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1、试卷第 1 页，总 6 页2014 年全国高考数学卷文科卷年全国高考数学卷文科卷 1学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（题型注释）一、选择题（题型注释）1已知集合，则（）|13,|21MxxNxx MN IA.B.C.D.)1,2()1,1()3,1()3,2(2若，则0tanA.B.C.D.0sin0cos02sin02cos3设，则iiz11|zA.B.C.D.22122234已知双曲线的离心率为 2，则)0(13222ayaxaA.2 B.C.D.126255设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结)(),(xgxfR)(xf)(xg论中正确的是A.是偶函数 B.是奇函数
2、 )()(xgxf)(|)(|xgxfC.是奇函数 D.是奇函数|)(|)(xgxf|)()(|xgxf6设分别为的三边的中点，则FED,ABCABCABC,FCEBA.B.C.D.ADAD21BC21BC7在函数，,中，最小|2|cosxy|cos|xy)62cos(xy)42tan(xy正周期为 的所有函数为A.B.C.D.8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）试卷第 2 页，总 6 页A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9执行右面的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的(),a b kM A.B.C.D.203721651
3、5810已知抛物线 C：的焦点为,是 C 上一点，则xy 2FyxA00,xFA045（）x0A.1 B.2 C.4 D.811已知函数，若存在唯一的零点，且，则 的取值32()31f xaxx()f x0 x00 x a范围是（A）（B）（C）（D）2,1,2,1 试卷第 3 页，总 6 页二、填空题（题型注释）二、填空题（题型注释）12设，满足约束条件且的最小值为 7，则xy,1,xyaxy zxaya（A）-5 （B）3 （C）-5 或 3 （D）5 或-313将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_.14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
4、、三个城市时，ABC 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；B 乙说：我没去过城市；C 丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.15设函数则使得成立的 的取值范围是_.113,1,1,xexf xxx 2f x x16如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点MNACA测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测M60MANC45CAB75MACC得.已知山高，则山高_.60MCA100BCmMN m试卷第 4 页，总 6 页三、解答题（题型注释）三、解答题（题型注释）17已知是递增的等差数列，是方程的根。na2a4a2560 xx（I）求的通项公式；na（II）求数列
5、的前 项和.2nnan18从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？19如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且111CBAABC CCBB11CB1O平面.AOCCBB11
6、试卷第 5 页，总 6 页（1）证明：;1ABCB（2）若,求三棱柱的高.1ABAC,1,601BCCBBo111CBAABC 20已知点，圆:，过点的动直线 与圆交于两点，)2,2(PC0822yyxPlCBA,线段的中点为，为坐标原点.ABMO(1)求的轨迹方程；M(2)当时，求 的方程及的面积OMOP lPOM21设函数，曲线处的切线斜率为 21ln12af xaxxbx a 11yf xf在点，0求 b;若存在使得，求 a 的取值范围。01,x 01af xa22如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于ABCDABDC点，且.ECBCE（I）证明：；DE（II）设不是的直径，
7、的中点为，且，证明：为等边ADADMMBMCADE三角形.23已知曲线，直线（为参数）194:22yxCtytxl222:t写出曲线的参数方程，直线 的普通方程；Cl试卷第 6 页，总 6 页过曲线上任意一点作与 夹角为 30的直线，交 于点，求的最大值与CPllAPA最小值.24若且,0,0baabba11（I）求的最小值；33ba（II）是否存在，使得？并说明理由.ba,632 ba本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 17 页参考答案参考答案1B【解析】试题分析：根据集合的运算法则可得：，即|11MNxx I选 B考点：集合的运算2C【解析】试题分析：由
8、，可得：同正或同负，即可sintan0cossin,cos排除 A 和 B，又由，故.sin22sincossin20考点：同角三角函数的关系3B【解析】试题分析：根据复数运算法则可得：，由模的运算可得：111111(1)(1)222iiziiiiiii .22112|()()222z 考点：复数的运算4D【解析】试题分析：由离心率可得:，解得：cea222232aea1a 考点：复数的运算本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 17 页5C【解析】试题分析：由函数的定义域为，且是奇函数，)(),(xgxfR)(xf是偶函数，可得：和均为偶函数，根据一奇一偶)(
