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1、试卷第 1 页，总 5 页2015 年全国高考数学卷文科卷年全国高考数学卷文科卷 1 一、选择题一、选择题1已知集合32,6,8,10,12,14Ax xnnNB，则集合ABI中的元素个数为()（A）5 （B）4 （C）3 （D）22已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC uuu r，则向量BC uuu r()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)3已知复数z满足(1)1zii，则z（）（A）2i （B）2i （C）2i （D）2i 4如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3 个不同
2、的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310 （B）15 （C）110 （D）1205已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C yx的焦点重合，,A B是 C 的准线与 E 的两个交点，则AB ()（A）3 （B）6 （C）9 （D）126 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约
3、为 3，估算出堆放的米有（）（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛7已知na是公差为 1 的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10a（）（A）172 （B）192 （C）10 （D）128函数()cos()f xx的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ试卷第 2 页，总 5 页9执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）（A）5 （B）6 （C）10 （D）1210已知函数1222,1()log(1),1xxf
4、 xxx，且()3f a ，则(6)fa（）（A）74 （B）54 （C）34 （D）1411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()（A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数()yf x的图像与2x ay的图像关于直线yx 对称，且(2)(4)1ff，则a()（A）1 （B）1 （C）2 （D）4二、填空题二、填空题13数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前 n 项和，若126nS，则n .14已知函数 31f xaxx的图像在点 1,1f的处的切线过点2,7，则 a .
5、15若 x,y 满足约束条件20210220 xyxyxy ,则 z=3x+y 的最大值为 16已知F是双曲线22:18yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点，0,6 6A，当APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题三、解答题17（本小题满分 12 分）已知,a b c分别是ABC内角,A B C的对边，2sin2sinsinBAC.（）若ab，求cos;B（）若90B o，且2,a 求ABC的面积.试卷第 3 页，总 5 页18（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BEABCD 平平，（）证明：平面AEC 平面BED；（）若120ABC
6、o，,AEEC 三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费ix和年销售量1,2,8iy i L数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xryu rwu r821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiww yy46.656.36.8289.81.61469108.8表中iw=ix，wu r=1881iiw（）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售
7、量y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为0.2zyx，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费90 x 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v,22(,)u v，(,)nnu v,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：试卷第 4 页，总 5 页121()()=()niiiniiuu vvuu，=vu20（本小题满分 12 分）已知过点1,0A且斜率为 k 的直
8、线 l 与圆 C：22231xy交于 M，N 两点.（）求 k 的取值范围；（）12OM ONuuuu r uuu r，其中 O 为坐标原点，求MN.21（本小题满分 12 分）设函数 2lnxf xeax.（）讨论 f x的导函数 fx的零点的个数；（）证明：当0a 时 22lnf xaaa.22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是直径，AC 是切线，BC 交与点 E.（）若 D 为 AC 中点，求证：DE 是切线；（）若，求的大小.3OACEACB23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2Cx ，圆222:121
9、Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求12,C C的极坐标方程.（）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,C C的交点为,M N，求2C MN 的面积.24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 12,0f xxxa a.（）当1a 时求不等式 1f x 试卷第 5 页，总 5 页的解集；（）若 f x 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.答案第 1 页，总 8 页参考答案参考答案1D【解析】试题分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故AB=8,14,故选 D.考点：集合运算2A【解析】
10、试题分析：ABOBOAuuu ruuu ruu u r=（3,1），BC uuu rACABuuu ruuu r=(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算3C【解析】试题分析：(1)1zii，z=212(12)()2iiiiii，故选 C.考点：复数运算4C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为110，故选 C.考点：古典概型5B【解析】试题分析：抛物线2:8C yx的焦点为（2,0），准线方程为2x ，椭圆 E 的右焦点为（2,0），椭圆
11、 E 的焦点在 x 轴上，设方程为22221(0)xyabab，c=2，12cea，4a，22212bac，椭圆 E 方程为2211612xy，将2x 代入椭圆 E 的方程解得 A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故选 B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r，则12 384r，所以163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，故堆放的米约为32091.6222，故选 B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7B【解析】试题分析：公差1d，844SS，111188 74(44 3)22aa ，解得1a=12，1011199922
12、aad，故选 B.考点：等差数列通项公式及前 n 项和公式8D【解析】答案第 2 页，总 8 页试题分析：由五点作图知，1+4253+42 ，解得=，=4，所以()cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124k x324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选D.考点：三角函数图像与性质9C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2mm=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m=0.25,2mm=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，
13、S=S-m=0.125,2mm=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625,2mm=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125,2mm=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625,2mm=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,2mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.
