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1、第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）1 0 件产品中有1 件是不合格品，从中任取2 件得1 件不合格品。（2）一个口袋中有2个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，（i）得白球，（i i）得红球。解（1）记 9个合格品分别为正“正”，正y 记不合格为次，贝 I JQ =（正”正2）,（正I，正3）,，（正I，正9）,（正V次），（正2，正3），（正2，正4），（正2，正9），（正2，次），（正3，正J，（正3，正9），（正3，次），（正8，正9），（正8，次），（正9，次）4=（正,次），（正”次），（正9，次）（2）记 2 个白球分别为。1
2、,g,3 个黑球分别为仇，,4 个红球分别为八，6，r4 0 则。=四，g，伉，b?,by,八，r2,q ,o （i ）A=四，g （i i）B =八,G，r3 ）J 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。（1）叙 述 的 意 义。（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）什么时候关系式C u B是正确的？（4）什么时候N =B 成立？解（1）事件乙表示该是三年级男生，但不是运动员。（2）A B C C等价于C uA B,表示全系运动员都有是三年级的男生。（3）当全系运动员都是三年级学生时。（4）当全系女生
3、都在三年级并且三年级学生都是女生时-1.3 一个工人生产了个零件，以事件4 表示他生产的第z个零件是合格品（l /B)nC =An(S nC)(5)(4 u B)cC =(AcC)u(BcC)m=UAi=l i=l证 明(1)(4)显然，(5)和(6)的证法分别类似于课文第1 0-1 2 页(1.5)式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有2、4、6、7、8、1 1、1 2、1 3 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为4=8 x 7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1、1 3 中的两个，或为2、4、6、8、1 2 中的一个
4、和7、1 1、1 3 中的一个组合，所以事件A”所得分数为既约分数”包含A；+2 A；x A；=2 x 3 x 6个样本点。于是1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、90从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样 本 点 总 数 为 所 取 三 条 线 段 能 构 成 一 个 二 角 形，这三条线段必须是3、5、7 或 3、7、9 或多或5、7、9。所以事件A 所取三条线段能构成一个三角形”包含3 个样本点，于是P(4)=士。1 01.7 一个小孩用1 3 个字母A,A,A,C,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等可能的)，问“恰好组成 M AT H E
5、 M AT ICIAN 一词的概率为多大？解 显然样本点总数为1 3!,事件A”恰 好 组 成 M AT H E M AT ICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以尸(4)=些a =生1 3!1 3!1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 x 1 0-1 =8 9 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等
6、可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为9。事件A”没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是 爷。1.1 0 某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用 A表示“牌照号码中有数字8，显然=,所以10000 u o j-94 9 Y尸(A)=1 P(A)=-二 1 10000 10j1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方
7、的末位数字是1;该数的四次方的末位数字是1；该数的立方的最后两位数字都是1；解(1)答案为:。当该数的末位数是1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是1,所以答(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含IO?个样本点。用事件A表 示“该数的立方的最后两位数字都是1，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为。，则该数的立方的最后两位数字为1 和 3 a 的个位数，要使3 a 的个位数是1,必须a=7,因此A所包含的样本点只有71这一点，于是1.12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接
8、。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2 根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5 3 4种接法，同样对尾也有5 3 4种接法，所以样本点总数为(531)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 3 4种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4 2。所以A包含的样本点数为(53 1)(42),于是尸
9、(A)(5 3 1)(4 2)_ 8(5-3-1)2-15(2)2 根草的情形和类似得1.1 3 把 个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的，证明某一个指定的盒子中恰好有个球(N+n-k-2 的概率为 w-k J,QknTrT(2)恰 好 有 用 个 盒 的 概 率 为J ,N-n m N-ITrT(in+j-1Y N-m +n-j-1)(3)指 定 的 个 盒 中 正 好 有 j 个球的概率为m-1入 n-j J,lmN,Qj N.解 略。1.1 4 某公共汽车站每隔5分钟有
10、一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解所求概率为P(Q =1.1 5在A48C中任取一点P,证明A48P与A 4 6 c的面积之比大于土土的概n率为-7-on解 截取C 0 =L c。，当且仅当点P落入A C A 之内时A48P与AA8C的面n积之比大于巴士，因此所求概率为n一2 X CD2D(.AABC 有面积 CD-/1AA8C的 面 积52 2 21.1 6两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分 别 用 表 示 第 一、二艘船到达
