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1、2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析1/13 2015 年全国高考数学卷文科卷1 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题（题型注释）1已知集合32,6,8,10,12,14Ax xnnNB，则集合AB中的元素个数为()（A）5 （B）4 （C）3 （D）22已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC，则向量BC()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)3已知复数z满足(1)1zii，则z（）（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i4如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数
2、，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,A B是 C的准线与 E的两个交点，则AB()（A）3（B）6（C）9（D）126 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（
3、B）22斛（C）36斛（D）66斛7已知na是公差为1的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10a（）（A）172（B）192（C）10（D）128函数()cos()f xx的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析2/13（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ9执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）（A）5（B）6（C）10（D）1210已知函数1222,1()log(1),1xxf xxx，且()3f a，则(6)fa（
4、）（A）74（B）54（C）34（D）1411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()（A）1（B）2（C）4（D）812设函数()yf x的图像与2xay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则a()（A）1（B）1（C）2（D）4二、填空题（题型注释）13数列na中112,2,nnnaaaS为na的前 n 项和，若126nS，则n .14已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则a .2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析3/13 15若 x,y 满足约束
5、条件20210220 xyxyxy,则 z=3x+y 的最大值为16已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是 C左支上一点，0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为三、解答题（题型注释）17（本小题满分12 分）已知,a b c分别是ABC内角,A B C的对边，2sin2sinsinBAC.（）若ab，求cos;B（）若90B，且2,a求ABC的面积.18（本小题满分12 分）如图四边形ABCD 为菱形，G为 AC与 BD交点，BEABCD平面，（）证明：平面AEC平面BED；（）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分12 分）
6、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的宣传费ix和年销售量1,2,8iy i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.656.36.8289.81.61469108.8表中iw=ix，w=1881iiw2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析4/13（）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据
7、（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z 与 x，y 的关系为0.2zyx，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费90 x时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v,22(,)uv，(,)nnuv,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niiiniiuuvvuu，=vu20（本小题满分12 分）已知过点1,0A且斜率为k 的直线 l 与圆 C：22231xy交于 M，N两点.（）求k 的取值范围；（）12OM ON，其中 O为坐标原点，求MN.
8、21（本小题满分12 分）设函数2lnxfxeax.（）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（）证明：当0a时22lnfxaaa.22（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图 AB是直径，AC是切线，BC交与点 E.（）若D为 AC中点，求证：DE是切线；（）若3OACE，求ACB的大小.23（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求12,C C的极坐标方程.（）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,CC的交点为,M N，求2C MN的面积.24（本小题满分10
9、 分）选修4-5：不等式选讲已知函数12,0fxxxa a.（）当1a时求不等式1fx的解集；（）若fx图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析1/13 参考答案1D【解析】试题分析：由条件知，当n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 AB=8,14,故选 D.考点：集合运算2A【解析】试题分析：ABOBOA=（3,1），BCACAB=(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算3C【解析】试题分析：(1)1zii，z=212(12)()2iiiiii，故选 C.考点：复数运算4C【解析】试题分析：从1,2,3,4,
10、51,2,3,4,5中任取 3 个不同的数共有10 种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故 3个数构成一组勾股数的取法只有1 种，故所求概率为110，故选 C.考点：古典概型5B【解析】试题分析：抛物线2:8Cyx的焦点为（2,0），准线方程为2x，椭圆E的右焦点为（2,0），椭圆 E的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)xyabab，c=2，12cea，4a，22212bac，椭圆E方程为2211612xy，将2x代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故选 B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则12384r
11、，所以163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，故堆放的米约为32091.62 22，故选 B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7B【解析】试 题 分 析：公 差1d，844SS，11118874(443)22aa，解 得1a=12，2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析2/13 1011199922aad，故选 B.考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8D【解析】试 题 分 析：由 五 点 作 图 知，1+4253+42，解 得=，=4，所 以()cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124kx324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故
12、选 D.考点：三角函数图像与性质9C【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2mm=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m=0.25,2mm=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.125,2mm=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625,2mm=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125,2mm=0.015625,n=5,S
13、=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625,2mm=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,2mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图10A【解析】试题分析：()3f a，当1a时，1()223af a，则121a，此等式显然不成立，当1a时，2log(1)3a，解得7a，(6)fa(1)f=1 17224，故选 A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11B【解析】试题分析：由正视图和俯视
14、图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为 2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析3/13 12C【解析】试题分析：设(,)x y是函数()yf x的图像上任意一点，它关于直线yx对称为（,yx），由已知知（,yx）在函数2x ay的图像上，2yax，解得2log()yxa，即2()log()f xxa，22(2)(4)log 2log 41ffaa，解得2a，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算
15、136【解析】试题分析：112,2nnaaa，数列na是首项为2，公比为 2 的等比数列，2(12)12612nnS，264n，n=6.考点：等比数列定义与前n 项和公式141【解析】试题分析：2()31fxax，(1)31fa，即切线斜率31ka，又(1)2fa，切点为（1，2a），切线过（2,7），273112aa，解得a1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；154【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30 xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y过点A时，z 取最大值，由2=021=0 xyxy解得 A（1,1），z=3x+y 的最大值为4.