14、考点：程序框图10A【解析】试题分析：()3f a ，当1a 时，1()223af a，则121a，此等式显然不成立，当1a 时，2log(1)3a，解得7a，(6)fa(1)f=1 17224 ，故选 A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12C【解析】试题分析：设(,)x y是函数()yf x的图像上任意一
15、点，它关于直线yx 对称为（,yx），由已知知（,yx）在函数2x ay的图像上，答案第 3 页，总 8 页2y ax ，解得2log()yxa，即2()log()f xxa，22(2)(4)log 2log 41ffaa，解得2a，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算136【解析】试题分析：112,2nnaaa，数列 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2(1 2)1261 2nnS，264n，n=6.考点：等比数列定义与前 n 项和公式141【解析】试题分析：2()31fxax，(1)31fa，即切线斜率31ka，又(1)2fa，切点为（1，2a），切线过（2,7），27311
16、2aa，解得a 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；154【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30 xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由2=021=0 xyxy解得A（1,1），z=3x+y 的最大值为 4.考点：简单线性规划解法1612 6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，1|2|PFaPF，APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12|aPF+|AF|=|PA|+1|PF+|AF|+2a，由于2|aAF是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|+1|PF最小，即P、
17、A、1F共线，0,6 6A，1F（3,0），直线1AF的方程为136 6xy，即32 6yx 代入2218yx 整理得26 6960yy，解得2 6y 或8 6y (舍)，所以 P 点的纵坐标为2 6，11APFAFFPFFSSS=116 6 66 2 622 =12 6.答案第 4 页，总 8 页考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17（）14（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将2sin2sinsinBAC化为变得关系，结合条件ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B的余弦值；（）由（）知22bac=，根据勾股定理和即可求出 c，从而求出ABC的面
18、积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得22bac=.又ab=，可得2bc=,2ac=,由余弦定理可得2221cos24acbBac+-=.（）由(1)知22bac=.因为B=90，由勾股定理得222acb+=.故222acac+=，得2ca=.所以DABC 的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18（）见解析（）3+2 5【解析】试题分析：（）由四边形 ABCD 为菱形知 ACBD，由 BE平面 ABCD 知 ACBE，由线面垂直判定定理知 AC平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面BED；（）设 AB=x，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD用 x 表示出来
19、，在RtDAEC 中，用 x 表示 EG，在RtDEBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥EACD的体积为63求出 x，即可求出三棱锥EACD的侧面积.试题解析：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD，因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED（）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为 AEEC，所以在RtDAEC 中，可得 EG=32x.由 BE平面 ABCD，知DEBG 为直角三角形，可得 BE=22x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积3
20、116632243E ACDVAC GD BEx-=.故x=2从而可得 AE=EC=ED=6.答案第 5 页，总 8 页所以DEAC 的面积为 3，DEAD 的面积与DECD 的面积均为5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为3+2 5.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19（）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（）$100.668yx（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）()利用y关于x的回归
21、方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于$81821()()()iiiiiww yydww=108.8=6816，$cydw$=563-686.8=100.6.y关于w的线性回归方程为$100.668yw，y关于x的回归方程为$100.668yx.（）()由（）知，当
22、x=49 时，年销售量y的预报值$100.668 49y=576.6，576.6 0.24966.32z$.（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxxx$，当x=13.6=6.82，即46.24x 时，z$取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20（）47 47,33-+（）2【解析】试题分析：（）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范围；（）设1122(,),(,)M x yN x
23、y，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x xy y用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ONuuuu r uuu r列出关于 k 方程，解出 k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线 l 的方程为1ykx=+.答案第 6 页，总 8 页因为 l 与 C 交于两点，所以2|23 1|11kk-+.解得474733k-+时，()fx存在唯一零点.（）见解析【解析】试题分析：（）先求出导函数，分0a 与0a 考虑 fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设()fx在()0+，的唯一零点为0 x，根据 fx的正
24、负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna aa+，即证明了所证不等式.试题解析：（）()f x的定义域为()0+，()2()=20 xafxexx-.当0a 时,()0fx，()fx没有零点；当0a 时，因为2xe单调递增，ax-单调递增，所以()fx在()0+，单调递增.又()0fa,当 b 满足04ab且14b 时，(b)0f时，()fx存在唯一零点.（）由（），可设()fx在()0+，的唯一零点为0 x，当()00 xx，时，()0fx.故()f x在()00 x，单调递减，在()0+x，单调递增，所以当0 xx=时，()f x取得最小值，最小值为
25、0()f x.由于0202=0 xaex-，所以00022()=2ln2ln2af xaxaaaxaa+.答案第 7 页，总 8 页故当0a 时，2()2lnf xaaa+.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由得，3OACEAB=，设 AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理2
26、3x212BEx可得，列出关于的方程，解出，即可求出ACB 的大小.2AECE BEgxx试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线.（）设 CE=1，AE=,由已知得 AB=，x2 3212BEx由射影定理可得，2AECE BEg，解得=，ACB=60.2212xxx3考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23（）cos2,22 cos4 sin40（）12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极
27、坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（）将将=4代入22 cos4 sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MNV的面积.试题解析：（）因为cos,sinxy，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40.5 分（）将=4代入22 cos4 sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为2C的半径为 1，则2C MNV的面积o12 1 sin452=12.答案第 8 页，总 8 页考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24（）2|23xx（）（2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式f
28、(x)1 化为一元一次不等式组来解；（）将()f x化为分段函数，求出()f x与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.试题解析：（）当 a=1 时，不等式f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于11221xxx 或111221xxx 或11 221xxx，解得223x，所以不等式f(x)1 的解集为2|23xx.（）由题设可得，1 2,1()31 2,112,xa xf xxaxaxa xa ，所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,+1)C a a，所以ABC 的面积为22(1)3a.由题设得22(1)3a6，解得2a.所以a的取值范围为（2，+）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法