《2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修2_2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修2_2.ppt（71页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.2复数的乘法与除法1.1.共轭复数的概念共轭复数的概念(1)(1)定义：当两个复数的实部定义：当两个复数的实部相等相等，虚部互为，虚部互为相反数相反数时，时，这两个复数叫作互为共轭复数这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于虚部不等于0 0的两个共轭复数也叫作的两个共轭复数也叫作共轭虚数共轭虚数.(2)(2)表示：通常记复数表示：通常记复数z z的共轭复数为的共轭复数为_._.(3)(3)性质：若性质：若z=a+biz=a+bi，则，则z =az =a2 2+b+b2 2=|z|=|z|2 2.【思考思考】(1)(1)已知复数已知复数z z1 1 ，z z2 2 ，“|z|z1 1|=|z|
2、=|z2 2|”|”是是“=z=z2 2”的的充要条件吗？充要条件吗？提示：提示：不是，不是，“|z|z1 1|=|z|=|z2 2|”|”是是“=z=z2 2”的必要不充的必要不充分条件分条件.(2)(2)在复平面内，两个共轭复数的对应点有什么关系？在复平面内，两个共轭复数的对应点有什么关系？提示：提示：在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称对称.2.2.复数的乘法法则与除法法则复数的乘法法则与除法法则设设z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)，则，则(1)z(1)z1 1zz2
3、2=(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)(cdi0).(2)(cdi0).【思考思考】复数的除法与实数的除法运算相同吗？复数的除法与实数的除法运算相同吗？提示：提示：复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简母为复数，一般不能直接约分化简.3.3.复数乘法运算律复数乘法运算律运算律运算律恒等式恒等式交交换换律律z z1 1z z2 2=z z2 2z
4、 z1 1结结合律合律(z(z1 1z z2 2)z)z3 3=z z1 1(z(z2 2z z3 3)分配律分配律z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.()(2)(2)若若zCzC，则，则|z|z|2 2=z=z2 2.()(3)(3)若若z z1 1，z z2 2CC，且，且 =0=0，则，则z z1 1=z=z2 2=0.=0.()提示：提示：(1).(1
5、).设设z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，则，则 =a-bi=a-bi，因为因为|z|=|z|=所以所以|z|=|.|z|=|.(2)(2).举反例：如举反例：如z=1+iz=1+i，则，则|z|=|z|=，z z2 2=2i=2i，|z|z|2 2zz2 2.(3)(3).例如例如z z1 1=1=1，z z2 2=i=i，显然，显然 =0=0，但，但z z1 1zz2 20.0.2.(1+i)(2-i)=2.(1+i)(2-i)=()A.-3-iA.-3-iB.-3+iB.-3+iC.3-iC.3-iD.3+iD.3+i【解析解析】选选D.(1+i)(2-i)=2-iD.(1
6、+i)(2-i)=2-i2 2-i+2i=3+i.-i+2i=3+i.3.3.设复数设复数z z1 1=2-i=2-i，z z2 2=1-3i=1-3i，则复数，则复数 的虚部等的虚部等于于_._.【解析解析】因为因为 所以虚部为所以虚部为1.1.答案：答案：1 14.4.设设a a，bRbR，a+bi=(ia+bi=(i为虚数单位为虚数单位)，则，则a+ba+b的的值为值为_.【解析解析】因为因为a+bi=5+3i.a+bi=5+3i.所以所以a=5a=5，b=3b=3，a+b=8.a+b=8.答案：答案：8 8 类型一复数的乘法运算类型一复数的乘法运算【典例典例】1.1.已知已知x x，y
7、RyR，i i为虚数单位，且为虚数单位，且xi-y=xi-y=-1+i-1+i，则，则(1+i)(1+i)x+yx+y=_.=_.2.2.已知复数已知复数z z1 1=(1+i)=(1+i)，复数，复数z z2 2的虚部为的虚部为2 2，且，且z z1 1z z2 2是实数，则是实数，则z z2 2=_.=_.【思维思维引引】两个复数代数形式乘法的一般方法：首两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将先按多项式的乘法展开；再将i i2 2换成换成-1-1；然后再进行；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.【解析解析】1.1.因
