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1、数数 学学 分分 析析22.2 第二型曲面积分第二型曲面积分2023/1/241数数 学学 分分 析析一、曲面的侧一、曲面的侧观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2023/1/242数数 学学 分分 析析曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面2023/1/243数数 学学 分分 析析莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:2023/1/244数数 学学 分分 析析莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:2023/1/245数数
2、学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/246数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/247数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/248数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/249数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2410数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2411数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带202
3、3/1/2412数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2413数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2414数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2415数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2416数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2417数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2418数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲
4、面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2419数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2023/1/2420数数 学学 分分 析析曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:2023/1/2421数数 学学 分分 析析二、概念的引入二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.2023/1/2422数数 学学 分分 析析2023/1/2423数数 学学 分分 析析1.分割分割则该点流速为则该点流速为法向量为法向量为 2023/1/2424数数 学学 分分
5、 析析2.求和求和2023/1/2425数数 学学 分分 析析3.3.取极限取极限2023/1/2426数数 学学 分分 析析三、概念及性质三、概念及性质2023/1/2427数数 学学 分分 析析被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义2023/1/2428数数 学学 分分 析析存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:2023/1/2429数数 学学 分分 析析性质性质:2023/1/2430数数 学学 分分 析析四、计算法四、计算法2023/1/2431数数 学学 分分 析析2023/1/2432数数 学学 分分 析析注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必
6、须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.2023/1/2433数数 学学 分分 析析2023/1/2434数数 学学 分分 析析2023/1/2435数数 学学 分分 析析例例2：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：考虑考虑的计算的计算在在 xoy 面上的投影均为面上的投影均为 线段线段而在而在上，上，取下侧取下侧所以所以2023/1/2436数数 学学 分分 析析例例2：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：取上侧取上侧由坐标轮换性可得由坐标轮换性可得所以所以2023/1/2437数数 学学 分分 析析2023/1/2438数数 学学 分分 析析2023/1/2439数数 学学 分分 析析2023/1/2440数数 学学 分分 析析五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系2023/1/2441数数 学学 分分 析析2023/1/2442数数 学学 分分 析析两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系2023/1/2443数数 学学 分分 析析向量形式向量形式2023/1/2444数数 学学 分分 析析解解2023/1/2445数数 学学 分分 析析2023/1/2446数数 学学 分分 析析提示：提示：2023/1/2447谢谢！谢谢！48