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1、泛函分析课件模板泛函分析课件模板河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析9.1 内积空间的基本概念内积空间的基本概念1、问题的提出、问题的提出2、内积空间的概念、内积空间的概念 3、内积空间和赋范空间的关系、内积空间和赋范空间的关系 4、内积空间的特征性质、内积空间的特征性质 5、内积的连续性、内积的连续性 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析1、问题的提出、问题的提出
2、 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个向量的内积的运算,即若 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析我们也可在一般的线性空间中引入内积的的概念.河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析2、内积空间的概念、内积空间的概念河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函
3、分析泛函分析从内积的定义,立即可以得到下面的等式3、内积空间和赋范空间的关系、内积空间和赋范空间的关系由内积定义(2)式,不难证明 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析 因而(4)式成立.河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析令 那么上式方括号中式子为0,所以 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课
4、教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析由Schwarz不等式推导过程,易知 所以 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析4、内积空间的特征性质、内积空间的特征性质它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质.下面举一些内积空间的例子 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析又由内积(6)导出的范数 因此由第七章第节
5、定理知,成为Hilbert空间.河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析例例 定义 事实上,令 范数不能由内积导出,因而不是内积空间.河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析事实上,令 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析5、内积的连续性、内积的连续性通过直接计算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式(8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数 河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院授课教师授课教师授课教师授课教师泛函分析泛函分析泛函分析泛函分析事实上,因为右端趋于,因而 小结小结 本节主要讲了内积空间和希尔伯特空间的概念,要掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用.作业作业 教材P264页 习题1、