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1、图形与证明图形与证明安阳市曙光学校安阳市曙光学校赵艳芹赵艳芹 三角形三角形 图形的相似图形的相似 四边形四边形圆圆图图形形与与证证明明一、三角形一、三角形 1 1、证明三角形全等、证明三角形全等 1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 2、利用三角形全等证明线段相等、利用三角形全等证明线段相等 3、利用三角形全等推出角相等，进、利用三角形全等推出角相等，进而综合运用说明线段垂直或平行而综合运用说明线段垂直或平行。例例例例1 1：（：（：（：（20052005河南省）如图，在梯形河南省）如图，在梯形河南省）如图，在梯形河南省）如图，在梯形ABCDABCD中，中，中，中，ADADBC,AB=DC,
2、PBC,AB=DC,P为梯形为梯形为梯形为梯形ABCDABCD外一点。外一点。外一点。外一点。PAPA、PDPD分别交线段分别交线段分别交线段分别交线段BCBC于点于点于点于点E E、F F，且且且且PA=PDPA=PD。写出图中三对你认为全等的三角形（不再添写出图中三对你认为全等的三角形（不再添写出图中三对你认为全等的三角形（不再添写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；加辅助线）；加辅助线）；加辅助线）；选出你在选出你在选出你在选出你在中写出的全等三角形中的任意一中写出的全等三角形中的任意一中写出的全等三角形中的任意一中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。对进行证明。对进行证明
3、。对进行证明。FEPCDBA例例2：（2005荆荆州州市市）如如图图：ABCD内内有有一一点点E，满满 足足 EDAD于于 点点 D，EBC=EDC，ECB=45；请请找找出出与与BE相相等等的的一一条条线线段段，并并予以证明。予以证明。AEBCD例例3（2005苏苏州州市市）（1）如如图图一一：等等边边ABC中中，D是是AB边边上上的的动动点点，以以CD为为边边向向上上作作等等边边EDC，连接连接AE。求证：求证：AEBC（2）如如图图二二：将将（1）中中等等边边ABC的的形形状状改改成成以以BC为为底底边边的的等等腰腰三三角角形形，所所作作EDC改改成成相相似似于于ABC。请问：是否仍有请
4、问：是否仍有AEBC？证明你的结论。证明你的结论。BDACE图图一一 ECBDA图二图二【复习建议】：【复习建议】：1、对于三角形的基本知识和基本方法要清晰、条、对于三角形的基本知识和基本方法要清晰、条理，要熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角理，要熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质与判定等。形的性质与判定，直角三角形的性质与判定等。2、证明两线段或两角相等的重要途径是利用等腰、证明两线段或两角相等的重要途径是利用等腰三角形的性质或证明两三角形全等。若所在的三角形三角形的性质或证明两三角形全等。若所在的三角形不全等，就要添加辅助线，构造全等三角形，所以
5、要不全等，就要添加辅助线，构造全等三角形，所以要掌握常用的辅助线作法。掌握常用的辅助线作法。3、要注意总结三角形的有关知识在综合题中的应、要注意总结三角形的有关知识在综合题中的应用，培养分析问题和解决问题的能力。用，培养分析问题和解决问题的能力。二、二、图形的相似图形的相似1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 例例1：多多项项选选择择（2005黄黄冈冈）如如图图，ABC中中，AB=AC，D为为BC的的中中点点，E为为AD上上任任意意一一点点，过过C作作CFAB交交BE的的延延长长线线于于F，交交AC于于G，连连接接CE。下下列列结结论论中中正正确确的的有有（ACD）A、AD平分平分BACB、
