1)y(n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中，其中M为正整数。为正整数。n n不满足叠加原理，不满足叠加原理，不满足叠加原理，不满足叠加原理，非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统 n n满足叠加原理，满足
31、叠加原理，满足叠加原理，满足叠加原理，线性系统线性系统线性系统线性系统 50时不变系统 n n输入序列输入序列输入序列输入序列x x(n n)移动任意移动任意移动任意移动任意m m 位后，输出序列位后，输出序列位后，输出序列位后，输出序列y y(n n)也移动也移动也移动也移动m m 位，位，位，位，数值却保持不变数值却保持不变数值却保持不变数值却保持不变。nm 为为任意常整数任意常整数 n n时不变时不变时不变时不变系统也称为系统也称为系统也称为系统也称为移不变移不变移不变移不变系统系统系统系统 51例：证明一个时不变系统n n例例例例1.7 1.7 试分析下列系统的时不变性试分析下列系统的
32、时不变性试分析下列系统的时不变性试分析下列系统的时不变性 n(1)y(n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中，其中M为正整数。为正整数。n n二者相等，具二者相等，具二者相等，具二者相等，具有时不变性有时不变性有时不变性有时不变性 n n时变系统时变系统时变系统时变系统 521.3.3 单位脉冲响应与卷积和 n n单位取样响应单位取样响应(单位脉冲响应单位脉冲响应)n nh h(n n)=)=T T (n n)n n线性时不变系统输入为线性时不变系统输入为线性时不变系统输入为线性时不变系统输入为(n n)时对应的输出时对应的输出时对应的输出时对应的输出 n n线性时不变系统线
33、性时不变系统 都可以用它的单位脉冲响应都可以用它的单位脉冲响应都可以用它的单位脉冲响应都可以用它的单位脉冲响应h h(n n)来表征来表征来表征来表征n n已知已知h(n)可得到线性时不变系统对可得到线性时不变系统对可得到线性时不变系统对可得到线性时不变系统对任意输入任意输入任意输入任意输入的输出的输出的输出的输出 53推导卷积和表达式 n n(n n)表示表示表示表示x x(n n)n n系统输出系统输出系统输出系统输出 n n叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理 n n时不变性时不变性时不变性时不变性 n n卷积和表达式卷积和表达式卷积和表达式卷积和表达式:表示表示表示表示线性时不变系统线性时
34、不变系统线性时不变系统线性时不变系统的的的的输出输出输出输出等于等于等于等于输输输输入序列入序列入序列入序列和和和和单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应的的的的卷积卷积卷积卷积。541.3.4 线性时不变系统的性质 n n交换律交换律交换律交换律n n结合律结合律结合律结合律n n分配律分配律分配律分配律n n可以推广到可以推广到可以推广到可以推广到多个系统多个系统多个系统多个系统的情况，由卷积和的定义可以很容的情况，由卷积和的定义可以很容的情况，由卷积和的定义可以很容的情况，由卷积和的定义可以很容易加以证明。易加以证明。易加以证明。易加以证明。551.3.5 因果系统和稳定系统n
35、 n因果系统因果系统因果系统因果系统 系统某时刻的输出系统某时刻的输出系统某时刻的输出系统某时刻的输出y y(n n)只取决于只取决于只取决于只取决于此时刻此时刻此时刻此时刻x x(n n)和和和和以前以前以前以前的的的的输入输入输入输入x x(n-n-1)1)，x x(n-2n-2)，而和此时刻，而和此时刻，而和此时刻，而和此时刻以后以后以后以后的输入的输入的输入的输入x x(n n+1)+1)，x x(n n+2)+2)，无关无关无关无关。n n先因后果先因后果先因后果先因后果 因果系统的因果系统的因果系统的因果系统的响应不会出现于外加输入之前响应不会出现于外加输入之前响应不会出现于外加输
36、入之前响应不会出现于外加输入之前。n n非因果系统非因果系统非因果系统非因果系统 当前的输出还取决于当前的输出还取决于当前的输出还取决于当前的输出还取决于未来的输入未来的输入未来的输入未来的输入，不符合因果关系。，不符合因果关系。，不符合因果关系。，不符合因果关系。56因果性的充分必要条件 线性时不变系统具有因果性的充要条件线性时不变系统具有因果性的充要条件 h(n)=0，n0 证明证明证明证明 充分条件充分条件充分条件充分条件n n若若若若n n0 0时，时，时，时，h h(n n)=0)=0，则，则，则，则n n因而因而因而因而 n n0 0时刻的输出时刻的输出时刻的输出时刻的输出 n n
