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1、第二型曲面积分第一页，本课件共有35页一、曲面的侧 设连通曲面设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,另一个另一个指向就是负方指向就是负方 向向.又又设设 为为 S 上任一点上任一点,L为为 S上上任一经过点任一经过点且不超出且不超出 S 边边界的界的闭闭曲曲线线.当当 S 上的上的动动点点 M 从从 出发沿出发沿 L 连续移动一周而回到连续移动一周而回到 时时,如果有如果有如下特如下特征征:出发时出发时 M 与与
2、 取相同的法线方向取相同的法线方向,而回来时仍而回来时仍 保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该曲面则称该曲面 S 是双侧的是双侧的.第二页，本课件共有35页否否则则,若若 由某一点由某一点 出出发发,沿沿 S 上某一封上某一封闭闭曲曲线线 回到回到 时时,其法其法线方向与出发时的方向相反线方向与出发时的方向相反,则称则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带带.它的构造方它的构造方 法如下法如下:取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如
3、图22-4(a),将其将其 一端扭一端扭转转 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起(即即让让 A 与与 C 重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).第三页，本课件共有35页默比乌斯默比乌斯(Mbius,A.F.1790-1868,德国德国)第四页，本课件共有35页通常由通常由 所表示的曲面都是双所表示的曲面都是双侧侧曲面曲面,其法其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧另一侧称为下侧.当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一
4、侧称为内侧.习惯上把上侧习惯上把上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为又把封闭曲面的外侧作为 正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.第五页，本课件共有35页二第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速设某流体以流速 从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的负侧流向正侧(图图22-5),其中其中 P,Q,R 为为 所讨论范围上的连续函所讨论范围上的连续函 数数,求在单位时间内流过求在单位时间内流过 曲面曲面 S 的总流量的总流量 E.设在设在 S 上任一点上任一点处处的正向的正向单单位法向量位法向量为为 第六页，本课件共有35页
5、这里这里 ,都都是是 x,y,z 的函数的函数.则单位时间内流经则单位时间内流经 小曲面小曲面块块 的流量的流量 其中其中 是任意取定的一点是任意取定的一点;是点是点 处的单位法向量处的单位法向量;分分别别是是 在坐标面在坐标面 第七页，本课件共有35页于是于是单单位位时间时间内由内由 的的负侧负侧流向正流向正 所以所以,单单位位时间时间内由内由 的的负侧负侧流向正流向正侧侧的的总总流量流量这这种与曲面的种与曲面的侧侧有关的和式极限就是所要有关的和式极限就是所要讨论讨论的第的第 侧的流量侧的流量 也就近似等于也就近似等于 上投影区域的近似面积上投影区域的近似面积,分别记作分别记作 第八页，本课
6、件共有35页的投影区域的面的投影区域的面积积,它它们们的符号由的符号由的方向来确定的方向来确定:分分别别表示表示 在三个坐在三个坐标标面上面上 二型曲面积分二型曲面积分.定义定义1 设设 P,Q,R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数上的函数.对对 S 作分割作分割 T,它把它把 S 分为分为 分割分割 T 的细度为的细度为 第九页，本课件共有35页若若 第十页，本课件共有35页在曲面在曲面 所指定所指定一侧上的一侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分,记作记作 的选取无关的选取无关,则称此极限则称此极限 I 为向量函数为向量函数 中的三个极限都存在中的三个极限都存在,且与分割且与分割
7、 T 和和点点 的的第十一页，本课件共有35页据此定据此定义义,某流体以速度某流体以速度 从曲面从曲面 的的 负侧负侧流向正流向正侧侧的的总总流量即流量即为为 又如又如,若空若空间间中的磁中的磁场场强强度度为为 则则按指定方向穿按指定方向穿过过曲面曲面的磁通量的磁通量(磁力磁力线总线总数数)为为第十二页，本课件共有35页若以若以表示曲面表示曲面 S 的另一的另一侧侧,由定由定义义易知易知 第二型曲面积分有第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质类似于第二型曲线积分的性质:1.若若 存在存在,则有则有 第十三页，本课件共有35页其中其中2.若曲面若曲面S是由两两无公共内点的曲面是由两两无公共内