6、BE=CFC、BE=CED、若若BE=5，GE=4，则则GF=9/4DGEFCBA注注：D选项用到了平行线分线段选项用到了平行线分线段成比例定理。成比例定理。例例2：（2005山山东东潍潍坊坊）如如图图：AD是是ABC的的角角平平分分线线，延延长长AD交交ABC的的外外接接圆圆O于于点点E，过过C、D、E三三点点的的圆圆与与AC的延长线交于点的延长线交于点F，连接连接EF、DF（1）求证：求证：AEFFED；（2）若若AD=6，DE=3，求求EF的长；的长；（3）若）若DEBE，试判断试判断ABE的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。O1OFEDCBA【复习建议】：【复习建议】：1、复习时要
7、落实基础，要熟练掌握相似三角形的、复习时要落实基础，要熟练掌握相似三角形的判定与性质，注意字母的对应，在证明没有用相似符判定与性质，注意字母的对应，在证明没有用相似符号联结的两个三角形相似时，要进行分类讨论，并要号联结的两个三角形相似时，要进行分类讨论，并要注意这部分知识与直角三角形及函数和面积问题的衔注意这部分知识与直角三角形及函数和面积问题的衔接。接。2、运用相似形的知识解决一些联系实际的问题，、运用相似形的知识解决一些联系实际的问题，要能够在理解题意的基础上把它转化为数学问题，注要能够在理解题意的基础上把它转化为数学问题，注重培养学生建模的思想。重培养学生建模的思想。3、在圆的综合题中要
8、注意相似形的知识的灵活运、在圆的综合题中要注意相似形的知识的灵活运用，并熟练掌握等线段代换、等比代换、等积代换用，并熟练掌握等线段代换、等比代换、等积代换的技巧的应用，培养学生综合运用知识的能力。的技巧的应用，培养学生综合运用知识的能力。三、四边形三、四边形1 1、证明四边形的形状、证明四边形的形状 1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 2、运用四边形的性质进行探究、运用四边形的性质进行探究 例例1：（2005江江西西）如如图图：AB是是 O的的直直径径，C、E是是圆圆周周上上关关于于A、B对对称称的的两两个个不不同同点点。CDABEF，BC与与AD交交于于M。AF与与BE交交于于N。（1）
9、在在A、B、C、D、E、F六六点点中中能能构构成成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）（2）求证：四边形求证：四边形AMBN是是菱形。菱形。OMNFEDCBA注：注：“夹在两条平行弦夹在两条平行弦间的弧相等间的弧相等”这个结论这个结论北师大教材中没有以定北师大教材中没有以定理的形式给出。理的形式给出。例例2：(2005湖湖北北省省宜宜昌昌市市)如如图图所所示示：已已知知ABC的的高高AE=5，BC=40/3，ABC=45，点点F是是高高AE上上的的点点，点点G是是点点E关关于于F的的对对称称点点。过过点点G作作BC的的平平行行线线与与边边AB
10、交交于于点点H，与与边边AC交交于于点点I，连连结结IF并并延延长长交交边边BC于于点点J，连连结结HF并并延延长长交交边边BC于点于点K。（1）请请你你探探索索并并判判断断四四边边形形HIKJ是是怎怎样样的的四四边边形形？并并对对你你得得到的结论予于证明；到的结论予于证明；（2）当当点点F在在AE上上运运动动并并使使点点H、I、K、J都都在在ABC的的三三条条边上时，求线段边上时，求线段AF长的取值范围？长的取值范围？AECBHGIJKFAECB例例1：（2005山山东东潍潍坊坊）如如图图：已已知知平平行行四四边边形形ABCD及及四四边边形形外外一一直直线线L，四四个个顶顶点点A、B、C、D