37、可见可见可见可见，y y(n n0 0)只与只与只与只与mm n n0 0时的时的时的时的x x(mm)有关，因而有关，因而有关，因而有关，因而是因果系统。是因果系统。是因果系统。是因果系统。57因果条件证明证明证明证明证明 利用利用利用利用反证法反证法反证法反证法证明证明证明证明必要条件必要条件必要条件必要条件n n假设因果系统，假设因果系统，假设因果系统，假设因果系统，n n0 0时时时时h h(n n)0)0，则，则，则，则 n n在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不在所设条件下，第二个求和式中至少有一项
38、不为零，为零，为零，为零，y y(n n)将至少和将至少和将至少和将至少和mmn n时的某一个时的某一个时的某一个时的某一个x x(n n)值值值值有关，这不符合因果性，假设不成立。有关，这不符合因果性，假设不成立。有关，这不符合因果性，假设不成立。有关，这不符合因果性，假设不成立。58例：判断因果系统n n例例例例1.8 1.8 判断差分系统的因果性。判断差分系统的因果性。判断差分系统的因果性。判断差分系统的因果性。n(1)前向差分系统前向差分系统前向差分系统前向差分系统:y y(n n)=x x(n n+1)-x x(n n);n(2)后向差分系统后向差分系统后向差分系统后向差分系统:y
39、y(n n)=)=x x(n n)-)-x x(n n-1)-1)。解解解解 n n因为前向差分系统的因为前向差分系统的因为前向差分系统的因为前向差分系统的y y(n n)决定于决定于决定于决定于x x(n n+1)+1)，故系统为非因果的。故系统为非因果的。故系统为非因果的。故系统为非因果的。n n而后向差分系统定义为而后向差分系统定义为而后向差分系统定义为而后向差分系统定义为y y(n n)=)=x x(n n)-)-x x(n n-1)-1)，显然是因果的。，显然是因果的。，显然是因果的。，显然是因果的。59讨论因果系统可实现性n n因果系统是因果系统是因果系统是因果系统是物理可实现物理
40、可实现物理可实现物理可实现的系统；非因果系统的系统；非因果系统的系统；非因果系统的系统；非因果系统是是是是不可实现不可实现不可实现不可实现的系统。的系统。的系统。的系统。n n在具有在具有在具有在具有较大延时较大延时较大延时较大延时的情况下，可以用的情况下，可以用的情况下，可以用的情况下，可以用因果系统因果系统因果系统因果系统去逼近非因果去逼近非因果去逼近非因果去逼近非因果系统。系统。系统。系统。n n例如语音处理、气象、地球物理学等。例如语音处理、气象、地球物理学等。例如语音处理、气象、地球物理学等。例如语音处理、气象、地球物理学等。n n非因果系统在非因果系统在非因果系统在非因果系统在理论
41、上理论上理论上理论上是是是是存在存在存在存在的。的。的。的。n n例如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因例如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因例如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因例如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因果系统，但它们是不可实现的。果系统，但它们是不可实现的。果系统，但它们是不可实现的。果系统，但它们是不可实现的。60稳定系统稳定系统n n稳定系统稳定系统稳定系统稳定系统 n n系统的系统的系统的系统的每个有界每个有界每个有界每个有界输入，输入，输入，输入，对应对应对应对应产生的产生的产生的产生的输出都有界输出都有界输出都有界输出都有界。n n如果输入满足如果输入
42、满足如果输入满足如果输入满足|x x(n n)|M)|M+(M+(M为正常数为正常数为正常数为正常数)，有输出，有输出，有输出，有输出|y y(n n)|P)|P+(P+(P为正常数为正常数为正常数为正常数)。n n判断系统不稳定判断系统不稳定判断系统不稳定判断系统不稳定 只要找出只要找出只要找出只要找出一个特别的有界输入一个特别的有界输入一个特别的有界输入一个特别的有界输入，对应的输出是无界的，对应的输出是无界的，对应的输出是无界的，对应的输出是无界的，则该系统就是不稳定的。则该系统就是不稳定的。则该系统就是不稳定的。则该系统就是不稳定的。n n判断系统稳定判断系统稳定判断系统稳定判断系统稳
43、定 必须证明必须证明必须证明必须证明所有有界输入所有有界输入所有有界输入所有有界输入，其输出都是有界的。，其输出都是有界的。，其输出都是有界的。，其输出都是有界的。61稳定性的充分必要条件 线性时不变系统具有稳定性的充要条件是线性时不变系统具有稳定性的充要条件是线性时不变系统具有稳定性的充要条件是线性时不变系统具有稳定性的充要条件是 其单位脉冲响应绝对可和其单位脉冲响应绝对可和其单位脉冲响应绝对可和其单位脉冲响应绝对可和，即，即，即，即证明证明证明证明 充分条件充分条件充分条件充分条件n n若式成立，对于所有若式成立，对于所有若式成立，对于所有若式成立，对于所有n n都有都有都有都有|x x(