8、为因为xi-y=-1+ixi-y=-1+i，所以，所以 则则(1+i)(1+i)x+yx+y=(1+i)=(1+i)2 2=2i.=2i.答案：答案：2i2i2.z2.z1 1=设设z z2 2=a+2i=a+2i，z z1 1z z2 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因为因为z z1 1z z2 2是实数，所以是实数，所以4-a=04-a=0，即，即a=4a=4，所以，所以z z2 2=4+2i.=4+2i.答案：答案：4+2i4+2i【内化内化悟悟】1.1.复数相等的充要条件是什么？复数相等的充要条件是什么？提示
9、：提示：复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等部分别相等.2.2.复数复数z=a+bi=0(aRz=a+bi=0(aR，bR)bR)的充要条件是什么？的充要条件是什么？提示：提示：复数复数z=a+bi=0(aRz=a+bi=0(aR，bR)bR)的充要条件是的充要条件是a=0a=0，b=0.b=0.【类题类题通通】复数的乘法运算技巧复数的乘法运算技巧(1)(1)复数的乘法运算与二项式的乘法运算类似，结果利复数的乘法运算与二项式的乘法运算类似，结果利用用i i2 2=-1=-1化简即可化简即可.(2)(2)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复
10、数相乘按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，复数混可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，复数混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算法公式，则可直接运用公式计算.(3)(3)注意常见的恒等式：注意常见的恒等式：(1i)(1i)2 2=2i.=2i.【习练习练破破】计算：计算：(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i).(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i).(2)(3+4i)(3-4i).(2)(3+4i)(3-4i).【解析解析】(1)(1-2i)(3+4i)
11、(-2+i)(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=3(2)(3+4i)(3-4i)=32 2-(4i)-(4i)2 2=9-(-16)=25.=9-(-16)=25.【加练加练固固】1.(20191.(2019沧州高二检测沧州高二检测)已知已知(a+bi)(1-2i)(a+bi)(1-2i)=5(i=5(i为虚数单位，为虚数单位，a a，bR)bR)，则，则a+ba+b的值为的值为()A.-1A.-1B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选D.(a+bi)
12、(1-2i)=5(iD.(a+bi)(1-2i)=5(i为虚数单位为虚数单位)，所以所以(a+bi)(1-2i)(1+2i)=5(1+2i)(a+bi)(1-2i)(1+2i)=5(1+2i)，所以所以a+bi=1+2ia+bi=1+2i，可得，可得a=1a=1，b=2.b=2.所以所以a+b=3.a+b=3.2.(20192.(2019洛阳高二检测洛阳高二检测)复数复数z=(1+i)(2+i)(3+i)z=(1+i)(2+i)(3+i)，则，则|z|=_.|z|=_.【解析解析】因为因为z=(1+i)(2+i)(3+i)=(1+3i)(3+i)=10iz=(1+i)(2+i)(3+i)=(1
13、+3i)(3+i)=10i，所以所以|z|=|10i|=10.|z|=|10i|=10.答案：答案：1010类型二共轭复数的性质类型二共轭复数的性质【典例典例】1.1.复数复数z=|(-i)i|+iz=|(-i)i|+i5 5(i(i为虚数单位为虚数单位)，则，则复数复数z z的共轭复数为的共轭复数为()A.2-iA.2-iB.2+iB.2+iC.4-iC.4-iD.4+iD.4+i2.(1)2.(1)已知已知z z1 1=2+i=2+i，z z2 2=3-4i=3-4i，计算：，计算：(2)(2)证明：证明：【思维思维引引】复数复数z=a+biz=a+bi的共轭复数是的共轭复数是 =a-bi
