《协方差和相关系数ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《协方差和相关系数ppt课件.ppt（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 5.3 协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y 之间的某种关系定义 称为X,Y 的协方差.记为称为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义若D(X)0,D(Y)0,称为X,Y 的 相关系数，记为事实上，若 称 X,Y 不相关.利用函数的期望或方差计算协方差q 若(X,Y)为离散型，q 若(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算q 求 cov(X,Y),XY 1 0 p qX P
2、 1 0 p qY P 例1 已知 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解 1 0 p qX Y P 例2 设(X,Y)N(1,12,2,22,),求 XY 解若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立X,Y 不相关例3 设(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求 XY 解若若有线性关系若不相关，但 不独立，没有线性关系，但有函数关系例4 设 X,Y 相互独立，且都服从 N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b 为常数，且都不为零，求UV 解由而故继续讨论：a,b 取何值时，U,V 不相关？此时，U,V 是
3、否独立？但 U N(0,2a2 2),V N(0,2a2 2),若 a=b，UV=0,则 U,V 不相关.且U,V 相互独立协方差的性质q q q q q 当D(X)0,D(Y)0 时，当且仅当时，等式成立Cauchy-Schwarz 不等式协方差和相关系数的性质证 5 令对任何实数 t,即等号成立 有两个相等的实零点即又显然即即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为完全类似地可以证明当E(X 2)0,E(Y 2)0 时，当且仅当时，等式成立相关系数的性质q q Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为若X,Y 是两个随机变量，
4、用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的平均平方误差为当取平均平方误差最小.q X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关若 X,Y 服从二维正态分布，X,Y 相互独立X,Y 不相关在例1中已知 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1在例3中 设(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求得 若若有线性关系若不相关，没有线性关系,但有其他关系例5 设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ解例6 设随机变量 X 的概率密度函数为(1)E(|X|),D(|X|)(2)求cov(X,|X|),问X 与|X|是否不相关.(3)问X 与|X|是否独立？为什么？解(1)(2)X 与|X|不相关.(3)显然因而 X 与|X|不独立例7 设A,B 为随机试验 E 的两个事件，0 P(A)1,0 P(B)1,令证明：若 XY=0,则随机变量 X,Y 相互独立.证 设(X,Y)的联合分布为X Y pij 1 0 10p1 p2p3 p4 pip1+p3 p2+p4p jp1+p2p3+p4由即即由于事件 A,B 相互独立，必有也相互独立，即同理可证，故 X,Y 相互独立.此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！