9、xg|()|f x|()|g x函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选 C考点：函数的奇偶性6A【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，同理，BEF12EBEFFBEFABuu u ruuu ruu u ruuu ruuu r12FCFEECFEACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r则11111()()()()22222EBFCEFABFEACABACABACADuu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r考点：向量的运算7A【解析】试题分析：中函数是一个偶函数，其周期与相
10、同，cos2yx;中函数的周期是函数周期的一半，22T|cos|xy cosyx即;，则选 AT22T2T考点：三角函数的图象和性质8B【解析】试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等可得几何体如下图所示本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 17 页考点：三视图的考查9D【解析】试题分析：根据题意由成立，则循环，即13;又由成立，则循环，即1331,2,2222Mabn 23;又由成立，则循环，即28382,33323Mabn33;又由不成立，则出循环，输出3315815,428838Mabn43158M 考点：算法的循环结构10A【解析】试题分析：
11、根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：，则有：，即有14x 01|4AFx，可解得001544xx01x 考点：抛物线的方程和定义11C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当时，函数显0a 2()31f xx 然有两个零点且一正一负;当时，求导可得：0a，利用导数的正负与函数单调性的关系2()363(2)fxaxxx ax本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 17 页可得：和时函数单调递增;时函数单(,0)x 2(,)xa2(0)xa，调递减，显然存在负零点;当时，求导可得：0a，利用导数的正负与函数单调性的关系2()363(2
12、)fxaxxx ax可得：和时函数单调递减;时函数单调2(,)xa(0,)x2(0)xa，递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，2()0(0)0faf即得：，可解得：，则3222()3()10aaa 24a 2(,2aa 舍去）考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用12B【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，11(,)22aaAzxay0a z 有最小值：，则，解得：21121222aaaaza22172aa;当时，z 无最小值故选 B3a 0a 考点：线性规划的应用1323【解析】本卷由系统自
13、动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 17 页试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数 1，数 2，语;数 1，语，数 2;数 2，数 1，语;数 2，语，数 1;语，数 2，数 1;语，数 1，数 2 共有 6 种，其中 2 本数学书相邻的有 4 种，则其概率为：42P63考点：古典概率的计算14A【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：A 城市B 城市C 城市甲去过没去去过乙去过没去没去丙去过可能可能可以得出结论乙去过的城市为：A考点：命题的逻辑分析15(,8【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当时，由1x，可解得
14、：，则此时：;当时，由，12xe1 ln2x 1x 1x 132x 可解得：，则此时：，综合上述两种情况可得：328x 18x(,8x 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 17 页考点：1.分段函数;2.解不等式16150【解析】试题分析：根据题意，在中，已知ABC，易得：;在中，已0045,90,100CABABCBC100 2AC AMC知，易得：，由正弦0075,60,100 2MACMCAAC045AMC定理可解得：，即：;sinsinACAMAMCACM100 23100 3222AM 在中，已知，易得：AMN0060,90,100 3MANMNA
15、AM.150MNm考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用17（1）;（2）.112nan1422nnnS【解析】试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程，可运2560 xx用因式分解的方法求出它的两根为 2,3，即可得出等差数列中的，运用等差数列的定义求出公差为 d，则，242,3aa422aad故，从而.即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中12d 132a 已求出通项，易求出：，写出它的前 n 项的形式：1222nnnan，观察此式特征，发现它是一个差比数23134122222nnnnnSL列，故可采用错位相减的方法进行数列求和，即两边同乘，12即：，将两式相减可得：3
16、4121341222222nnnnnSL，所以23412131112()222222nnnnSL123112(1)4422nnn本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 17 页.1422nnnS试题解析：（1）方程的两根为 2,3，由题意得2560 xx.242,3aa设数列的公差为 d，则，故，从而.na422aad12d 132a 所以的通项公式为.na112nan（2）设的前 n 项和为，由（1）知，则2nnanS1222nnnan，23134122222nnnnnSL.34121341222222nnnnnSL两式相减得23412131112()2222
