《泛函分析答案泛函分析解答张恭庆.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泛函分析答案泛函分析解答张恭庆.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、泛函分析答案泛函分析解答张 恭庆第五章习题第一部分01-151 . M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间.证明显然span(M)是X的线性子空间设N是X的线性子空间，且 则由span( M)的定义，可直接验证span(M) = N.所以span( M)是包含M的最小线性子空间.为自然数./=12 .设5为线性空间X的子集，证明conv(B) = Z 生玉| a tN 0, i=l证明设4 = ，乙|4役0,= 1,4区,为自然数.首先容易看出A为 /=1 /=!包含B的凸集，设厂也是包含B的凸集，则显然有A q凡 故A为包含B的3 .证明见切上的多项式全体Pa, W
2、是无限维线性空间，而=是它的一个基底.证明首先可以直接证明尸a,切按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而Pa,切中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示.设Co, Cl, C2,Cm是旭+1个实数,其中ml.若Cntn= 0,由代数学基本定理知Co = Cl = C2 = . =0,=0所以片中任意有限个元素线性无关，故尸6川是无限维线性空间，而是它的一个基底。4 .在 2 中对任意的 二(孙 工2) 2,定义| % 111 = I Xi | + I X2 II x Ih =(X12+ X22)1/2, IIx |oo = max I xi I, IX21 .证明它们都是？中的范数，并
3、画出各自单 位球的图形.证明证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.5 .设X为线性赋范空间,L为它的线性子空间。证明也是X的线性子空间. 证明Vx, jecl(L), Vas ,存在心中的序列 x”, %使得 x, yn y. 从而 x + y = lim xn + lim yn = lim (xH + jw)gc!(L), a x = a lim xn = lim (a xn) gcI(L).所以d(L)是X的线性子空间.注这里cl(为表示子集L的闭包.6 .设X为完备的线性赋范空间，/为它的闭线性子空间，xo M.证明：L = axo+y yeM,aE 也是X的闭线
4、性子空间.证明若 , y, zw M使得2o+y = ro + z,则3-力)0 = 2-)必 得到a = y = z；即L中元素的表示是唯一的.若L中的序列斯刈+为 收敛于X中某点z,则序列斯xo + 为有界序歹!J. 由于M闭，xoeM,故存在方0,使得| xo - y | Nr, Vj g M.则当即WO时有 I I = I fln I r (1/r) 0.对VxeX,当 xwO 时，|(x/|x|i) |i=l,所以|(M|1)|2之心故VxeX 有类似地可以证明存在 0使得方II|2|% 111, VxgX.所以两个范数等价.8 .证明：Banach空间机不是可分的.证明见教科书pl
5、87,例3.59 .证明：c是可分的Banach空间.证明见第4章习题1610 .设x, y为线性赋范空间，Te8(x, y).证明t的零空间n=“6|八=0 是x的闭线性子空间.证明显然N=“*|7”0是的线性子空间.对VxN(7y, TxO, 由于T是连续的，存在X的邻域。使得有W 0,从而UqN(7y.故 N(7T是开集，N(乃是X的闭子空间.OO11 .设无穷矩阵(明了)，(V= 1, 2,)满足supZq 11j00及T是线性的，所以T为有界线性算子，| T| sup |6Z.| o对任意的实数 i j=iOOOO瓦。取a=.)机，使得其第/个 i j=Tj=l0000坐标务=sgn
6、(4Q,贝！J|弘H=l，且所以I心故/=1y=i0000有|T|2supZl% I，从而lll=supZl%- I。 i j=i j=12 .设5:Z2 T满足对Vx = g,G/有s“（x）= d2,）。证明 S”是有界线性算子，| S“ |=1。COco证明显然S是线性算子。因为|SQ）=|2| 5/xJlhloIMI=113 .证明cm向上的泛函/(x)= f x)力是有界线性泛函，且Ili-。 Ja证明显然一是线性泛函。对X/x 功有| /(x) |=| xdt | | | x(t) dt| f(xQ) =b-aoIMM14 .取定 ,切,在加上定义泛函力如下:/1(x) = x(Z