14、.=a-bi.【解析解析】1.1.选选A.A.复数复数z=|(-i)i|+iz=|(-i)i|+i5 5=|i-i=|i-i2 2|+i|+i=|1+i|+i=2+i=|1+i|+i=2+i，则复数，则复数z=2+iz=2+i的共轭复数为的共轭复数为2-i.2-i.2.(1)2.(1)因为因为z z1 1=2+i=2+i，z z2 2=3-4i=3-4i，所以所以z z1 1+z+z2 2=5-3i=5-3i，=5+3i=5+3i，因为因为 =2-i=2-i，=3+4i=3+4i，所以所以 =5+3i.=5+3i.(2)(2)设设z z1 1=a=a1 1+b+b1 1i i，z z2 2=a
15、=a2 2+b+b2 2i(ai(a1 1，b b1 1，a a2 2，b b2 2R)R)，=(a=(a1 1+a+a2 2)-(b)-(b1 1+b+b2 2)i)i，=(a=(a1 1+a+a2 2)-(b)-(b1 1+b+b2 2)i)i，即即 【类题类题通通】共轭复数的关系与性质共轭复数的关系与性质(1)(1)若已知复数若已知复数z z的代数形式的代数形式z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，则根据，则根据共轭复数的定义可以写出共轭复数的定义可以写出 =a-bi=a-bi，再进行复数的四，再进行复数的四则运算则运算.否则，要先化简确定复数否则，要先化简确定复数z z的代数
16、形式，再根的代数形式，再根据共轭复数的定义求据共轭复数的定义求 .(2)(2)共轭复数的重要性质：共轭复数的重要性质：互为共轭复数的两个复数对应的两个点关于互为共轭复数的两个复数对应的两个点关于x x轴对轴对称；称；|z|=1|z|=1时，时，z =1z =1；|z|=|=|z|=|=z =a =z =a2 2+b+b2 2；z+=2az+=2a，z-=2biz-=2bi；=z=z zRzR；=-z(z0)=-z(z0)z z为纯虚数为纯虚数.【习练习练破破】若把本例若把本例2 2改为：已知改为：已知z z1 1=2+i=2+i，z z2 2=3-4i=3-4i，(1)(1)如何计算：如何计算
17、：(2)(2)如何证明：如何证明：【解析解析】(1)(1)因为因为z z1 1=2+i=2+i，z z2 2=3-4i=3-4i，所以，所以 =2-i=2-i，=3+4i=3+4i，所以，所以z z1 1z z2 2=(2+i)(3-4i)=10-5i=(2+i)(3-4i)=10-5i，=10+5i=10+5i，=(2-i)(3+4i)=10+5i.=(2-i)(3+4i)=10+5i.(2)(2)设设z z1 1=a=a1 1+b+b1 1i i，z z2 2=a=a2 2+b+b2 2i(ai(a1 1，b b1 1，a a2 2，b b2 2R)R)，=(a =(a1 1-b-b1 1
18、i)(ai)(a2 2-b-b2 2i)i)=(a=(a1 1a a2 2-b-b1 1b b2 2)-(a)-(a1 1b b2 2+a+a2 2b b1 1)i)i，即即 【加练加练固固】1.1.设复数设复数z z1 1，z z2 2在复平面内对应的点关于虚轴在复平面内对应的点关于虚轴对称，且对称，且z z1 1=2-i=2-i，则，则z z1 1 等于等于()A.-3-4iA.-3-4iB.-3+4iB.-3+4iC.4-3iC.4-3iD.-4+3iD.-4+3i【解析解析】选选B.B.复数复数z z1 1，z z2 2在复平面内对应的点关于虚在复平面内对应的点关于虚轴对称，且轴对称，
19、且z z1 1=2-i=2-i，则，则z z2 2=-2-i=-2-i，=-2+i=-2+i，z z1 1 =(2-i)(-2+i)=-(2-i)=(2-i)(-2+i)=-(2-i)2 2=-3+4i.=-3+4i.2.2.已知复数已知复数z z满足满足|z|=1|z|=1，且，且(3+4i)z(3+4i)z是纯虚数，求是纯虚数，求 的值的值.【解析解析】设设z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，由由|z|=1|z|=1得得 =1=1，(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=3a-4b+(4a+3b)i(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=3a-4b+(4a+3b)i是纯虚数
