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1、 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系.问题:用一个怎样的数去反映这种联系.一一.协方差定义与性质协方差定义与性质若X,Y 独立,则根据数学期望的性质，有 E(XY)=EX EY为X,Y的协方差.记为 称定义定义E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX EY=0X，Y 独立E(X-EX)(Y-EY)=0数反映了随机变量反映了随机变量 X,Y 之间的某种关系之间的某种关系Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY.证明 若若(X,Y)为离散型，为离散型，若若(X
2、,Y)为连续型，为连续型，(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为 常数；(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);协方差性质协方差性质性质性质1 1解解性质性质2“X与Y 独立”“X与Y不相关”,反之未必成立.例例 设(X,Y)在D=(x,y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。性质性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价(1)X,Y不相关;(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=EX EY;(4)D(X+Y)=
3、DX+DY.二.相关系数相关系数(*)(*)1.定义定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则注1：若记称为X 的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且称为X与Y的相关系数相关系数.无量纲 的量注2X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立X,Y 不相关注32.相关系数的性质 定理定理 在以上假设条件下，有(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数解解D1x=y例例4 4解解
4、1)2)例例6 6:有有96.8%的线性相似度，即在的线性相似度，即在0,1之间，之间，y=x2与某条直线与某条直线y=ax+b的图像差别不大。的图像差别不大。:根本就没有线性相关性，但有其他相关性。根本就没有线性相关性，但有其他相关性。X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差三三.矩矩 X,Y 的 k+l 阶混合原点矩 X,Y 的 k+l 阶混合中心矩 X,Y 的 二阶原点矩 X,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差 X,Y 的相关系数例例5 5 设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ解解四.协方差矩阵协方差矩阵定义 设X1，,Xn为n个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,n.则称由cij组成的矩阵为随机向量(X1，,Xn)T的协方差矩阵C。即