11、泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因 此 所 求 概 率 为2 42-x 2 32-x 2 22P 二-；-0.1 2 12 4*1.1 7在线段A B上任取三点看,与，求：(1)位于西与与之间的概率。(2 )AX 3 4 X 2，AX 3能构成一个三角形的概率。1 l-3 xl xl解 P(A)=(2)P(B)=-=131 21.1 8在平面上画有间隔为“的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为a,A c (均小于d),求三角形与平行线相交的概率。解分别用A”4,4表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A)=P(4)=
12、0.所求概率为尸(4)。分别用4,4,4,4，4，4c表 示 边a,b,c,二 边ab,ac,bc与 平 行 线 相 交，则/VUMA AM UACU A,).显然P(A。)H 4J+/U3 P(4)=P(A J+P(4,)，p(4)=p(A,“.)+尸(4,)。所以1 2 1P(A3)-P AJ+P(Ah)+P(Ac)-=-(a+b+c)=-(a+b+c)2 27t d 7t a(用例1.1 2的结果)1.1 9 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中A B的中点
13、”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.2 0 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取,乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。b个解 电表示白，秋表示黑白，必表示黑黑白，表小黑黑白,则样本空间Q=s，g,h aP(M D =-,a+b a+b-l，例用，并且尸(幼)一 ，a+b八 b h-1 aP(%)=,.A Ca+b a+b-1 a+b-2P(R)=b-a+b-1ba+bb-(i-2)aa+b-(i-2)a+b-(i-l)P(就+J)=ba(a +/?)(a +b-l)a甲取胜的概率为P
14、（3 ）+P（3 ）+P（）+乙取胜的概率为p（g ）+P（软 ）+P（4）+1.2 1 设事件A,B及 A u B 的概率分别为p、q及r,求 P（A B）,尸（A 历，P（AB）,P（AB）解 由 P（A u 3）=尸（4）+尸（8）-2（4 8）得P(AB)=尸(A)+P(B)-PAJB)=p+q-rP(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q ,P(AB)=r-pP(AB)=P(A uB)=l-P(A u B)=l-r1.2 2 设 4、A2 为两个随机事件，证明：(1)尸(4 4 2)=1 尸()一p(用)+尸(%发)；(2)1 -P(A)P(A)P(A,A2)P(A,U
15、A2)P(A,)+P(A2).证明P(A,A2)=P(AUA)=1 -P(AX u A)=1 -P(AX)-p()+P(AA)(2)由(1)和 P()N O得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件A、B、C,证明:P(AB)+P(AC)-P(BC)尸 A(B u C)=尸(4 B)+尸(AC)P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8临同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报
16、纸的有3%,求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件6 表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=PA-(AB u AC)=P(A)-P(ABu AC)=30%(2)P(ABC)=PAB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23%F(CAB)=P(C)P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20%P(ABC u +BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABC+ACB+BCA
17、)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)P(A+8+C)=90%(6)P(ABC)=1-P(A+B+C)=1-90%=10%1.26某班有”个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解 用 A,表 示“第i 张考签没有被抽到，i=l,2,N。要求P(UA,)。/=1=0IWiWN 八I N-i1 NN N所以 p(U a)=，(-i 广i=l/=11.2 7从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解”阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为即均%，当且仅当1,2，的排列（i
18、也i ）中存在上使&=火时这一项包含主对角线元素。用4表示事件“排列中乙=%”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则=（i n-2）!（l z j0.9 9 ,曼&=5.0 2 6k=ll g 0.4取 =6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证9 9%的概率击中飞机。1.4 3做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p,求在成功次之前已失败了加次的概率。解 用A表示“在成功次之前已失败了机次”，6表示“在前 +m-1次试验中失败了机次”，C表示“第+历次试验成功”(/?+则 尸(A)=P(BC)=P(B)P(C)=Pyn-p1.4 5某数学家有两盒火柴，每盒都有“根火柴，每次用
19、火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有厂根火柴(1 r /?)的概率。解 用4表 示“甲盒中尚余i根火柴”，用吗表示 乙盒中尚余/根火柴”，C D分别表示“第 次 在 甲 盒 取“，“第 次 在 乙 盒 取“，A0 3,C表示取了 2-/次火柴，且第2-/次是从甲盒中取的，即在前2 -r-1在甲盒中取了n-1,其余在乙盒中取。所 以P(4纥由对称性知P(ArB0C)=P(A0B,.D),所求概率为：P(A A C u A,Q)=2 P(A/,C)=,-第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？30.350.220.130.1解(1)是(2)0.