17、22nnnnSL123112(1)4422nnn所以.1422nnnS考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和18（1）（2）质量指标值的样本平均数为 100，质量指标值的样本方差本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 17 页为 104（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.【解析】试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）
18、根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为，进80 0.0690 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08100 x 而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为;（3）根22222(20)0.06(10)0.260 0.38 100.22200.08104s 据题意可知质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企0.380.220.080.68业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.试题解析：（1）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，
19、答案仅供参考。答案第 9 页，总 17 页（2）质量指标值的样本平均数为.80 0.0690 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08100 x 质量指标值的样本方差为.22222(20)0.06(10)0.260 0.38 100.22200.08104s 所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为，0.380.220.080.68由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算19（1）详见解析
20、;（2）三棱柱的高为.111ABCABC217【解析】试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 17 页面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结，则 O 为1BC与的交点，又因为侧面为菱形，对角线相互垂直1BC1BC11BBC C;又平面，所以，根据线面垂直的判11BCBCAO 11BBC C1BCAO定定理可得：平面 ABO，结合线面垂直的性质：由于1BC 平面 ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根据题中已AB 1BCAB知条件可转化为先求点 O 到平面 ABC 的距离，即：作，ODBC垂足为 D，连结
21、 AD，作，垂足为 H，则由线面垂直的判OHAD定定理可得平面 ABC，再根据三角形面积相等：OH，可求出的长度，最后由三棱柱的OH ADOD OAOH111ABCABC高为此距离的两倍即可确定出高试题解析：（1）连结，则 O 为与的交点.1BC1BC1BC因为侧面为菱形，所以.11BBC C11BCBC又平面，所以，AO 11BBC C1BCAO故平面 ABO.1BC 由于平面 ABO，故.AB 1BCAB（2）作，垂足为 D，连结 AD，作，垂足为 H.ODBCOHAD由于，故平面 AOD，所以，BCODBC OHBC又，所以平面 ABC.OHADOH 因为，所以为等边三角形，又，可得01
22、60CBB1CBB1BC 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11 页，总 17 页.34OD 由于，所以,1ACAB11122OABC由，且，得，OH ADOD OA2274ADODOA2114OH 又 O 为的中点，所以点到平面 ABC 的距离为.1BC1B217故三棱柱的高为.111ABCABC217考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用20（1）;（2）的方程为;的22(1)(3)2xyl1833yx POM面积为.165【解析】试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆 C的方程可化为，所以圆心为，半径为 4，根22(
23、4)16xy(0,4)C据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：(,)M x y，运用向量数量积运算可得方程：0CMMPuuu u ruuu r;（2）由第（1）中所求可知 M 的轨迹是以点22(1)(3)2xy为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故 O(1,3)N2|OPOM在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而，不ONPM难得出 的方程为;结合面积公式可求又的面积l1833yx POM为.165试题解析：（1）圆 C 的方程可化为，所以圆心为22(4)16xy本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 12 页，总 17 页，半径为 4，(0,4)C
24、设，则，(,)M x y(,4)CMx yuuu u r(2,2)MPxyuuu r由题设知，故，即0CMMPuuu u ruuu r(2)(4)(2)0 xxyy.22(1)(3)2xy由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是.22(1)(3)2xy（2）由（1）可知 M 的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.(1,3)N2由于，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，|OPOM从而.ONPM因为 ON 的斜率为 3，所以 的斜率为，故 的方程为.l13l1833yx 又，O 到 的距离为，所以|2 2OPOMl4 1054 10|5PM 的面积为.POM165考点