20、，是纯虚数，则则3a-4b=03a-4b=0，且，且4a+3b04a+3b0得得所以所以 类型三复数的除法运算及综合应用类型三复数的除法运算及综合应用角度角度1 1复数的除法运算复数的除法运算【典例典例】1.(20181.(2018天津高考天津高考)i)i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 =_.=_.2.(20182.(2018北京高考北京高考)在复平面内，复数在复平面内，复数 的共轭复的共轭复数对应的点位于数对应的点位于()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限3.(20183.(2018全国卷全国卷)设设 则则|z z|=|=()A
21、.0A.0B.B.C.1C.1D.D.【思维思维引引】1.1.分子分母同时乘以分子分母同时乘以1-2i.1-2i.2.2.判定复数判定复数 在复平面内对应的点所在的象限在复平面内对应的点所在的象限.3.|z|=(aR3.|z|=(aR，bR).bR).【解析解析】1.1.答案：答案：4-i4-i2.2.选选D.D.复数复数 所以所以z z的共轭复数的共轭复数 对应的点为对应的点为 位于第四象限位于第四象限.3.3.选选C.C.因为因为 所以所以|z|=1.|z|=1.【素养素养探探】复数的运算是一类重要的运算，有着广泛的应用复数的运算是一类重要的运算，有着广泛的应用.掌握掌握复数的运算能进一步
22、发展数学运算的核心素养，促进复数的运算能进一步发展数学运算的核心素养，促进数学思维的发展，形成规范化思考问题，解决问题的数学思维的发展，形成规范化思考问题，解决问题的优良思维品质优良思维品质.【习练习练破破】1.1.在复平面内与复数在复平面内与复数z=z=所对应的点关于实轴对称所对应的点关于实轴对称的点为的点为A A，则，则A A对应的复数为对应的复数为()A.1+iA.1+iB.1-iB.1-iC.-1-iC.-1-iD.-1+iD.-1+i【解析解析】选选B.B.因为因为z=i(1-i)=1+iz=i(1-i)=1+i，所以所以A A点坐标为点坐标为(1(1，-1)-1)，其对应的复数为，
23、其对应的复数为1-i.1-i.2.2.复数复数 =_.=_.【解析解析】原式原式=答案：答案：i i角度角度2 2i i的运算性质的运算性质【典例典例】计算：计算：(1)(1)(2)i+i(2)i+i2 2+i+i2 0192 019.【思维思维引引】归纳出归纳出i in n(nN(nN*)的周期变化规律的周期变化规律.【解析解析】(1)(1)原式原式=i(1+i)+(-i)=i(1+i)+(-i)1 0101 010=i+i=i+i2 2+(-1)+(-1)1 0101 010ii1 0101 010=i-1+i=i-1+i1 0101 010=i-1-1=i-2.=i-1-1=i-2.(2
24、)(2)因为因为i in n+i+in+1n+1+i+in+2n+2+i+in+3n+3=i=in n(1+i+i(1+i+i2 2+i+i3 3)=0(nN)=0(nN*)，所以原式所以原式=(i+i=(i+i2 2+i+i3 3+i+i4 4)+(i)+(i5 5+i+i6 6+i+i7 7+i+i8 8)+)+(i+(i2 0132 013+i i2 0142 014+i+i2 0152 015+i+i2 0162 016)+(i)+(i2 0172 017+i+i2 0182 018+i+i2 0192 019)=(i=(i2 0172 017+i+i2 0182 018+i+i2 0
25、192 019)=i-1-i=-1.=i-1-i=-1.【类题类题通通】1.1.复数的除法运算技巧复数的除法运算技巧(1)(1)复数的乘法与除法互为逆运算，注意灵活转化复数的乘法与除法互为逆运算，注意灵活转化.(2)(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使的共轭复数，使“分母实数化分母实数化”，这个过程与，这个过程与“分母分母有理化有理化”类似类似.2.(1)2.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集等差、等比数列的求和公式在复数集C C中仍适用，中仍适用，i i的周期性要记熟，即的周期性要记熟，即i in n+i+in+1n
26、+1+i+in+2n+2+i+in+3n+3=0(nN=0(nN*).).(2)(2)记住以下结果，可提高运算速度记住以下结果，可提高运算速度(1+i)(1+i)2 2=2i=2i，(1-i)(1-i)2 2=-2i=-2i；【习练习练破破】1.1.已知已知i i是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数z=z=的虚部是的虚部是()A.0A.0B.iB.iC.-iC.-iD.1D.1【解析解析】选选D.z=D.z=故虚部为故虚部为1.1.2.2.已知复数已知复数z z满足满足(1+i)z=1+i(1+i)z=1+i，则，则|z|=_.|z|=_.【解析解析】(1+i)z=1+i(1+i)z=1+i，所以所以|z|=|z|=答案：答案：