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1、泛函分析导引泛函分析导引泛函分析概览泛函分析概览形 成 于 20世纪30年代的数学分支从 变 分 问 题 ， 积 分 方 程 和 理 论 物 理 的研 究 中 发 展 而 来综 合 运 用 了 函 数 论 ， 几 何 学 ， 代 数 学的 观 点可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析研究内容研究内容无 限 维 向 量 空 间 上 的 函 数 ， 算 子 和 极限 理 论研 究 拓 扑 线 性 空 间 到 拓 扑 线 性 空 间 之间 满 足 各 种 拓 扑 和 代 数 条 件 的 映 射泛函分析的产生泛函分析的产生十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几
2、何非欧几何对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论群论对数学分析的研究又建立了集合论集合论二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作希尔伯特空间的提出分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性 条件也极其相似非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多 变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响泛函分析的产生泛函分析的产生函数概念被赋予了更为一般的意义古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应 关系现代数学的发展
3、却是要求建立两个任意集合之间的某种对应 关系在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。泛函分析的特点泛函分析的特点把 古 典 分 析 的 基 本 概 念 和 方 法一般化几何化从 有 限 维 到 无 穷 维泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统过渡到无穷自由度系统现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统泛函分析的主要研究内容泛函分析的主要研究内容泛函分析自身算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论与其他数学学科的关联 微分方程、概率论
4、、函数论、连续介质力学、计算数学、控 制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，建立群上调和 分析理论的基本工具与其他科学学科的关联 连续介质力学、量子物理学，是研究无限个自由度物理系统 的重要而自然的工具之一Lpa,b空间空间表 示 区 间 a , b 绝对值的p次幂L可积函数的全 体，并把几乎处处相等几乎处处相等的函数看成是同一个函 数。拓 展 古 典 分 析 中 的概 念Lebesgue测度Lebesgue积分x(t) L a, b, x(t)dt (p 1)存在bppa从从Riemann积分到积分到Lebesgue积分积分Riemann积分的定义：设 f (x) 是定义在a, b上的有界
5、函数在a, b上任意取一组分点a=x0 x1xn-1xn=b, 并任 意取i xi-1,xi (i=1,2,n)，作和式nS f (i ) xii1若其极限存在则称Riemann可积n x 0 i1(R) f (x)dx lim f (i ) xiba从从Riemann积分到积分到Lebesgue积分积分 Riemann积分的思想积分的思想是是，将曲边梯形分成若干个小曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精 细，近似程度越好。不可积分的反例：Dirichlet函数该函数太不连续了，在小区间内 变化很大1,D(x) 当x为有理数0,当x为
6、无理数从从Riemann积分到积分到Lebesgue积分积分Legesgue积分的思想积分的思想是是，优先照顾函数取值， 将函数值相差不大的那些x集中起来，考虑集合Ei= x | yi-1f (x) yi ，然后求其长度， yi m(Ei)和yi-1 m(Ei)用来近似所对应的那块面积，最后再对所有的小块积分Dirichlet函数仍旧可以积分1,D(x) 当x为有理数0,当x为无理数从从Riemann积分到积分到Lebesgue积分积分Legesgue积分方法所面临的问题：给定直线上的点集E，如何定义它的“长度”？引 出了集合测集合测度度的概念对于任何实数a和b，点集 x | af (x)0，