44、n n)|M)|M，得，得，得，得 n n即输出即输出即输出即输出y y(n n)有界，系统稳定。有界，系统稳定。有界，系统稳定。有界，系统稳定。62稳定条件证明证明证明证明证明 利用利用利用利用反证法反证法反证法反证法证明证明证明证明必要条件必要条件必要条件必要条件n n假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和 n n定义一个有界输入定义一个有界输入定义一个有界输入定义一个有界输入n n计算输出，有计算输出，有计算输出，有计算输出，有n n即即即即y(0)y(0)无界，系统不稳定，
45、因此假设不成立。无界，系统不稳定，因此假设不成立。无界，系统不稳定，因此假设不成立。无界，系统不稳定，因此假设不成立。63例：判断稳定系统n n例例例例1.9 1.9 判断累加器系统的稳定性判断累加器系统的稳定性判断累加器系统的稳定性判断累加器系统的稳定性解解解解 n n考虑有界输入考虑有界输入考虑有界输入考虑有界输入x x(n n)=)=u u(n n)，累加器的输出，累加器的输出，累加器的输出，累加器的输出为为为为 n n虽然虽然虽然虽然n n为有限值时，系统输出也为有限值，为有限值时，系统输出也为有限值，为有限值时，系统输出也为有限值，为有限值时，系统输出也为有限值，但对于所有但对于所有
46、但对于所有但对于所有n n值值值值(包括包括包括包括+)+)不存在有限值不存在有限值不存在有限值不存在有限值P P，使得使得使得使得(n+1)P(n+1)P+，故系统输出无界。，故系统输出无界。，故系统输出无界。，故系统输出无界。64例：判断因果稳定系统n n例例例例1.10 1.10 已知线性时不变系统的单位脉冲响应已知线性时不变系统的单位脉冲响应已知线性时不变系统的单位脉冲响应已知线性时不变系统的单位脉冲响应解解解解 n n因为因为因为因为n n0 0时，时，时，时，u u(-(-n n-1)=1-1)=1，所以，所以，所以，所以h h(n n)0)0，故系统，故系统，故系统，故系统是非因
47、果系统。是非因果系统。是非因果系统。是非因果系统。n n所以所以所以所以|a|a|1 1时系统稳定，时系统稳定，时系统稳定，时系统稳定，|a|1|a|1时不稳定。时不稳定。时不稳定。时不稳定。式中式中式中式中a a为实常数，讨论其因果性和稳定性。为实常数，讨论其因果性和稳定性。为实常数，讨论其因果性和稳定性。为实常数，讨论其因果性和稳定性。n n收敛序列收敛序列：模值随：模值随：模值随：模值随n n加大而减小，如加大而减小，如加大而减小，如加大而减小，如|a|a|1 1时时时时h(n)h(n)；n n发散序列发散序列：模值随：模值随：模值随：模值随n n加大而加大，如加大而加大，如加大而加大，
48、如加大而加大，如|a|1|a|1时时时时h(n)h(n)。n n因因因因为为为为651.4 线性常系数差分方程 n n离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型 差分方程差分方程 n n线性常系数线性差分方程求解线性常系数线性差分方程求解 661.4.1 1.4.1 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型差分方程差分方程 n n差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程，差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程，差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程，差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程，由序列及其各阶差分进行线性叠加组成。由序列及其各阶差分进行线性叠加组成。由序列及其各阶差分进行
49、线性叠加组成。由序列及其各阶差分进行线性叠加组成。n n例如，对于一个二阶差分方程例如，对于一个二阶差分方程例如，对于一个二阶差分方程例如，对于一个二阶差分方程 n n将将将将=1-D=1-D代入方程，得到代入方程，得到代入方程，得到代入方程，得到n n展开得到二阶线性常系数差分方程展开得到二阶线性常系数差分方程展开得到二阶线性常系数差分方程展开得到二阶线性常系数差分方程 67线性常系数差分方程的一般形式线性常系数差分方程的一般形式 n n线性时不变系统的数学模型线性时不变系统的数学模型线性时不变系统的数学模型线性时不变系统的数学模型n n式式式式(1.44)(1.44)不必是因果。假设是因果
50、系统，变换得到不必是因果。假设是因果系统，变换得到不必是因果。假设是因果系统，变换得到不必是因果。假设是因果系统，变换得到n n线性线性：x x(n n-r r)和和和和y y(n n-k k)项都只有一次幂且不存在它们的相项都只有一次幂且不存在它们的相项都只有一次幂且不存在它们的相项都只有一次幂且不存在它们的相乘项，也没有相互交叉项乘项，也没有相互交叉项乘项，也没有相互交叉项乘项，也没有相互交叉项 n n常系数常系数：决定系统特征的系数均为常数决定系统特征的系数均为常数决定系统特征的系数均为常数决定系统特征的系数均为常数 n n阶数：阶数：阶数：阶数：y y(n n-k k)项变量项变量项变