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1、六、六、全微分方程全微分方程解法解法2（偏积分法偏积分法）解法解法3（凑微分法凑微分法）v积分因子 例2 求方程ydxxdy0的积分因子并求其通解因为 解 若存在一函数(x y)(x y)0)使方程(x y)P(x y)dx(x y)Q(x y)dy0是全微分方程 则函数(x y)叫做方程P(x y)dxQ(x y)dy0的积分因子 因为 故所给方程的通解为 例3 求方程 (1xy)ydx(1xy)xdy0的积分因子并求其通解 解 积分得通解 将方程的各项重新合并 得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0 再把它改写成 用积分因子乘以方程 方变为 v一阶线性方程的积分因子 可以验证 是一阶线
2、性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以(x)得两边积分 便得通解 解 方程的积分因子为 因此方程的通解为 第三节第三节 第二类曲面积分第二类曲面积分-向量值函数向量值函数在在定向曲面定向曲面上的积分上的积分一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定义及性质三、定义及性质四、四、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系五、五、计算法计算法一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面分曲面分左左侧和侧和右右侧侧1.1.曲面的分类曲面的分类:(1)(
3、1)双侧曲面双侧曲面;(2)(2)单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面动点在双侧曲面上连续移动动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边不跨越曲面的边界界)并返回到起始点时并返回到起始点时,其法向量的指向不变其法向量的指向不变.莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带 上侧上侧下侧下侧规定：规定：定向曲面上任一点处的定向曲面上任一点处的法向量法向量 总是总是指向指向曲面取定的一侧曲面取定的一侧.注：注：在定向曲面的范围里，在定向曲面的范围里，其方向其方向用法向量指向用法向量指向表示表示:方向余弦方向余弦 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为
4、下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面,其面元其面元在在 xOy 面上的投影记为面上的投影记为的面积为的面积为则规定则规定类似可规定类似可规定流向曲面一侧的流向曲面一侧的流量流量.流量流量实例实例(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速场为流速场为常向量常向量有向有向平面平面区域区域 ,求单位时间流过求单位时间流过 的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1).二、概念引入 分析分析:若若 是是面积为面积为S 的平面的平面,则则流量流量单位法向量单位法向量:流速为常向量流速为常向量:(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流
5、体给出给出,函数函数 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由当当 不是常量不是常量,曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,分割分割则该点流速为则该点流速为 ，法向量为法向量为 求和求和取近似取近似该点处曲面该点处曲面的的单位单位法向量法向量通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量对一般的有向曲面,用用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场进行分析可得进行分析可得,则则
6、 三、第二类曲面积分的定义及性质三、第二类曲面积分的定义及性质 则称此极限为则称此极限为函数函数在有向曲面在有向曲面 上上对坐标对坐标的曲面积分的曲面积分（也称（也称第二类曲面积分）第二类曲面积分）被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:表示流向表示流向 指定的流量指定的流量若记若记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为令令则则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式三、第二型曲面积分的性质三、第二型曲面积分的性质四、计算法（第二类曲面积分-化为二重积分）定理定理:设光滑曲面设光滑曲面取上侧取上侧
7、,是是 上的连续函数上的连续函数,则则证证:取上侧取上侧,若若则有则有 若若则有则有(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明:如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧,则则注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.解：解：一投一投,二代二代,三定号三定号一投一投,二代二代,三定号三定号四、两类曲面积分的联系曲面的方向曲面的方向用用法向量的方向余弦法向量的方向余弦刻画刻画令令向量形式向量形式(A 在在 n 上的投上的投影影)称为称为有向曲面元有向曲面元,例1.计算曲面积分其中其中 解解:利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系,有有 原式原式
8、=旋转抛物面旋转抛物面介于平面介于平面 z=0 及及 z=2 之间部分的下侧之间部分的下侧.由对称性由对称性 例例其中其中解解 法一法一直接用直接用对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分计算法计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为由于由于取上侧取上侧,在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧.面的投影面的投影都是都是正的正的,取上侧取上侧法二法二 利用利用两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系计算计算.取取上侧上侧,锐角锐角.则法向量则法向量n与与z轴正向的夹角为轴正向的夹角为定义定义:1.两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 小结小结性质:联系联系:2.常用计算公式及方法面积分面积分第一类
9、第一类(对面积对面积)第二类第二类(对坐标对坐标)二重积分二重积分(1)统一积分变量统一积分变量代入曲面方程代入曲面方程(方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2)积分元素投影积分元素投影第一类：第一类：面积投影面积投影第二类：第二类：有向投影有向投影(3)确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化当时，时，（上侧取（上侧取“+”,下侧取下侧取“”)类似可考虑在类似可考虑在 yoz 面及面及 zox 面上的二重积分转化公面上的二重积分转化公式式.思考题思考题此时此时 的左
10、侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.答：答：其中其中是是所围成的正方体的表面的所围成的正方体的表面的24563 先计算先计算由于平面由于平面都是都是母线平行于母线平行于x轴的柱面轴的柱面,则在其上对坐标则在其上对坐标y,z的积分为的积分为0.解解三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧.1练习1：x=a面在面在yOz面上的投影为面上的投影为正正,而而x=0面在面在yOz面上的投影为面上的投影为负负.投影域均为投影域均为:0ya,0za,故故由由 x,y,z 的对等性的对等性知知,所求曲面积分为所求曲面积分为 3a4.后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.245631若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面0其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以.取取外侧外侧(内侧仍成立内侧仍成立),那末那末关于关于yOz平面对称平面对称,练习3：其中其中:解解关于关于yOz面对称面对称,被积函数被积函数关于关于x为偶函数为偶函数.下侧下侧.关于关于zOx面对称面对称,被积函数被积函数关于关于y为偶函数为偶函数.原式原式=解解求求而而练习4：求求是非题是非题是以原点为中心的球面是以原点为中心的球面.由对称性知由对称性知练习5：思考题解答思考题解答 非非因为因为上半球面上半球面下半球面下半球面故故