11、到到直直线线L的的距距离离分分别别为为a、b、c、d。（1）观观察察图图形形，猜猜想想得得出出a、b、c、d满满足足怎怎样样的的关关系系式式？证证明你的结论。明你的结论。（2）现将）现将L向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。况写出你的结论。L1C1B1D1A1DCBA注：注：平行线分线段成平行线分线段成比例定理北师大教材没比例定理北师大教材没有介绍，梯形中位线知有介绍，梯形中位线知识也没有以定理形式给识也没有以定理形式给出出。【复习建议】：【复习建议】：1、要掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质、要掌握平行四边形、矩形、菱形、正
12、方形性质和判定，并注意它们之间的区别和联系。和判定，并注意它们之间的区别和联系。2、有关梯形的证明和计算问题逐渐成为中考命题、有关梯形的证明和计算问题逐渐成为中考命题的热点内容，这部分内容经常需要添加辅助线，所以的热点内容，这部分内容经常需要添加辅助线，所以要掌握常规的辅助线的添加方法，达到把梯形的问题要掌握常规的辅助线的添加方法，达到把梯形的问题转化为三角形或四边形的目的。转化为三角形或四边形的目的。例例1：（2005黄黄冈冈）如如图图，已已知知，O的的弦弦AB垂垂直直于于直直径径CD，垂足为垂足为F，点点E在在AB上，且上，且EA=EC。（1）求证：求证：；（2）延延长长EC到到点点P，连
13、连结结PB，若若PB=PE，试试判判断断PB与与 O的位置关系，并说明理由。的位置关系，并说明理由。FODCBAEF四、四、圆圆例例2：（2005荆荆州州市市）如如图图：半半圆圆O为为ABCABC的的外外接接圆圆，ACAC为为直直径，点径，点D D为劣弧为劣弧BCBC上一动点。点上一动点。点P P在在CBCB延长线上且有延长线上且有 BAP=BDABAP=BDA。(1)(1)求证：求证：APAP为半圆为半圆O O的切线；的切线；(2)当其他条件不变时，问添加一个什么条件后，有当其他条件不变时，问添加一个什么条件后，有 成立？请说明理由；成立？请说明理由；(3)如图所示，在满足（如图所示，在满足
14、（2）问的前提下，若）问的前提下，若ODBC于点于点H，BE=2，EC=4，连结连结PD，请探究四边形请探究四边形ABDO是什么特殊四边形，是什么特殊四边形，并求并求tanDPC的值。的值。DPBAOCBDEPAHOC【复习建议】：【复习建议】：1、要全面掌握圆的基本知识和基本方法，重点内、要全面掌握圆的基本知识和基本方法，重点内容包括：垂径定理及其推论的应用，直线与圆的位置容包括：垂径定理及其推论的应用，直线与圆的位置关系，尤其是切线的判定与性质。关系，尤其是切线的判定与性质。2、圆的综合题，圆与代数的综合题是中考命题的、圆的综合题，圆与代数的综合题是中考命题的重中之重，要加大训练的力度，并
15、注重综合运用知识重中之重，要加大训练的力度，并注重综合运用知识的能力培养。的能力培养。3、对于出现的一些新的题型要密切注意，加强这、对于出现的一些新的题型要密切注意，加强这方面的训练和知识的梳理，作到未雨绸缪。方面的训练和知识的梳理，作到未雨绸缪。题目原形题目原形1：如如图图，ABCABC中中，AB=ACAB=AC，BDBD是是ACAC边边上上的的高高，点点F F是是BCBC上上任任意意一点，过一点，过F F作作FGBAFGBA于于G G，FHACFHAC于于H H，求证：求证：FG+FH=BDFG+FH=BDBHGFDCA一题多解，一题多变，多题一法一题多解，一题多变，多题一法 以少胜多，解