25、：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系21（1）;（2）.1b(21,21)(1,)U【解析】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，()(1)afxa xbx利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第（1）小(1)0f1b 题中所求 b，则函数完全确定下来，则它的导数可求出并化()f x本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13 页，总 17 页简得：根据题意可得要对1()(1)1()(1)1aaafxa xxxxxa 与 的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（）若1aa1，则，故当
26、时，在单调递12a 11aa(1,)x()0fx()f x(1,)增，所以，存在，使得的充要条件为，01x 0()1af xa(1)1afa即，所以.（）若，则1121aaa 2121a 112a，故当时，；当时，11aa(1,)1axa()0fx(,)1axa，在单调递减，在单调递增.所以，()0fx()f x(1,)1aa(,)1aa存在，使得的充要条件为，无解则不01x 0()1af xa()11aafaa合题意.（）若，则.综上，a 的取1a 11(1)1221aaafa 值范围是.(21,21)(1,)U试题解析：（1），()(1)afxa xbx由题设知，解得.(1)0f1b（2）
27、的定义域为，由（1）知，()f x(0,)21()ln2af xaxxx1()(1)1()(1)1aaafxa xxxxxa（）若，则，故当时，在12a 11aa(1,)x()0fx()f x单调递增，(1,)所以，存在，使得的充要条件为，即01x 0()1af xa(1)1afa，1121aaa 所以.2121a（）若，则，故当时，；112a11aa(1,)1axa()0fx 当时，在单调递减，在(,)1axa()0fx()f x(1,)1aa单调递增.(,)1aa本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14 页，总 17 页所以，存在，使得的充要条件为，01x 0()1
28、af xa()11aafaa而，所以不合题意.2()ln112(1)11aaaaafaaaaaa（）若，则.1a 11(1)1221aaafa 综上，a 的取值范围是.(21,21)(1,)U考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用22（1）详见解析;（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意可知 A，B，C，D 四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：，由已知得DCBE，故;（2）不妨设出 BC 的中点为 N，连结CBEE DE MN，则由，由等腰三角形三线合一可得：，故MBMCMNBCO 在直线 MN 上，又 AD 不是圆 O 的直径，M
29、 为 AD 的中点，故，即，所以，故，又OMADMNAD/ADBCACBE，故，由（1）知，所以为等CBEE AE DE ADE边三角形.试题解析：（1）由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以，DCBE 由已知得，故.CBEE DE（2）设 BC 的中点为 N，连结 MN，则由知，MBMCMNBC故 O 在直线 MN 上.又 AD 不是圆 O 的直径，M 为 AD 的中点，故，OMAD本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 15 页，总 17 页即.MNAD所以，故，/ADBCACBE 又，故.CBEE AE 由（1）知，所以为等边三角形.DE ADE考点：1.圆的几何性
30、质;2.等腰三角形的性质23（1）曲线 C 的参数方程为，（为参数），直线 的2cos3sinxyl普通方程为.26yx（2）最大值为;最小值为.22 552 55【解析】试题分析：（1）根据题意易得：曲线 C 的参数方程为，2cos3sinxy（为参数），直线 的普通方程为;（2）由第（1）中l26yx 设曲线 C 上任意一点，利用点到直线的距离公式可(2cos,3sin)P求得：距离为，则5|4cos3sin6|5d，其中为锐角，且，当02 5|5sin()6|sin305dPA4tan3时，取得最大值，最大值为.当sin()1|PA22 55本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供
31、参考。答案第 16 页，总 17 页时，取得最小值，最小值为.sin()1|PA2 55试题解析：（1）曲线 C 的参数方程为，（为参数），2cos3sinxy直线 的普通方程为.l26yx（2）曲线 C 上任意一点到 的距离为(2cos,3sin)Pl.5|4cos3sin6|5d则，其中为锐角，且，02 5|5sin()6|sin305dPA4tan3当时，取得最大值，最大值为.sin()1|PA22 55当时，取得最小值，最小值为.sin()1|PA2 55考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性24（1）最小值为;（2）不存在 a，b，使得.4 2236ab
32、【解析】试题分析：（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：112ababab2ab 2ab，且当时等号成立.所以的最小值3324 2abab2ab33ab为;（2）由（1）知，而事实上，4 2232 64 3abab4 36从而不存在 a，b，使得.236ab试题解析：（1）由，得，且当时112ababab2ab 2ab本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 17 页，总 17 页等号成立.故，且当时等号成立.3324 2abab2ab所以的最小值为.33ab4 2（2）由（1）知，.232 64 3abab由于，从而不存在 a，b，使得.4 36236ab考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理