7、0)o证明力是有界 线性泛函，II川1=1。证明显然力是线性泛函，由1=1 xo)| = ()/,显然/。)=工匕”是上有界线性泛函，且 z=iI间yll。又取使其第无个坐标为1其余皆为0,则I七(4)l=E I, VI,2,。从而|以y|,进而|=|y|.另一方面，设/为，上有界线性泛函，令, =)，则I7国kll%, H-， Di = 1,2,，从而 y =(,” 产。对% =($),我们令4 = 4,0,0,), 则 /()= /(&%, ) = &/(%, ) =2&7 Z=1i=i=l注意到在中“一%,以及/为广上有界线性泛函，00故f(x) = 导小 并且满足这样条件的y =(0)
8、e j是唯一的. i=16 .证明：维线性赋范空间的共辄空间仍是一个n维线性赋范空间。证明设X是维线性赋范空间，Xi,处,X是它的一个基.令人：X X表示力(Z。也)=6，Vi=l, 2, k=lnII Y II n则1力(四4)1=1。/=二-11 akxi IIJ注意到 N(x) = |d II 也是 XMIIXIIX J M普上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M 0使得N(x) 0.由 Hann-Banach 定理，存 在/e 在,使/(cl(span(M) = 0,且 f(x) = d(x9 cl(span(Af) 0,得到矛盾.19 .验证极化恒等式。证明我们只对
9、实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的.x + y-x-y = -= ( + + + )-(- + ) =4.20 .证明由内积导出的范数IIx| = 1/2满足范数定义的三个条件。证明前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式.事实上，IIX + j II2 = = IIX II2 + + + II y IF=|x|2 + 2Re() + y |2 | x |2 + 2 | | + | j |2 = = 0，所以| X |2 = | Xl + X2 |2 = = + + + = + = | Xl |2 + | X2 |2.22 .设X是内积空间，M,N = X , MIN o证明：N
10、jM。 证明对VxeN,因MLN,得x_LM,故所以23 .设X是内积空间，M、N = X ,证明：N* jMJ证明对DxeN由xN,及MjN ,知xM ,故xeM,所以N，7加,24 .设“为Hilbert空间,M是的线性子空间。证明:M=(M1)1,M1= (M)1。 证明对X/X而，显然有从而故而7(,尸。若Xe而， 由投影定理，设 X = X + 12， 其中 x e M 9x2 e (M)1,且 。此时 w M1. 故 有=玉+工2，工2=o,存在y加，使得|x-yK%，l|x|/lly+%。00而对于ywM, Parseval等式成立，即II y=?，存在自然数N使得二iF面估计I
11、I x:NNl|xWI V+不 X |2+ = Zk 羽 + |2 + 乙 n=n=NN(三角不等式)N(用 Z K u，l2 q u II2 放大)n=+ J|vx-y,e |2 +I V n=V n=)Nx，e F +2|x|.|x-y | + |x-y+e=i工Fx，G |2 +(| x|+- + l)f ,n=4由 0 的任意性，及 Bessel 不等式有 | x |= |1 |x|-|o n=证明 由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有 00I 00f col2 . JZK %e |211% l|-IIJ II o n=V n=V n=28.设”为Hilber
12、t空间，是的标准正交系。证明：是完全的的充要条件是：对于都有=。 n=证明若e是完全的，则它是完备的.于是Vx/gH总有x = x,e， n=coy = en ,计算的内积得:n=00=en=000000Z e？ = Z . eZ， m=n=lm=00= Z /， e = Z n=8= Z.。n=8反过来，若都有= Z V，e，令y = X，则有 Parsevaln=等式成立，从而e是完备的，所以在Hilbert空间H中e是完全的。29 .设为Hilbert空间， e ,七是的两个标准正交系，其中 e是完00备的，并且它们满足条件ii-部1,并且。证明：,也完备的。n=证明对若屋L0由于e是完
13、备的，所以00000000II X=| x,e|2 = Zl|2 X-H 一 部勺了Wil 4 一 部 n=l=1=1n=l如果xwO,则上式将导出矛盾：|x|, Vxg H.则尸为“上有界线性泛函，且II尸II* II II = llg Ik = Ilf 11m,而且F是g的延拓,因而尸也是/的延拓.若G也是/的满足条件的延拓，用Rieze表示定理，存在三羽 gH,使得 G(x) = 9Vxg H.因/在L上的的延拓唯一，故G|l作为L上的有界线性泛函就是g9 故Vxe L9 = G(x) = g(x) = 9所以v- u = 09即 u _L L.因L.由勾股定理,| v |2 = |(v - w) + w |2 = | v - w |2 + | w 因而II II = II b I山=II/IIm = II G |山=II 川I，故| u-|2 = 0,即 u = .从而G二八 即/在上的满足条件的延拓是唯一的.