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1、第二型曲面积分第1页，本讲稿共35页一、曲面的侧 设连通曲面设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,另一个另一个指向就是负方指向就是负方 向.又设 为 S 上任一点,L为 S上任一经过点且不超出 S 边界的闭曲线.当 S 上的动点 M 从 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特征:出发时 M 与 取相同的法线方向,而回来时仍 保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该曲面则称该曲面 S 是双侧的
2、是双侧的.第2页，本讲稿共35页否则,若 由某一点 出发,沿 S 上某一封闭曲线 回到 时,其法线方向与出发时的方向相反,则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带带.它的构造方它的构造方 法如下法如下:取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如图22-4(a),将其将其 一端扭转 后与另一端粘合在一起(即让 A 与 C 重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).第3页，本讲稿共35页默比乌斯默比乌斯(Mbius,A.F.179
3、0-1868,德国德国)第4页，本讲稿共35页通常由 所表示的曲面都是双侧曲面,其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧另一侧称为下侧.当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧习惯上把上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为又把封闭曲面的外侧作为 正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.第5页，本讲稿共35页二第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速设某流体以流
4、速 从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的负侧流向正侧(图图22-5),其中其中 P,Q,R 为为 所讨论范围上的连续函所讨论范围上的连续函 数数,求在单位时间内流过求在单位时间内流过 曲面曲面 S 的总流量的总流量 E.设在 S 上任一点处处的正向的正向单单位法向量位法向量为为 第6页，本讲稿共35页这里这里 ,都都是是 x,y,z 的函数的函数.则单位时间内流经则单位时间内流经 小曲面块 的流量 其中 是任意取定的一点;是点 处的单位法向量;分别是 在坐标面 第7页，本讲稿共35页于是单位时间内由 的负侧流向正 所以,单位时间内由 的负侧流向正侧的总流量这这种与曲面的种与曲面的侧侧有关的和式极
5、限就是所要有关的和式极限就是所要讨论讨论的第的第 侧的流量 也就近似等于 上投影区域的近似面积,分别记作 第8页，本讲稿共35页的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:分别表示 在三个坐标面上 二型曲面积分二型曲面积分.定义定义1 设设 P,Q,R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数上的函数.对 S 作分割 T,它把 S 分为 分割 T 的细度为的细度为 第9页，本讲稿共35页若 第10页，本讲稿共35页在曲面 所指定一侧上的第二型曲面积分,记作 的选取无关的选取无关,则称此极限则称此极限 I 为向量函数为向量函数 中的三个极限都存在,且与分割 T 和点 的第11页，本讲稿共3
6、5页据此定义,某流体以速度 从曲面 的 负侧负侧流向正流向正侧侧的的总总流量即流量即为为 又如又如,若空若空间间中的磁中的磁场场强强度度为为 则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为第12页，本讲稿共35页若以表示曲面 S 的另一侧,由定义易知 第二型曲面积分有第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质类似于第二型曲线积分的性质:1.若 存在,则有 第13页，本讲稿共35页其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所所组组成成,则则有有 第14页，本讲稿共35页三第二型曲面积分的计算定理22.2 设 是定义在光滑曲面 上的连续函数,以 S 的上侧为正侧(这时的法线方 向与 轴正向成锐角),则
7、有证证 由第二型曲面由第二型曲面积积分的定分的定义义,第15页，本讲稿共35页由于 R 在 S 上连续,上连续(曲面光滑),据 在 复合函数的连续性,上也连续.由二重积分的定义由二重积分的定义,这里 第16页，本讲稿共35页所以 这里 S 是取法线方向与 轴的正向成锐角的那一 类似地,当 在光滑曲面 上连续时上连续时,有有 第17页，本讲稿共35页一侧为正侧一侧为正侧.侧为正侧.当 在光滑曲面 上连续时上连续时,有有这里 S 是取法线方向与 轴的正向成锐角的那一 第18页，本讲稿共35页例1 计算 其中是球面的外侧（图的外侧（图22-6）.解解 曲面曲面 S 在第一、五卦限部在第一、五卦限部
8、分的方程分分的方程分别为别为 部分并取球面在 第19页，本讲稿共35页它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限 部分.因积分是沿的下侧进行,故 第20页，本讲稿共35页其中例2 计算 是由曲面所所围围立体表面的外立体表面的外侧侧.解 曲面 其中 其投影为第21页，本讲稿共35页其投影为其投影为第22页，本讲稿共35页因此因此第23页，本讲稿共35页如果光滑曲面如果光滑曲面 S 由参量方程给出由参量方程给出:若在若在 D 上各点它上各点它们们的函数行列式的函数行列式 不同不同时为时为零零,则则分分别别有有第24页，本讲稿共35页注注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应三式前的正负号分别
9、对应 S 的两个侧的两个侧,所选定的正 特别当 平面的正方向对应于曲面 向一向一侧时侧时,式前取正号式前取正号,否否则则取取负负号号.其中 S 为椭球面 例3 计算 第25页，本讲稿共35页的上半部分的上半部分,并取外并取外侧侧.由由(5)式有式有 解解 把曲面表示为参量方程把曲面表示为参量方程:第26页，本讲稿共35页其中其中积积分是在分是在 S 的正的正侧进侧进行行.由上述的注由上述的注,(8)式右端取正式右端取正 号号,即即 第27页，本讲稿共35页五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系两种类
10、型曲面积分的联系.设设 S 为光滑曲面为光滑曲面,并以上侧为正侧并以上侧为正侧,R 为为 S 上的连续上的连续 函数函数,曲面积分在曲面积分在 S 的正侧进行的正侧进行.因而有因而有 由曲面面由曲面面积积公式（第二十一章公式（第二十一章6）,第28页，本讲稿共35页其中 是曲面 的法线方向与 z 轴正向的交角,它 是定义在 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行,所以 是锐角.又由 S 是光滑的,所以 使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角 满足等式 上连续.应用中值定理,在 内必存在一点,第29页，本讲稿共35页或或与 z 轴正向夹角的余弦,则由 的连续性,可推 于是于是 现以 的法线方向 时,(1
11、0)式右端极限存在.因此由(9)式 得当 得到得到 第30页，本讲稿共35页这这里注意当改里注意当改变变曲面的曲面的侧侧向向时时,左左边积边积分改分改变变符号符号;右边积分中角 改为 .因而 也改变符号,其中其中 ,分分别别是是 S 上的法上的法线线方向与方向与 x 轴轴正向和与正向和与 y 所以右边积分也相应改变了符号所以右边积分也相应改变了符号.同理可证同理可证:第31页，本讲稿共35页轴轴正向的正向的夹夹角角.一般地有一般地有 这样,在确定了余弦函数 之后,由(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系分的联系.注 当曲面由 表示,且取上侧 第32页，本讲稿共35页因此因此 上式避免了同一曲面要向三坐上式避免了同一曲面要向三坐标标平面作投影平面作投影,从而从而使计算得到简化使计算得到简化.时时,第33页，本讲稿共35页例4 计算 其中 为 的部分,并取上侧.解解 第34页，本讲稿共35页上面第二步计算后得到 是利用了积分区 域的对称性和被积函数的奇偶性域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外除了这一项外,其其 他各积分项全都等于零他各积分项全都等于零.第35页，本讲稿共35页