16、一题会一类以少胜多，解一题会一类中考改编题：中考改编题：已已知知：等等边边ABCABC和和点点P P到到ABCABC三三边边ABAB、ACAC、BCBC的的距距离离分分别别是是h h1 1、h h2 2、h h3 3，ABCABC的的高高为为h h，若若点点P P在在一一边边BCBC上上（如如图图1 1），此此时时h h3 3 =0=0，可可得得结结论论：h h1 1+h h2 2+h h3=3=h h，请请直直接接应应用用上上述述信信息息解解决决下下列列问问题题：当当点点P在在ABCABC内内（如如图图2 2）及及点点P P在在ABCABC外外（如如图图3 3）这这两两种种情情况况时时，上上
17、述述结结论论是是否否成成立立？若若成成立立，请请给给予予证证明明，若若不不成成立立，h h1 1、h h2 2、h h3 3与与h h之之间间又又有有怎怎样样的的关关系系，请请写写出出你你的的猜想，不需证明。猜想，不需证明。PMCBADE图图1 1CBAPMDEF图图2 2CDPBAMEF图图3 3题目原形题目原形2：已知：如图已知：如图1，等边，等边ABCABC的边长为的边长为a,a,点点P P是是ABCABC内任一内任一点，过点，过P P作作PEACPEAC，PDBC,PFAB,PDBC,PFAB,求证：求证：PE+PD+PF=a.PE+PD+PF=a.CBEFADP（图（图1）自编题：自
18、编题：探探究究：已已知知：如如图图1 1，等等边边ABCABC的的边边长长为为a a，点点P P是是边边BCBC上上的的任任一点，过一点，过P P作作PEACPEAC，PFABPFAB，容易证明：容易证明：PE+PF=a.PE+PF=a.(1)(1)如如图图2 2，当当点点P P是是三三角角形形内内任任一一点点时时，过过点点P P作作作作PEACPEAC，PDBC,PFABPDBC,PFAB，猜猜想想：PEPE、PDPD、PFPF与与a.a.之之怎怎样样的的关关系系？并并证证明你的结论。明你的结论。(2)(2)如图如图3 3，当点，当点P P位于等边位于等边ABCABC的外部时，其他条件不变，
19、的外部时，其他条件不变，PEPE、PDPD、PFPF与与a a又有怎样的关系？直接写出结论，不用证明。又有怎样的关系？直接写出结论，不用证明。ACFPBE（图（图1）BEFADP（图（图2）CDCAEPBF（图（图3）题目原形题目原形3 3：已知：已知：ABCABC中中B=90B=900 0，AB=BCAB=BC，BD=CEBD=CE，M M是是ACAC边的边的中点，求证：中点，求证：DEMDEM是等腰三角形。是等腰三角形。DEBCMA中考改编题中考改编题:(2003广广州州市市)如如图图,在在RtABCABC中中，AB=BCAB=BC，BAC=90BAC=900 0，D D为为 BCBC的中
20、点的中点 （1 1）写写出出点点D D到到ABCABC的的三三个个顶顶点点A A、B B、C C的的距距离离，（不不要要求证明）求证明）（2 2）如如果果点点M M、N N分分别别在在线线段段ABAB、ACAC上上移移动动，在在移移动动中中保保持持AN=BMAN=BM，请判断请判断DMNDMN的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。NMABDC改编改编1：操操作作：在在ABCABC中中，AC=BC=2AC=BC=2，C=90C=90，将将一一块块三三角角板板的的直直角角顶顶点点放放在在斜斜边边ABAB的的中中点点P P处处，将将三三角角板板绕绕P P点点旋旋转转，三三角角板板的的两两直
21、直角角边边分分别别交交射射线线ACAC，射射线线CBCB于于D D、E E两两点点，图图1 1，图图2 2，图图3 3是是旋旋转转三三角角板板得得到到的图形中的其中三种。的图形中的其中三种。探探究究：（1）三三角角板板绕绕P点点旋旋转转，观观察察线线段段PD与与PE之之间间有有什什么么大大小小关关系？它们的关系为系？它们的关系为，并以图，并以图2为例加以证明。为例加以证明。（2）三角板绕）三角板绕P点旋转点旋转PBEPBE是否能成为等腰三角形，若能指出所有是否能成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即能求出的情况（即能求出PBEPBE为等腰三角形时的为等腰三角形时的CECE的长）若不能，请说明的