7、存在N0，当n, mN时，有(xn, xm) . 则称 xn是X中的柯西(Cauchy)序 列，或称基本序列基本序列收敛的序列必然是柯西序列，而柯西序列未必是收敛 的序列空间的不完备性若距离空间(X, )中的每一个柯西序列都收敛于(X, )中的某一元素，则称(X, )是完备完备的的距离空间距离空间的完备性距离空间的完备性Ca,b和 Lpa,b都是完备距离空间距离空间：不动点原理距离空间：不动点原理定义：设(X, )为距离空间，T是 X 到 X中 的 映照，如果存在数a (0a1)，使得对所有的x,yX都有(Tx, Ty)1)上的有界线性泛函上的有界线性泛函设xLpa,b，yLqa,b，且1/p
8、+1/q=1，则Lpa,b上的有界线性泛函是且(Lpa,b)*= Lqa,b当p=q=2时， (Lpa,b)*= Lqa,b，故空间L2a,b是自共轭空间f (x) x(t) y(t)dtba赋范线性空间的几个重要定理赋范线性空间的几个重要定理非零有界线性泛函存在定理逆算子定理类似于反函数定理：单调函数必存在反函数有界线性算子T将Banach空间 X 一一的映照到Banach空间 Y ，则 T 的逆算子线性有界特例：Fourier变换，Laplace变换赋范线性空间的几个重要定理赋范线性空间的几个重要定理闭图象定理闭图象定理设T是定义在Banach空间X上值域包含在Banach空间Y上的 线性
9、算子，则T是有界算子有界算子的充要条件充要条件是是T是闭算子闭算子线性算子T的图像GT (x,Tx) | x D(T ) X Y是 XY中的闭集，则称T是闭算子闭图象定理常用来验证算子的连续性赋范线性空间的几个重要定理赋范线性空间的几个重要定理共鸣定理共鸣定理：对于有界线性算子序列，若代入每一个值都有上 界，则有界线性算子序列本身有界。可用于证明Lagrange插值多项式作为连续函数近似表达时，插 值点无限增多并不能更好的逼近插值函数。存在连续函数其Fourier级数无法一致收敛有界线性算子的正则集与谱有界线性算子的正则集与谱相似性矩阵的特征分解 Ax x = yFourier级数展开内积空间
10、内积空间几何化：引入正交投影的概念 定义：设 X 是定义在实（或复）数域K上的线性 空间，若对于X 任意一对有序元素x,y, 恒对应数 域K的值(x, y)，且满足( a x , y ) = a(x, y)；( x+y, z) = (x, z) + (x, z)( x , x ) 0，且(x, x)=0的充要条件是x=0则称X为内积空间，(x, y)称为x, y的内积(x, y) ( y, x)Hilbert空间空间可由内积导出范数完备的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间Hilbert空间必为Banach空间x x, xHilbert空间空间L2a,b中定义x, y的内积(x, y)为
11、因此， L2a,b是一个可分的Hilbert空间Lpa,b (p2)不可能诱导由范数诱导出内积空 间(x, y) x(t) y(t)dt, x(t), y(t) L2 a, bb aHilbert空间空间赋范线性空间X成为内积空间的充要条件是它 的范数满足中线公式2222x y x y 2 x 2 y而且内积可表示为2 x y2 i x iy2 i x y 2 )(x, y) 1 ( x y4Hilbert空间空间正交(x, y) = 0，记为xy正交补勾股定理正交分解：设M是内积空间X的完备子空间，则对 任意xX ，均有以下唯一的正交分解唯一的正交分解 x | x A, x X XA222x
12、 y x y x yx x0 z, x0 M , z M内积空间中的标准正交系内积空间中的标准正交系定 义 ： 内 积 空 间 X中的元素列ek，如果满足(ei , ej ) 0, i j则 称 ek是一正交正交系系. 进一步，如果满足则 称 ek是一标准正交系标准正交系有 限 维 空 间 ， 将 给 定 向 量 展 开 成 正 交 单 位 向 量的 线 性 组 合无 限 维 空 间 ， 将 给 定 函 数 展 开 成 Fourier级数0i j i j(e , e ) 1ijij内积空间中的标准正交系内积空间中的标准正交系L2-, 中，三角函数列 1 , 1 cos x, 1 sin x, 1 cos 2x, 1 sin 2x.是标准正交系Gram-Schmidt正规化过程正规化过程Gram-Schmidt正规化过程正规化过程完备的标准正交系完备的标准正交系可列的完备标准正交系可列的完备标准正交系Hilbert空间的自共轭性空间的自共轭性