《泛函分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泛函分析.ppt（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、泛函分析泛函分析主讲教师：何中全西华师范大学数学与信息学院 1.1.度量空间的进一步例子度量空间的进一步例子第七章第七章 度量空间度量空间和赋范线性空间和赋范线性空间 度量空间和度量的定义度量空间和度量的定义.例例1 1 离散的度量空间离散的度量空间 例例2 2 序列空间序列空间S S 例例3 3 有界函数空间有界函数空间B B（A A）例例4 4 可测函数空间可测函数空间M(X)M(X)例例5 5 连续函数空间连续函数空间Ca,bCa,b 例例6 6 空间空间 教学过程教学过程：复习引入：复习引入：（1）复习第二章n维欧氏空间中的邻域，开集、闭集、极限等相应概念。（2）今天学习的度量空间与
2、n维欧氏空间有什么样子的区别和联系呢？进而举例说明常用的几种不同度量空间。讲解新课：讲解新课：例例 1 离散的度量空间离散的度量空间 设X是任意的非空集合，对X中任意两点 ，令 容易验证 满足第二章中关于举例的定义中的条件 及 。我们称 为离散的估量空间。由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离。使它成为度量空间。例例 2 序列空间序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点 及 ，令易知 满足距离条件 ，下面验证 满足距离条件 。为此我们首先证明对任意两个复数 和 ，成立不等式事实上，我们考察 上的函数由于在 上，所以 在 上单调增加，由不等式 ，我们得到 令 ，则 ，代入上
3、面不等式，得 由此立即可知 满足距离条件 ，即S按 成一度量空间。例 3 有界函数空间B(A)设A是一给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点 x,y，定义下面验证 满足条件 和 。显然是非负的。又 等价于对一切 ，成立 ，所以 ，即 满足条件 ，此外，对所有的 成立所以即 满足条件 ，特别的，当 时，记 B(A)为 .例例 4 可测函数空间可测函数空间设 为X上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m为Lebesgue 测度，若 ，对任意两个可测函数 及 ，由于 所以这是X上的可积函数，令如果把 中的两个几乎处处相等的函数视为 中的同一个元，
4、那么利用不等式 及积分性质很容易验证 是距离。因此 按上述距离 成为度量空间。例例 5 空间空间 令 表示闭区间 上的实值（或复值）连续函数全体，对 中任意两点 ，定义容易验证它满足距离条件 和 例例 6 记 ，定义则d是 的距离。距离条件 是容易得出的，现检验条件 对任何正整数n，和 都是 中的元素，由Cauchy 不等式再令右端 ，即得再令左端的即得由此可得令取 。以 代入上式，即可得 的三点不等式 由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外，还包括其他的空间之外，还包括其他的空间教学目标教学目标：（一）知识与技能目标：1 把在第二章的维欧氏空间中学习过的邻域、极限、开集、闭集等相应概念转移到度量空间中来。2 引入更多的度量空间的例子和泛函分析中的证明思想。（二）过程与方法目标：从一些具体的空间实例中加深对基本概念的理解。教材分析教材分析：（一）教学重点：离散度量空间，序列空间，有界空间，可测函数空间，的性质。（二）教学难点：序列空间，有界函数空间 课课 型型：新授课 教学方法教学方法：讲解法