16、考点：简单线性规划解法16126【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，1|2|PFaPF，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12|aPF+|AF|=|PA|+1|PF+|AF|+2a，2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析4/13 由于2|aAF是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+1|PF最小，即P、A、1F共线，0,66A，1F（3,0），直线1AF的方程为136 6xy，即32 6yx代入2218yx整理得26 6960yy，解得2 6y或8 6y(舍)，所以 P点的纵坐标为2 6，11APFAFFPFFSSS=1166 662 622=1
17、26.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17（）14（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将2sin2sinsinBAC化为变得关系，结合条件ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（）由（）知22bac，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC的面积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得22bac.又ab，可得2bc,2ac,由余弦定理可得2221cos24acbBac.（）由(1)知22bac.因为B90，由勾股定理得222acb.故222acac，得2ca.所以ABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18（）见解析（）3+
18、25【解析】试题分析：（）由四边形ABCD 为菱形知ACBD，由 BE平面 ABCD 知 ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED；（）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用 x 表示出来，在RtAEC中，用 x 表示 EG，在RtEBG中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥EACD的体积2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析5/13 为63求出 x，即可求出三棱锥EACD的侧面积.试题解析：（）因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD，因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，故 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC，
19、所以平面AEC平面 BED（）设AB=x，在菱形ABCD 中，由ABC=120，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为 AEEC，所以在RtAEC中，可得EG=32x.由 BE平面 ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积3116632243EACDVAC GD BEx.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19（）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x
20、的回归方程类型（）100.668yx（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）()利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z 与 x、y 的关系为z=0.2y-x即可年利润z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于81821()()(
21、)iiiiiwwyydww=108.8=6816，cydw=563-68 6.8=100.6.y关于w的线性回归方程为100.668yw，y关于x的回归方程为100.668yx.2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析6/13（）()由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值100.668 49y=576.6，576.60.24966.32z.（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.6 68)13.620.12zxxxx，当x=13.6=6.82，即46.24x时，z取得最大值.故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；
22、利用回归方程进行预报预测；应用意识20（）47 47,33（）2【解析】试题分析：（）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（）设1122(,),(,)M x yN xy，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x xy y用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON列出关于k 方程，解出k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线l 的方程为1ykx.因为 l 与 C交于两点，所以2|23 1|11kk.解得474733k.所以k的取值范围是4747,33.（）设1122
23、(,),(,)Mx yN xy.将1ykx代入方程22231xy,整理得22(1)-4(1)70kxkx,所以1212224(1)7,.11kxxx xkk21212121224(1)1181kkOM ONx xy ykx xk xxk,由题设可得24(1)8=121kkk，解得=1k，所以 l 的方程为1yx.故圆心在直线l 上，所以|2MN.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析7/13 21（）当0a时，()fx没有零点；当0a时，()fx存在唯一零点.（）见解析【解析】试题分析：（）先求出导函数，分0a与0a考虑fx的单调性及性质
24、，即可判断出零点个数；（）由（）可设()fx在0+，的唯一零点为0 x，根据fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna aa，即证明了所证不等式.试题解析：（）()f x的定义域为0+，2()=20 xafxexx.当0a时,()0fx，()fx没有零点；当0a时，因为2 xe单调递增，ax单调递增，所以()fx在0+，单调递增.又()0fa,当 b 满足04ab且14b时，(b)0f,故当0a时，()fx存在唯一零点.（）由（），可设()fx在0+，的唯一零点为0 x，当00 xx，时，()0fx;当0+xx，时，()0fx.故()f x在00
25、x，单调递减，在0+x，单调递增，所以当0 xx时，()f x取得最小值，最小值为0()fx.由于0202=0 xaex，所以00022()=2ln2ln2afxaxaaaxaa.故当0a时，2()2lnf xaaa.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE BC，AC AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即 OED=90，所以DE是圆 O的切线；（）设 CE=1,由3OACE得，AB=2 3，设
26、 AE=x，由勾股定理得212BEx，由直角三角形射影定理可得2AECE BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出 ACB的大小.试题解析：（）连结AE，由已知得，AE BC，AC AB，在 RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是圆 O的切线.（）设CE=1，AE=x,由已知得AB=2 3，212BEx，2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析8/13 由射影定理可得，2AECE BE，2212xx，解得x=3，ACB=60.考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23（）
27、cos2,22cos4sin40（）12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN的面积.试题解析：（）因为cos,sinxy，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.5 分（）将=4代入22cos4sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为2C的半径为1，则2C MN的面积o121 sin 452=12.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24（）2|23xx（）（2，+）【解析】试
28、题分析：（）利用零点分析法将不等式f(x)1化为一元一次不等式组来解；（）将()fx化为分段函数，求出()f x与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.试题解析：（）当a=1 时，不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|1，等价于11221xxx或111221xxx或11221xxx，解得223x，所以不等式f(x)1的解集为2|23xx.2015 年全国高考数学卷文科卷1 及解析9/13（）由题设可得，12,1()312,112,xa xf xxaxaxa xa，所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,+1)C a a，所以 ABC的面积为22(1)3a.由题设得22(1)3a6，解得2a.所以a的取值范围为（2，+）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法