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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确的是()A复数的模总是正实数B复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C如果与复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D相等的向量对应着相等的复数答案D解析复数的模大于等于0，因此A不正确；复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应，因此B不对；同理C也不正确，因此选D.2.如图， 在复平面内，点A表
2、示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AABBCC DD答案B解析设zabi，abi.两点关于实轴对称故选B.3已知复数z满足(34i)z25，则z()A34i B34iC34i D34i答案D解析设zxyi，(34i)(xyi)3x3yi4xi4y25，z34i，选D.注意复数的运算中i21.4.设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析本题考查了复数的概念充分必要条件与分类讨论的思想由ab0知a0且b0或a0且b0或a0且b0，当a0且b0时，复数a为纯虚数，否则a为实数，反之若a为纯虚
3、数，则b0且a0，则ab0，故“ab0”是“a为纯虚数”的必要不充分条件，要注意对充分性和必要性的判断5复数z，则z2z4z6z8z10的值为()A1B1CiDi答案B解析z2()21，111111.6下面是关于复数z的四个命题p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1，其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4答案C解析本题考查了复数的四则运算以及复数的模，共轭复数等z1i，p1：|z|，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1.复数的四则运算以及复数的共轭复数，复数相等是复数的考查重点7设复数z为虚数，条
4、件甲：z是实数，条件乙：|z|1，则()A甲是乙的必要非充分条件B甲是乙的充分非必要条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件答案C解析本题考查复数的运算和充要条件的判断设zabi(b0且a，bR)，则zabii.因为z为实数，所以b.因为b0，所以a2b21，所以|z|1.而当|z|1，a2b21，条件甲显然成立8在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为点B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i答案B解析点A(1,2)关于直线yx的对称点为B(2,1)，所以对应的复数为2i，故选B.9复平面上三点A、B、C分别对应复数
5、1,2i,52i，则由A、B、C所构成的三角形是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案A解析1,2i,52i对应的向量坐标为(1,0)，(0,2)，(5,2)设O为坐标原点即(1,0)，(0,2)，(5,2)(1,2)(5,0)(4,2)则|2|2|A|2BAC90，即由A、B、C所构成的三角形是直角三角形10.若A、B是锐角ABC的两内角，则复数z(cosBsinA)(sinBcosA)i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析A、B是锐角ABC的两内角，AB由得ABA、B为锐角ABC的内角A(0，)，(B)(0，)又在(0，)
6、，正弦函数单调递增sinAsin(B)即sinAcosBcosBsinA0又由可得BA同理可得sinBsin(A)即sinBcosAsinBcosA0即z对应的点在第二象限二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11若(xi)i12i(xR)，则x_.答案2解析(xi)i1xi12i，x2.12已知i是虚数单位，计算_.答案i解析.13已知复数z12i，z2a(1a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，对应复数为3i，则a_.答案1解析由条件可知z2z13i，即(a2)(2a2)i3i，a1.14若z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_答案解析设bi(bR且b0)
7、，z1z2bi，即a2ibi(34i)4b3bi.a.15在复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3i)z2(13i)，|z1|，则z1_.答案1i或1i解析设z1abi，则z2abi，z1(3i)z2(13i)，且|z1|，解得或z11i或z11i.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？解析令z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60时，zR，k6或k1.(2)当k25
8、k60时，z是虚数，即k6且k1.(3)当时，z是纯虚数，k4.(4)当时，z0，解得k1.综上，当k6或k1时，z是实数；当k6且k1时，z是虚数；当k4时，z是纯虚数；当k1时，z是零17解关于实数x的方程(1i)x2(1i)x(26i)0.解析原方程化为：(x2x2)(x2x6)i0xR，根据复数相等的定义得，解得x2，原方程的解为x2.18若复数(m23m4)(m2m6)i表示的点在第四象限内，求实数m的取值范围分析 复数与复平面内的点一一对应，复数zabi对应的点(a，b)在第四象限内的充要条件为解析由题意，知2m1.即m的取值范围是m|mR，且2m119已知虚数z满足|2z1i|z
9、22i|(1)求|z|的值；(2)若mzR，求实数m的值解析(1)设虚数zabi(a，bR且b0)代入|2z1i|z22i|得|2a1(2b1)i|(a2)(b2)i|，(2a1)2(2b1)2(a2)2(b2)2整理得a2b22，即|z|2.(2)由(1)知，zabi其中a，bR，且b0.a2b22，又知mR，mzR.mzm(abi)mambimambiabi(maa)(mbb)i(mz)Rmbb0m.20.已知|z1|1，|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.分析 思路一：为了表示复数的模及进行复数的加减运算，可将z1、z2设出，然后解答思路二：复数的加法、减法及模都有一定的几何意义，
10、可用图形解答解析解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)由已知，得a2b21，c2d21，(ac)2(bd)23.又(ac)2(bd)2a2b2c2d22ac2bd22ac2bd3.2ac2bd1.又|z1z2|2(ac)2(bd)2a2b2c2d22ac2bd211，|z1z2|1.解法二：在复平面内设z1，z2分别对应向量、，则对角线对应z1z2，对应z1z2，由已知|1，|1，|.OZ1Z120.Z2OZ160.在OZ1Z2中，1，即|z1z2|1.21.已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值解析(1)因为b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实数根，所以b2(6i)b9ai0，即(b26b9)(ab)i0，故解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，由|33i|2|z|，得|(x3)(y3)i|2|xyi|，即(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值和最小值因为|OO1|，半径r2，所以当z1i时，|z|min.7