20、7 +0.1 +0.1 1,所以它不是随机变量的分布列。(3)工+_1仕1+4。+.+_1仕丫+-3，所以它不是随机变量的分布列。2 2 3；2 3)2(3)4(4)为自然数，且上(；)“=1，所以它是随机变量的分布列。2.2设 随 机 变 量J的 分 布 列 为：P =攵)=七,左=1 2 3,4,5,求(1)(威1=2);(2 P(1 -)；(3)P(1 2)o2 2|2 1解(1)P(=1 5g =2)=+=-：(2)P(g J g)=P C =l)+P C =2)=J;(3)P(l 2)=P(=1)+P(=2)=1.2.3解设随机变量J的分布列为p(&=i)=c f i =l,2,3。
21、求C的值。解c尹如停)所以c啜2.4 随机变量4只取正整数N ,且P(J=N)与N?成反比，求J的分布歹U。解根据题意知P(4 =N)=,，其中常数C待定。由于g看=0=1，所以C=,即J的分布列为P C=N)=_，N取正整数。7t-U-N12.5 一个口袋中装有机个白球、”-机个黑球，不返回地连续从袋中取球,直到取出黑球时停止。设此时取出了4个白球，求J的分布列。解 设“J=表示前七次取出白球，第 +1次取出黑球，则g的分布列为：尸c=k)=%3”二竺弛二型，k =0,1,，m.(一1)(一 攵)2.6 设某批电子管的合格品率为3,不合格品率为工，现在对该批电子管进4 4行测试，设第4次为首
22、次测到合格品，求s的分布列。解 P =k)=(；)%=1,2,，2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只球，以占表示取出球的取大号码，求J的分布列。解 P =k)=-,k=3,4,5.、3,2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0 p 0)k=0,1,2,。由于a e =e ，得儿=2,心=。k 2?4?(不合要求)。所以P(J =4)=e-2=e。4!32.1 1设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.9 9 9o解 设J为 该 种 商 品 当 月 销 售 数
23、，x为 该 种 商 品 每 月 进 货 数，则 0.9 9 9 o查普哇松分布的数值表，得x 1 6。2.1 2如果在时间f (分 钟)内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与f成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设J为时间，内通过交叉路口的汽车数，则P(4 =k)0),k=0,1,2,k t=l 时，尸 =0)=*=0.2,所以/l =l n 5；t=2 时，2/=2 1 n 5,因而PC 1)=1 P 记=0)-P(J=1)=(2 4-In 2 5)/2 5 0.83。2.1 3 一本50 0页的书共有50 0个错误，每个错
24、误等可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过50 0个)。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=一，因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取/l =p=50 0 x一=1,于是上式右端等于2 1 52.14某厂产品的不合格品率为0.0 3,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有1 0 0个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装l(X)+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使0.9 tk=01 0 0+xk().0 3,0.9 7 i +T利用普哇松分布定理求近似值，M X/l =(1 0 0 +x)x 0
25、.0 3 3,于是上式相当于x0.9 0,0 p 0.2l0.84-*k=0,1 2 3,4。2.18抛掷三次均匀的硬币，以孑表示出现正面的次数，以 表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求力)的联合分布列及边际分布列。2.2 1设随机变量g与7 7独立，且Pe=l)=P(7 7 =l)=pO,又尸 =0)=尸(=o)=l一po,定义4 =p若为偶数，问p取什么值|()若4+为奇数时4与4独立？解尸(?=1)=P(&=0)P(7 =0)+P-=1)P(7 =1)=(1-P)2+P2p(4=0)=p 比=0)P(7 =1)+P 代=0)P仍=1)=2 p(l-P)而尸 情=i,=i)=p(
