《泛函分析初步.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泛函分析初步.ppt（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、泛函分析初步1现在学习的是第1页，共43页3.1 线性空间线性空间定义定义(线性空间线性空间)：非空集合：非空集合W，若满足若满足(1)W 中元对中元对“+”构成交换群，即对构成交换群，即对 X X,Y Y,ZZ W，有，有.（加法交换群，称为（加法交换群，称为Abel加加群，俗称群，俗称Abel群）群）2现在学习的是第2页，共43页(2)对对 X X,Y Y W，,C C（复数域），有：（复数域），有：.即对数乘封闭，即对数乘封闭，则称则称W为为线性空间线性空间；,C C，W为复线性为复线性空间；空间；,RR，W为实线性空间。为实线性空间。（接上页）3现在学习的是第3页，共43页说明：说明：
2、4现在学习的是第4页，共43页线性算子：线性算子：线性空间线性空间W上的算子上的算子 L 为为线性算子线性算子推论：推论：零状态线性系统零状态线性系统 系统算子为线性算子系统算子为线性算子5现在学习的是第5页，共43页3.2 线性子空间线性子空间线性线性子子空间：设空间：设 V W，V是是W的线性子的线性子空间空间 （V上加法、数乘封闭上加法、数乘封闭）（空间求和空间求和直和直和）返回返回6现在学习的是第6页，共43页3.3 距离空间距离空间（度量空间，度量空间，Metric Space）定义：设定义：设W，称，称W为为距离空间距离空间，指在，指在W中定义了映射：中定义了映射：（包括（包括0元
3、），元），X X,Y Y W 满足以下三条公理：满足以下三条公理：则则 称为称为W上的上的距离距离，为为度量空间度量空间。返回返回7现在学习的是第7页，共43页例子：例子：例例1：数域：数域例例2：函数空间：函数空间8现在学习的是第8页，共43页例例3：向量空间：向量空间9现在学习的是第9页，共43页距离空间的收敛问题：距离空间的收敛问题：收敛收敛：定理：在定理：在 中，每个收敛点列有唯一的中，每个收敛点列有唯一的极限点。极限点。（请同学自行证明）研究点列的轨迹，点迹收敛情况。10现在学习的是第10页，共43页柯西序列：柯西序列：柯西序列柯西序列（Cauchy Sequence）例子：例子：点
4、列越来越靠近，无限靠近，靠到哪里呢？如果靠到W上，则可惜序列收敛于W 。11现在学习的是第11页，共43页关于柯西序列的说明：关于柯西序列的说明：中任意收敛序列都是柯西序列中任意收敛序列都是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到中的柯西序列未必收敛到 上上12现在学习的是第12页，共43页距离空间的完备性：距离空间的完备性：完备度量空间完备度量空间Complete Metric Space 称为完备称为完备度量空间度量空间，指其中所有柯西序列，指其中所有柯西序列都收敛于都收敛于W。说明：说明：极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限如何完备化？如何完备化？度量
5、空间（度量空间（W,）不要求）不要求 W 是线性空间是线性空间13现在学习的是第13页，共43页3.4 巴拿赫（巴拿赫（Banach）空间）空间 14现在学习的是第14页，共43页3.4.1 赋范线性空间赋范线性空间定义定义（赋范线性空间）（赋范线性空间）：设：设W 是是线性空性空间，若，若对 X X、Y Y W，满足三条公理：满足三条公理：则称则称 为为X X 的的范数范数（Norm）。定义了范数的线性）。定义了范数的线性空间称为空间称为赋范线性空间赋范线性空间，记为，记为 。15现在学习的是第15页，共43页赋范空间赋范空间与度量空间的关系：与度量空间的关系：16现在学习的是第16页，共4
6、3页举举 例：例：例例1：n 维实数空间维实数空间（有限维空间）（有限维空间）n 维实空间：维实空间：范数范数广义长度广义长度17现在学习的是第17页，共43页例例2：离散时间离散时间序列序列空间空间 l（无穷维空间）（无穷维空间）注意：注意：sup为上确界；为上确界；supp为支撑。为支撑。18现在学习的是第18页，共43页例例3：连续时间信号空间连续时间信号空间C a,b（无穷维）（无穷维）19现在学习的是第19页，共43页赋范线性空间赋范线性空间 的的包含定理：包含定理：20现在学习的是第20页，共43页M氏不等式：氏不等式：离散序列空间离散序列空间 的的Minkovski不等式：不等式
7、：21现在学习的是第21页，共43页连续函数连续函数空间空间C a,b 的的Minkovski不等式：不等式：22现在学习的是第22页，共43页强收敛与弱收敛：强收敛与弱收敛：强收敛：强收敛：弱收敛：依泛函收敛，通常意义下的函数收弱收敛：依泛函收敛，通常意义下的函数收敛是弱收敛。敛是弱收敛。例如，例如，Ch1之之广义极限广义极限，就是一种弱收敛；，就是一种弱收敛；强收敛强收敛 弱收敛。弱收敛。(Convergence in Norm)23现在学习的是第23页，共43页3.4.2 Banach空间空间Banach空间：完备的空间：完备的 是是Banach空间。空间。在在 中，取中，取 ，则完备。
8、，则完备。24现在学习的是第24页，共43页Hlder不等式不等式（连续函数空间）（连续函数空间）：返回返回25现在学习的是第25页，共43页Banach空间的包含定理：空间的包含定理：定理：定理：高高次方可积次方可积 低低次方可积次方可积26现在学习的是第26页，共43页3.5 Hilbert 空间空间 外两则：外两则：Hilbert第六问题第六问题：任何物理学理论、物理定律、实验结论，：任何物理学理论、物理定律、实验结论，都可以从一组数学公理出发演绎得到。追求统一观。都可以从一组数学公理出发演绎得到。追求统一观。泛函分析泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，而着眼于概：属于基于公理
