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1、 主讲主讲宗序平宗序平概概率率论论与与数数理理统统计计 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题:用一个怎样的数去反映这种联系.一一.协方差定义与性质协方差定义与性质若X,Y 独立,则根据数学期望的性质，有 E(XY)=EX EY为X,Y的协方差.记为 称定义定义E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX EY=0X，Y 独立E(X-EX)(Y-EY)=0数反映了随机变量反映了随机变量 X,Y 之间的某种关系之间的某种关系Cov(X,Y)=E(XY)-EXE
2、Y.证明 若若(X,Y)为离散型，为离散型，若若(X,Y)为连续型，为连续型，注(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为 常数；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);协方差性质协方差性质性质性质1 1解解性质性质2“X与Y 独立”“X与Y不相关”,反之未必成立.例例 设(X,Y)在D=(X,Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。性质性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价(1)X,Y不相关;(2)Cov(X,Y)=
3、0;(3)E(XY)=EX EY;(4)D(X+Y)=DX+DY.二.相关系数相关系数 1.定义定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则注1：若记称为X 的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且称为X与Y的相关系数相关系数.无量纲 的量注2X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关例例3 3 设(X,Y)N(1,12;2,22;),求XY 解若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立X,Y 不相关例例4 4 设 U(0,2),X=cos ,Y=cos(+),是给定的常数，求 XY 解若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系引理E(
4、Y 2)0 时，当且仅当证证 令时,等式成立 Cauchy-Schwarz不等式.对任何实数 t,当E(X 2)0,等号成立有两个相等的实零点 即即等号成立即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1.2.相关系数的性质 定理定理 在以上假设条件下，有(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数解解D1x=y例例5 5解解1)2)例例6 6 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差三三.矩矩 X,Y 的 k+l 阶混合原点矩
5、 X,Y 的 k+l 阶混合中心矩 X,Y 的 二阶原点矩 X,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差 X,Y 的相关系数四.协方差矩阵协方差矩阵1.定义 设X1，,Xn为n个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，,Xn的协方差矩阵C。即例例6 6 设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ解解 若 X,Y 是两个r.v.,用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的平均平方误差为当取平均平方误差最小.附录附录矩在线性回归中 的应用附例附例 设 X,Y 相互独立,且都服从 N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b 为常数，且都不为零，求UV 解解由而故 a,b 取何值时,U与V 不相关？此时,U与V 是否独立？继续继续讨论讨论但 UN(0,2a2 2),VN(0,2a2 2),若 a=b，UV=0,则 U,V 不相关.且U,V 相互独立 正态随机变量的结论则若(X,Y)则 若相互独立则推广推广X,Y 相互独立,小结小结