26、g=i,?=i)=p2,由 p(g=I,，=i)=P(J=I)P(?=i)得 p =_ L22.22设随机变量J与独立，且Pe=l)=P(；7 =l)=g,定义二=夕7,证明，看 两 两 独立，但不相互独立。证明 P&=1)=P=D PS=1)+=-1)F(7 =-l)=|P(4 =-D=尸 =DP(=-1)+P 也=-1)(7 =D=|因为尸c=i,s=i)=p c=i,=i)=!=pe=i)/v=i)P化=-i)=P(h =-i)=J P(4=1阳=-i)4P 代=-l,=D=P(&=-1,7 =-D =7 =D P%=1)4P C=-I,=-D=尸 e=山7 =i)=J =-I)F=_
27、i)4所以，石相互独立。同理 与 二相互独立。但是尸C*尸 =i)p(=i)p(?=1),因而4不相互独立。2.2 3设随机变量J与乙独立，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J+不服从均匀分(即不可能有Pe+7 7 =A)=，k =2,3,、1 2。)证明 设一(=%)=P k，P(r/=k)=qk,k=1,2,6 若%+=%)=5,Z =2,3,1 2,则&+=2)=吗=5(1)玖4 +=7)=国6 +2%+-+6%P(J+=1 2)=6 6 =1将（2）式减去 式，得：（6-P l）/0，于是P 6 P 1。同理4 6 4 1。因此P 6?6 2求 J+2与4=c o s J的分布列。解
28、分布列为 P(=2)=；,P(=2 +g)=g,P(=2 +g)=；4 的分布列为 P(7=T)=L，=0)=-,=1)=1 o4 2 4_ i o I 3、2.25已知离散型随机变量J的分布列为il l；H ,求7 7 =长的分布列。解P(=0)=:,P(?=l)$,F(7 =4)=1 ,P(=9)=非J J J J ，y J(013、(01、2.2 6设离散型随机变量J与7 7的 分 布 列 为 占?3 f，：_ L 2，J 8 8；1 3 3)且4与相互独立，求=+的分布歹I。解(0 1 2 3 4、1 11 1 1 1(4 =a)=：=1,2,3,4,5,求E八 后产及E(J+2)2。
29、解，EJ=(l +2 +3 +4 +5)=3,2=1(12+22+32+42+52)=1 1E(J+2)2=Ef+4E+4=272.3 0设随机变量J具有分布：&=%）=/,A =1,2,，求 造 及。鼻O J =EJ2 _(附=2r）k 12.3 1设离散型随机变量4的分布列为：2修=（-1）&彳 =城,4=1,2,，问4是否有数学期望？解 EK-D*=因 为 级 数 发 散，所以占没有数学期望。k=k 2 j t=i k k=i k2.32用天平秤某种物品的重量（祛码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、1 0克，现有三组祛码：（甲组）1,2,2,5,1 0 （克）（
30、乙组）1,2,3,4,1 0 （克）（丙组）1,1,2,5,1 0 （克）问哪一组祛码秤重时所用的平均祛码数最少？解设刍、与、刍分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数，则有物 品 重 量 度1 2 3 4 56789 1 0 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1占2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 141 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是=1(1 +1 +2 +2 +1 +2 +2 +3 +3 +1)=1.8E 星=(1 +1 +1 +1 +2 +2 +2 +3 +3 +1)=1.7随=：(1 +1 +2 +3 +1 +2 +2+3 +4 +1)=2所以，用乙组祛码秤重时
31、所用的平均祛码数最少。2.3 3某个边长为50 0米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.4 9,1 0米的概率各是0.1 6,2 0米的概率各是0.0 8,3 0米的概率各是0.0 5,求场地面积的数学期望。解 设 场 地 面 积 为S米2,边 长 的 误 差 为J米，则S =(4 +50 0)2且造=0 增2 =2(1。2 x O.1 6+2 02 x 0.0 8+3 0 2 x 0.0 5)=1 86所以 E S =E+50 0)2 =后长+1 OOOE 孑 +2 50 0 0 0 =2 50 1 86*)2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分