8、点的曲面所所组组成成,则则有有 第十四页，本课件共有35页三第二型曲面积分的计算定理定理22.2 设设 是定是定义义在光滑曲面在光滑曲面 上的上的连续连续函数函数,以以 S 的上的上侧为侧为正正侧侧(这时这时的法的法线线方方 向与向与 轴轴正向成正向成锐锐角角),则则有有证证 由第二型曲面由第二型曲面积积分的定分的定义义,第十五页，本课件共有35页由于由于 R 在在 S 上上连续连续,上上连续连续(曲面光滑曲面光滑),据据 在在 复复合函数的合函数的连续连续性性,上也上也连续连续.由二重积分的定义由二重积分的定义,这这里里 第十六页，本课件共有35页所以所以 这这里里 S 是取法是取法线线方向
9、与方向与 轴轴的正向成的正向成锐锐角的那一角的那一 类似地类似地,当当 在光滑曲面在光滑曲面 上连续时上连续时,有有 第十七页，本课件共有35页一侧为正侧一侧为正侧.侧为正侧侧为正侧.当当 在光滑曲面在光滑曲面 上连续时上连续时,有有这这里里 S 是取法是取法线线方向与方向与 轴轴的正向成的正向成锐锐角的那一角的那一 第十八页，本课件共有35页例例1 计计算算 其中其中是球面是球面的外侧（图的外侧（图22-6）.解解 曲面曲面 S 在第一、五卦限部在第一、五卦限部 分的方程分分的方程分别为别为 部分并取球面部分并取球面在在 第十九页，本课件共有35页它它们们在在平面上的投影区域都是平面上的投影
10、区域都是单单位位圆圆在第一象限在第一象限 部分部分.因因积积分是沿分是沿的下的下侧进侧进行行,故故 第二十页，本课件共有35页其中其中例例2 计计算算 是由曲面是由曲面所所围围立体表面的外立体表面的外侧侧.解解 曲面曲面 其中其中 其投影其投影为为第二十一页，本课件共有35页其投影其投影为为其投影其投影为为第二十二页，本课件共有35页因此因此第二十三页，本课件共有35页如果光滑曲面如果光滑曲面 S 由参量方程给出由参量方程给出:若在若在 D 上各点它上各点它们们的函数行列式的函数行列式 不同不同时为时为零零,则则分分别别有有第二十四页，本课件共有35页注注(5),(6),(7)三式前的正负号分
11、别对应三式前的正负号分别对应 S 的两个侧的两个侧,所所选选定的正定的正 特特别别当当 平面的正方向平面的正方向对应对应于曲面于曲面 向一向一侧时侧时,式前取正号式前取正号,否否则则取取负负号号.其中其中 S 为椭为椭球面球面 例例3 计算计算 第二十五页，本课件共有35页的上半部分的上半部分,并取外并取外侧侧.由由(5)式有式有 解解 把曲面表示为参量方程把曲面表示为参量方程:第二十六页，本课件共有35页其中其中积积分是在分是在 S 的正的正侧进侧进行行.由上述的注由上述的注,(8)式右端取正式右端取正 号号,即即 第二十七页，本课件共有35页五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧
12、确定之后，可以建立与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系两种类型曲面积分的联系.设设 S 为光滑曲面为光滑曲面,并以上侧为正侧并以上侧为正侧,R 为为 S 上的连续上的连续 函数函数,曲面积分在曲面积分在 S 的正侧进行的正侧进行.因而有因而有 由曲面面由曲面面积积公式（第二十一章公式（第二十一章6）,第二十八页，本课件共有35页其中其中 是曲面是曲面 的法的法线线方向与方向与 z 轴轴正向的交角正向的交角,它它 是定是定义义在在 上的函数上的函数.因因为积为积分沿曲面正分沿曲面正侧进侧进行行,所以所以 是锐角是锐角.又由又由 S 是光滑的是光滑的,所以所以 使使
13、这这点的法点的法线线方向与方向与 z 轴轴正向的正向的夹夹角角 满满足等式足等式 上上连续连续.应应用中用中值值定理定理,在在 内必存在一点内必存在一点,第二十九页，本课件共有35页或或与与 z 轴轴正向正向夹夹角的余弦角的余弦,则则由由 的的连续连续性性,可推可推 于是于是 现现以以 的法的法线线方向方向 时时,(10)式右端极限存在式右端极限存在.因此由因此由(9)式式 得当得当 得到得到 第三十页，本课件共有35页这这里注意当改里注意当改变变曲面的曲面的侧侧向向时时,左左边积边积分改分改变变符号符号;右右边积边积分中角分中角 改改为为 .因而因而 也改也改变变符号符号,其中其中 ,分分别
14、别是是 S 上的法上的法线线方向与方向与 x 轴轴正向和与正向和与 y 所以右边积分也相应改变了符号所以右边积分也相应改变了符号.同理可证同理可证:第三十一页，本课件共有35页轴轴正向的正向的夹夹角角.一般地有一般地有 这样这样,在确定了余弦函数在确定了余弦函数 之后之后,由由(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系分的联系.注注 当曲面由当曲面由 表示表示,且取上且取上侧侧 第三十二页，本课件共有35页因此因此 上式避免了同一曲面要向三坐上式避免了同一曲面要向三坐标标平面作投影平面作投影,从而从而使计算得到简化使计算得到简化.时时,第三十三页，本课件共有35页例例4 计计算算 其中其中 为为 的部分的部分,并取上并取上侧侧.解解 第三十四页，本课件共有35页上面第二步计算后得到上面第二步计算后得到 是利用了积分区是利用了积分区 域的对称性和被积函数的奇偶性域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外除了这一项外,其其 他各积分项全都等于零他各积分项全都等于零.第三十五页，本课件共有35页