22、长）若不能，请说明理由。理由。DCEAPBDCAPBEEBPACD改编改编2 2：操操作作：在在ABCABC中中，AC=BCAC=BC，C=90C=90，将将一一块块三三角角板板的的直直角角顶顶点点放放在在斜斜边边ABAB的的M M处处，且且AMAM：MB=1MB=1：3 3，将将三三角角板板绕绕M M点点旋旋转转，三三角角板板的的两两直直角角边边分分别别交交射射线线ACAC，射射线线CBCB于于D D、E E两两点点，图图1 1、图图2 2、图图3 3是是旋旋转三角板得到的图形中的其中三种，转三角板得到的图形中的其中三种，探探究究：（1 1）三三角角板板绕绕M M点点旋旋转转，猜猜想想线线段
23、段MDMD与与MEME之之间间有有怎怎样样的的数数量量关系？它们的关系为关系？它们的关系为 。并以图。并以图2 2为例，加以证明。为例，加以证明。（2 2）猜想：三角板的顶点在斜边上任意一点移动（不与）猜想：三角板的顶点在斜边上任意一点移动（不与A A、B B重合）重合）时，时，MDME=MDME=。DACEMB图图1DACEMB图图2MDACEB图图31、如如图图，EGAF，请请你你从从下下面面三三个个条条件件中中，再再选选两两个个作作为为已已知知条条件件，另另一一个个为为结结论论，推推出出一一个个正正确确的的命命题题（只只需需写写出出一一种种情况）。情况）。AB=ACDE=DFBE=CF已
24、知：已知：EGAF，=，=。求证求证:BEGAFCD模拟题：模拟题：2、如如图图，ABC中中，点点D、E分分别别在在边边AB、AC上上，连连接接DE并并 延延 长长 交交 BC的的 延延 长长 线线 于于 点点 F，连连 接接 DC、BE。若若BDE+BCE=180BDE+BCE=180，（1）写写出出图图中中三三对对相相似似三三角角形形。（注注意意：不不得得添添加加字字母母和线）和线）（2）请请在在你你所所找找出出的的相相似似三三角角形形中中选选取取一一对对，说说明明它它们们相似的理由。相似的理由。EDBACF 3 3、如图，已知、如图，已知M M、N N两点在正方形两点在正方形ABCDAB
25、CD的对角线的对角线BDBD上移上移动，动，MCNMCN为定值角为定值角a a，连接连接AMAM、ANAN并延长，分别交并延长，分别交BCBC、CDCD于于E E、F F两点，则两点，则CMECME与与CNFCNF在在M M、N N两点移动过程中，它两点移动过程中，它们的和是否有变化？证明你的结论。们的和是否有变化？证明你的结论。NMAFDCEB4、如如图图，将将一一把把三三角角尺尺放放在在边边长长为为1的的正正方方形形ABCD上上，并并使使它它的的直直角角顶顶点点在在对对角角线线AC上上滑滑动动，直直角角的的一一边边始始终终经经过过点点B，另一边与射线另一边与射线DC相交于点相交于点Q，探究
26、；设探究；设A、P两点间的距离为两点间的距离为x,（1）当当点点Q在在边边CD上上时时，线线段段PQ与与线线段段PB之之间间有有怎怎样样的的大大小小关系？试证明你观察得到的结论关系？试证明你观察得到的结论（2）当当点点Q在在边边CD上上时时，设设四四边边形形PBCQ的的面面积积为为y,求求y与与x之之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当当点点P在在线线段段AC上上滑滑动动时时，PCQPCQ是是否否可可能能成成为为等等腰腰三三角角形形？如如果果可可能能，指指出出所所有有能能使使PCQPCQ成成为为等等腰腰三三角角形形的的点点Q Q的的位位置置，并并求求出出相相应应的的x值值，试试说说明明理理由由。（图图1、图图2、图图3的的形形状状相相同同，图图1供操作实验用，图供操作实验用，图2、图、图3备用备用）DCBADCBADCBA