32、别为小、2、P 3。试证发生故障的仪器数的 数 学+2+P 3。/第i架仪器发生故障Q jo第课仪器未发生故障4为发生故障的仪器数，则E&=P=1)=P i,i =1,2,3 ,所以 E&=+Eg?+E以=0+P 2 +P 3。2.37如果在1 50 0 0件产品中有1 0 0 0件不合格品，从中任意抽取1 50件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，(1 0 1 .则？的分布列为1 1 4 ,因而设J为查得的不合格品数，所 以 臂=Z助，=1。/=l i=2.38从数字0,1,，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设J为所选两个数字之差的绝对值，则P(J
33、=A)=续 处，#=1,2,，n +1 、2于是7言k=2 n-Z (+l)k -=(+1)E +2I 22.39把数字1,2,，任意在排成一列，如果数字人恰好出现在第k个位置上,则称有,个匹配，求匹配数的数学期望。解 设 鼻=数字k出现在第4个位置上0数字&不在第k个位置上0 )则部的分布列为：1 j _ ln)于是 =P(1 =1)=L 设 匹 配 数 为 则J =媒，因 而 造=后4=1。n k=k=2.40设J为取非负整数值的随机变量，证明:(1)拶=工产(毁)；n=l8(2)D J =2g nP(n)E 氧E J+1).n=l证明 由于EJ=PK=)存在，所以该级数绝对收敛。从而=0
34、造=)=尸4=)=p(&=)=f PCNi)。M=1 n=I/=1 i=n=i i=l(2)OJ存在，所以级数E=修=)也绝对收敛，从而=000=E4 2+E E 其E J+1)=+1)P C =n)-E 氢+1)n=l=2元 之 i P =)-E/E g +1)=2五=)一 E4(E&+1)=1 i=l/=n=i=2石 (短 )-族 心+1).n=2.4 1在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p,试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为则P(JN 1)=1 ,P C N )=p T+q T,=2,3,.(q =i_ p)利用上题的结论，塔=P e
35、4 l)+fp(短)=l +f(p T +qn-)n=2 n=2小上+=1-p 1-q p(l-p)2.42从一个装有机个白球、几个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43对一批产品进行检验，如果检查到第。件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第。件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p,问平均每批要检查多少件？解 略。2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p,当生产出大个不合格品时即停工检
36、修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设 第1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为i =1,2,k.又在两次检修之间产品总数为则J ,3;=1因一独立同分布,P&=j)=qj T p,j =1,2,(q=1-p)，由此得：1E&=jqp：，E“=j-P=,J=I pp-D=EJ：(E0 2=E。pi=k_P。之内=吗纥/=1 P2.46设随机变量J与7；独立，且方差存在，则有D 画)=D D+(E )2 5+D 百面y(由此并可得证 明。(切)=E$rf-(E切尸=E#一(的(功2=E E2-EJ 2(E)2+ET(E)2 (EJ 2(E)2=ED r)-(Erj)2
37、=D&D+()2 O +O(尸2.4 7在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为J和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在 =&(0 4 1 4 9)的条件下1的分布列。解 pe=i|=A)=z =0,1,-,9.(2)P(J=i 5 =k)=f(i =0,l,-,9,i w Z r),=女)=02.4 9在次贝努里试验中，事件A出现的概率为p,令1在第z次试验中A出现0在第i次试验中A不出现求在专+4+=厂(0尸4)的条件下，的分布列。解尸=0+T+嘉#+4=厂)尸&+刍+-+。,)P(.=0 l 其中勺+2 +,+,.=n -1 【一 J