9、的分析体系，不在于计算，而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理解、解释数学物理问题。念演绎，更普适、更一般、更深刻地理解、解释数学物理问题。27现在学习的是第27页，共43页3.5.1 内积空间（内积空间（W,）内积内积：设：设W为实或复线性空间，若对为实或复线性空间，若对 X X、Y Y、ZZ W，C C，均有一个实数或均有一个实数或复数与之对应，记为复数与之对应，记为 X X,Y Y，满足：，满足：则称则称 X X,Y Y 为为X X与与Y Y的内积，定义了内积的空的内积，定义了内积的空间为内积空间（间为内积空间（ips），记为），记为（W,）28现在学习的是第28页，共43页注：注
10、：29现在学习的是第29页，共43页（注意：与教材定义形式有所不同）注意：与教材定义形式有所不同）30现在学习的是第30页，共43页3.5.2 希尔伯特空间希尔伯特空间若由若由内积导出内积导出的的范数范数 （欧氏范数）（欧氏范数）存在，则内积空间亦为赋范线性空间。存在，则内积空间亦为赋范线性空间。有限维内积空间必完备：有限维内积空间必完备：完备。完备。完备，可定义内积完备，可定义内积 。Hilbert空间空间：依欧氏范数：依欧氏范数 完备完备的内积空间称为的内积空间称为Hilbert空间。空间。Hilbert空间是特殊的空间是特殊的Banach空间：空间：ipden举例：举例：能量有限能量有限
11、信号、物理空间、信号、物理空间、返回返回31现在学习的是第31页，共43页C-S不等式：不等式：Cauchy-Schwarz不等式：不等式：W为内积空间，为内积空间，X,YW，有，有说明：在说明：在Hlder不等式不等式中，取中，取 ，则，则成为成为Cauchy-Schwarz不等式。不等式。注：在注：在 空间中，空间中，C-S不等式变为：不等式变为：注：在注：在 空间中，空间中，C-S不等式变为：不等式变为：32现在学习的是第32页，共43页3.5.3 线性泛函线性泛函 算子算子：X、Y 为线性空间，算子：为线性空间，算子：其中，其中，为定义域，为定义域，为值域。为值域。33现在学习的是第3
12、3页，共43页数域数域（Number Field）：包括）：包括0、1且对四则运算封闭的且对四则运算封闭的集合。集合。泛函泛函（Functional）：值域是）：值域是实数域实数域或或复数域复数域的算子称的算子称为泛函。是一般为泛函。是一般空间空间数域数域空间的映射空间的映射。例如：定积分、内积、例如：定积分、内积、函数（广义函数定义）、范数、距函数（广义函数定义）、范数、距离、（普通）函数均为泛函。离、（普通）函数均为泛函。线性算子线性算子：X、Y 为线性空间，为线性空间，若对若对 有：有：则则 T 为线性算子。为线性算子。34现在学习的是第34页，共43页线性泛函线性泛函：线性算子：线性算
13、子 T 的值域为实数集的值域为实数集/复数集。复数集。范数、距离、一般函数都是泛函，但不是线性泛函。范数、距离、一般函数都是泛函，但不是线性泛函。连续连续线性算子线性算子 T（如图）（如图）对线性算子：对线性算子：有界有界 连续连续算子界算子界：T:XY(L,S)M 0,使使|TX|y M|X|x 则则 T 为为有界算子有界算子。|TX|/|X|为为算子的范数算子的范数。内积为连续线性泛函内积为连续线性泛函积分算子积分算子逐点连续逐点连续依范数连续依范数连续35现在学习的是第35页，共43页3.6 完备完备规范规范正交正交集上的集上的 广义傅里叶展开广义傅里叶展开 36现在学习的是第36页，共
14、43页3.6.1 正交（正交（Orthogonal）定义定义：在内积空间：在内积空间W 中，若中，若 ，满足满足 ，则称，则称 正交正交，记为记为 。其中。其中 k 为常数，为常数，为为 Kronecker 符号：符号：正交子集正交子集：中任意两个元正交。中任意两个元正交。37现在学习的是第37页，共43页集合正交：集合正交：规范正交完备规范正交完备集集V：（正交正交）（规范规范）（完备完备）返回返回38现在学习的是第38页，共43页Hilbert空间性质空间性质：定理：定理：Hilbert空间空间存在规范正交完备集。存在规范正交完备集。定理：定理：W 是是Hilbert空间，空间，V 是是W
15、 的正交子集。的正交子集。（直和直和直和直和）39现在学习的是第39页，共43页3.6.2 正交投影正交投影（Orthogonal Projection）Motive：40现在学习的是第40页，共43页3.6.3 广义傅里叶展开广义傅里叶展开广义傅里叶展开：设广义傅里叶展开：设 是是Hilbert 空空间间W 的的规范正交完备集规范正交完备集，则对，则对 其中：其中：称为广义傅里叶系数。称为广义傅里叶系数。注：注：是是Hilbert空间空间W 的规范且完备的规范且完备的一组正交基。的一组正交基。是是 X 在在 上的投影。上的投影。41现在学习的是第41页，共43页Parseval 等式等式 设：设：则：则：物理解释：信号总能量各分量的能量之和。物理解释：信号总能量各分量的能量之和。几何解释：广义勾股定理。几何解释：广义勾股定理。42现在学习的是第42页，共43页用用 N 项广义傅里叶展开逼近项广义傅里叶展开逼近 X：设设 是是Hilbert 空间空间W 的规范正交的规范正交完备集：完备集：X在在 上的投影：上的投影：。这里这里 规范正交，但不完备。规范正交，但不完备。43现在学习的是第43页，共43页