38、证 明P=%，,媒=，学+一+.=2&+4=).二 P记T=%,(，=凡)-%+.+/=)由于么，么相互独立且服从同一几何分布，所以3+$+一 E(立 行)=力广。号=1.2,/=!,r从而P=4=明 臂+$+&=)第三章连续型随机变量3.1设随机变数J的分布函数为尸(x),试以/(x)表示下列概率：(1)P(J =a)；(2)a)；(4)P(Ja)解：(1)PG=a)=F(a+O)-(a)；(2)a)=l-F(a)；(4)Pa)=l b(a+0)。3.2函数尸(x)=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果1 +x(1 )-8 X 8 万(2)0 x8,在其它场合适当定义；(3)-8 X 0
39、,在其它场合适当定义。解：(1)F(x)在(-o o,o o)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；(2)/(x)在(0,o o)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;(3)F(x)在 8,0)内单调上升、连续且F(-8,0),若定义F(x)=0则片(x)可以是某随机变量的分布函数。3.3 函数s in x是不是某个随机变数&的分布密度？如果岁的取值范围为乃3(1)0,-；(2)0,加；(3)2 2T T r-解：(1)当x e 0,时，s in x N O且p s in x dx=l,所以s in x可以是某个随机变量的分2J,布密度；(2)因为f s in x dx=2 H l
40、,所以s in x不是随机变量的分布密度；(3)当xw h，己万 时，s in x 0,有(1)F(-a)-1 -F(a)=p(x)dx；2 J)(2)P (同 a)=2 l-F(a),证：(1)F(-a)=p(x)dx=1 -f p(x)cbcJ-Q OJ-a=1 +p(-x)dx=1 一 1 p(x)dx-1-F(a)=l-j P(x)dx=g P(x)dx:(2)P(M|a)=l-尸(用 0力 0是两个常数，且a+6 =1。证明F(x)=aFi(x)+bF2(x)也 是 个 分 布 函 数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因 为K(x)与 与。)都 是 分 布
41、函 数，当 为 时，K(X 1)K(X 2)，F2(XJ F2(X2),于是产(X )=aFt(再)+h F2(x,)aFx(x2)+bF2(x2)=F(x2)lim F(x)=lim aFi(x)+bF2(x)=0lim F(x)=lit n fez T7,(x)+bF2(x)=a+bF(x-0)=aF,(x-0)+bF2(x-Q)=aR(x)+bF2(x)=F(x)所以，F(x)也是分布函数。取。=/?=,又令2E()=,x 00 x l0 x 0F(x)=l1-+-X 0 x 1显然，与尸(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故尸(X)不是离散型的，而E(x)不是连续函数，所以它也
42、不是连续型的。3.6设随机变数。的分布函数为产(x)=l-(l+x)e-x x00 x0求相应的密度函数，并求尸（。4 1）。解：一口一（1 +外。一口=工。一 所以相应的密度函数为dxp(x)=0 x 0尸 1）=/（1）1 ,e3.7设随机变数J的分布函数为F(x)=0Ax21x00 xl求常数A及密度函数。解:因为尸(1 0)=/(1),所以4=1,密度函数为p(x)=2x 0 x 10 其它3.8随机变数J的分布函数为b（x）=A+Barctgx,求常数A与8及相应的密度函数。解:TT因为 lim F(x)=A+B(-)=0X T-0 0 2lim F(x)XT+OO=1所以A=-,B
43、217t因而F(x)=-+arctgx,p(x)2 7 1Fx)=-.(l+%2)3.9已知随机变数J的分布函数为P(x)=X2-x00 x l1 x 2其它(1)求相应的分布函数尸(x)：(2)求尸(4 1.3),尸(0.2 J 1.2)。解:E(x)=0 x 1-ll x 2x 2P(1.3)=1-P(1.3)=1-F(1.3)=0.245P(0.2 T 1.2)=(1.2)-F(0.2)=0.663.1 0确定下列函数中的常数A,使该函数成为一元分布的密度函数。(1)p(x)=Ae ；,C /、Ac o s x(2)p(x)-0Ax2(3)p(x)=Ax0解：(1)Ae dx=l x 2
44、2 x 3其它2A1 o一 公=24=1所以4=，；(2)三 元 IA c o s xdx=2 A P c o s xdx=2 A=1,所以 A二一；22+6293.1 2在半径为R,球心为0的球内任取一点P,求J =。尸的分布函数。解：当0%/?时4 3 7D CF(X)P(4 X)=T-3成33中3所以0F(x)=,(3 3x 00 x R3.1 3某城市每天用电量不超过一百万度，以J表示每天的耗电率(即用电量除以一万度)，它具有分布密度为,、1 2 x(1-x)2 0%0.8)=1 2 x(1-x)2=0.0 2 7 2 0.9)=1 2 x(1-x)2 0(1)成立时，方程4/+4夕+
45、J+2 =0有实根。不 等 式(1)的解为：J N2或J 4-1。因此，该方程有实根的概率p =尸(金 2)+2 5 0)=P(。1.4 3)=P(！1.4 3)=(1.4 3)0.9 2 3 6 ；(2)P(a-x a +x)=P(-0,9即Y0()0.9 5所以 1.6 53 5即x 5 7.7 53.1 8设(x)为N(0,l)分布的分布函数，证明当x0时，有1 -1 1-1 1I e 2.1 (x)1 e 2(-)4 2 兀 x J2%x x1 -1 _z_证：1 -(x)=1 1=r e-dy-,e 2 dyJ2万 J，J2乃 A所以1 1 1 1 1,e 2.1 O(x),e 2(
46、-)oJ2 万 x x x3.2 1证明：二元函数尸(x,y)=1 x+y 00 x+y 0,若 x +y0,由于 x +Ax +y0,所以 F(x,y)=F(x +Ax,y)=1,若x +yWO,则尸(x,y)=0。当尤+Ax +y4O时，F(x +Ax,y)=0 ；当 x +Ax +y0 时，F(x +Ax,y)=1 所以 F(x,y)F(x+Ax,y)可见，F(x,y)对x非降。同理，/(x,y)对y非降。(2)x+yWO时l i m F(x -Ax,y)=l i m F(x,y-Ay)=0=尸(尤,y),Ax JO Av 4-0 x +y0 时,l i m F(x-Ax,y)=l i
47、m F(x,y-Ay)=1 =F(x,y),Ar J。Ay 4-0所以F(x,y)对x、y左连续。(3)F(-o o,y)=F(x,-o o)=0 ,F(+o o,+o o)=0(4)P(0 2,0 7 7 2)=6(2,2)-6(2,0)-尸(0,2)+尸(0,0)=-1,所以万(x,y)不是一个分布函数。3.2 3设二维随机变数(3 7 7)的密度p y),)=/皿中)0其它求(,)的分布函数。TT TT解：当0 4 x 4 ,O W y W 时,2 -2产(,y)=、e x,y)=f gs i n Q+s)ds力j c o t-c o s(f +y)dt=g s i n x +s i n
48、 y -s i n(x +y),所以0(x 0)u(y 0)F(x,y)=1 7t 71 s i n x +s i n y -s i n(x +y)0 x y,0 y g(s i n x +l -c o s x)g(1 +s i n y-c o s y)10 x-2 2x -,Q y ,y 2 23.2 4设二维随机变数(J,)的联合密度为p(x,y)=k e-f0 x 0,y0其它(1)(2)求常数女；求相应的分布函数;求尸(0 J 1,0 0,y0时，F(x,y)=.f 1 2/1 8 力A=I 2(p-3,J O(P-4 8J5)=(1 e-3 x)(i _ e f),所以(3)P(0
49、1,0 2)=F(l,2)-F(0,2)-F(l,0)+F(0,0)=l-e3-e&+e。3.25设二维随机变数C，7 7)有密度函数p(x,y)/(1 6 +/)(2 5 +)/)求常数A 及(4)的密度函数。p(x,y)dxdy：-彳-T-dxdy病(1 6 +/)(2 5 +/dy _ Ab 1 6 +/25+y2 2 0所以，A=2 0；F(x)=LL=71坐1J-OOp(t,s)dtdsdtds(16+r2)(25+52)7r L016+广 25+.v2上(arctg +arctg+)/6 4 2 5 23.26设二维随机变数(4)的密度函数为P(x,y)=4xy 0 x 1,0 y
50、 10其它求 P(0T，3 l);(2)P 4 =);(3)PC G2解:(1)=E j 4xydxdy=4 xdx,ydy15645P(4=77)=Axydxdy=0;PC )PC)x-yxydxdy-J j*4xydydx=j 2(x-x2)dx=;j_23.2 8设(,？)的密度函数为p(x,y)=,求J与中至少有一个小于g的概率。解：y2一o,一一o1-20=1 -，6 y)dxdy=1-2 2P(0 1 1 7 1)44它3.3 0 一个电子器件包含两个主要组件，分别以4和7/表示这两个组件的寿命(以小时计),设c，7力的分布函数为尸(x,y)=1 2 0,7/1 2 0)=1-P