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1、第六章第六章 二次型二次型 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型 6.3 正定二次型正定二次型称为称为n元元二次型二次型.的二次齐次多项式的二次齐次多项式个变量个变量nxxxn,21L第一节第一节 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念定义定义1 1 二次型二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为称为二次型的二次型的标准形标准形例如例如对于二次型对于二次型二、二次型的矩阵表示方法二、二次型的矩阵表示方法,的矩阵的矩阵称为二次型称为二次型fA.的二次型的二次型称为称为Af).(,)(fR
2、fARA记作记作的秩的秩称为称为的秩的秩解解6432 3221232221的矩阵形式的矩阵形式.写出二次型写出二次型xxxxxxxf-+-+=例例故故设设对于二次型，我们要讨论的对于二次型，我们要讨论的主要问题主要问题是：是：寻求可逆的求可逆的线性性变换，将二次型化，将二次型化为标准形准形第二节第二节 化二次型为标准型化二次型为标准型ACCT如果如果是一个对角阵：是一个对角阵：2222211nnyyyl ll ll l+=LTT(C AC)yy标准形标准形则称则称矩阵矩阵A与与B合同合同.记做记做 A B.定义定义2 A与与B合同合同设设A,B为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶可逆矩阵阶可
3、逆矩阵C，使得：，使得：CTAC=B合同也是矩阵间的一种关系，它具有：合同也是矩阵间的一种关系，它具有：(1)反身性反身性 (2)对称性对称性 (3)传递性传递性证明：证明：()().ARBR=且且即即 为对称矩阵为对称矩阵.,A矩阵矩阵为对称为对称若若A与与B合同且合同且定理定理1,B也为对称矩阵也为对称矩阵则则A与与B合同，即存在合同，即存在n阶可逆阵阶可逆阵C使得使得CTAC=B又，又，证毕证毕.说明说明简称配方法，是利用代数公式，将二次型配成简称配方法，是利用代数公式，将二次型配成完全平方式的方法。完全平方式的方法。1.1.用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形一、拉格朗日配
4、方法一、拉格朗日配方法一、拉格朗日配方法一、拉格朗日配方法类型类型1、二次型中含有平方项、二次型中含有平方项类型类型2、二次型中不含有平方项、二次型中不含有平方项类型类型1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤类型类型2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换 化二
5、次型为含有平方项的二次型，化二次型为含有平方项的二次型，然后然后再按再按类型型1 1中方法配方中方法配方.解解例例2 2含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为所用变换矩阵为解解例例3 3由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得再配方，得所用变换矩阵为所用变换矩阵为定理定理2 22.2.用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形P114P114定理定理1010用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:解解1 1写出二次型的矩阵，并求其特征值写出二次型的矩阵，并求其特征值1717-l l
6、14141414-=-l l424l l222AlElE例例4从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为(2)指出指出 表示何种二次曲面表示何种二次曲面.(1)求参数求参数a及二次型所对应的矩阵的特征值；及二次型所对应的矩阵的特征值；()323121232221321662a55,xxxxxxxxxxxxf-+-+=已知二次型已知二次型例例5解解a33351315-=A二次型的矩阵为二次型的矩阵为(1)因因R(A)2，所以，
7、所以|A|0，解得，解得a3.的秩为的秩为2，),9)(4(|-=-l ll ll lAlElE可求得可求得由由A的特征多项式的特征多项式(2)由于二次型由于二次型 f=xTAx 经过正交变换经过正交变换x=Py可可化为标准型化为标准型因此因此故故f(x1,x2,x3)=1通过正交变换化为通过正交变换化为 =1,239422yy+3.3.用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形则称则称矩阵矩阵A与与B合同合同.记做记做 A B.定义定义2 2 A与与B合同合同设设A,B为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C，使得：，使得：CTAC=B第第5 5章章 定理定理
8、1010任意实对称矩阵任意实对称矩阵A必合同于对角矩阵必合同于对角矩阵L.L.,使使则一定存在正交矩则一定存在正交矩阶实对称矩阵阶实对称矩阵为为设设阵阵QnAL.L.=QTAQ=Q-1AQ即即,存在可逆矩阵存在可逆矩阵C,使得使得:CTAC=L又又,C可逆可逆,则则C必可表为初等矩阵的乘积必可表为初等矩阵的乘积,设设:C=P1P2Pm于是于是:(P1P2Pm)TAP1P2Pm=L即即:EC=EP1P2PmEP1P2Pm=CA P1P2Pm=L上式表明，对上式表明，对A做一系列初等行变换和初等列变换，做一系列初等行变换和初等列变换，把把A A化为对角阵化为对角阵L的同时，其中的初等列变换就把单的
9、同时，其中的初等列变换就把单位阵化为变换矩阵位阵化为变换矩阵C.也即也即:由此我们就可以得到化二次型的系数矩阵由此我们就可以得到化二次型的系数矩阵A A为为对角阵的可逆矩阵对角阵的可逆矩阵C，即，即CTAC=L.L.这种利用初等变化求可逆矩阵这种利用初等变化求可逆矩阵C及对角矩阵及对角矩阵L L，使使CTAC=L L的方法称为的方法称为初等变换法初等变换法.注意注意：仅能能对所构造的分所构造的分块矩矩阵的前的前n n行施行初等行行施行初等行变换例例6 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型 f=x12+5 x22+5x32+4x1x2-2x1x3-8x2x3为标准型，并求出所用的线性变换矩阵
10、为标准型，并求出所用的线性变换矩阵.解解 二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：得：得：令令xCy，则二次型，则二次型f 化为标准形：化为标准形：1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵.2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换算更快的可逆变换四、
11、小结四、小结将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法或或初等变换法初等变换法，这，这取决于问题的要求取决于问题的要求正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单配方法反而比较简单 而初等变换法比较直观易求解而初等变换法比较直观易求解,也是常用的方也是常用的方法法.不同的方法不同的方法，所得到的标准形可能不
12、相同所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩一个实二次型，既可以通过一个实二次型，既可以通过正交变换法正交变换法化为标化为标准形，也可以通过准形，也可以通过配方法配方法和和初等变换法初等变换法化为标准形，化为标准形，显然，由于所用的可逆线性变换不同，其标准形一显然，由于所用的可逆线性变换不同，其标准形一般来说是不惟一的，但标准形中所含有的项数是确般来说是不惟一的，但标准形中所含有的项数是确定的，定的，项数等于二次型的秩数等于二次型的秩第三节第三节 正定二次型正定二次型 不仅如此，在实可逆线性变换下，标准形中
13、的不仅如此，在实可逆线性变换下，标准形中的正平方项个数与负平方项的个数，也是保持不变的正平方项个数与负平方项的个数，也是保持不变的.定理定理3 3定义定义3 3 实二次型实二次型 f xTAx 的的标准形中正平方项的项数标准形中正平方项的项数 p 称为二次型称为二次型 f 的的正惯性指数正惯性指数；负平方项的项数；负平方项的项数 q 称称为二次型为二次型 f 的负惯性指数，它们的差的负惯性指数，它们的差 p-q 称为二次型称为二次型 f 的符号差的符号差.n元实二次型元实二次型 f xTAx 无论用怎样的可逆实线无论用怎样的可逆实线性变换化成标准型，其标准型中正、负平方项的项性变换化成标准型，
14、其标准型中正、负平方项的项数是唯一确定的，它们的和为二次型的秩数是唯一确定的，它们的和为二次型的秩.惯性定理一、惯性定理一、惯性定理例例二、实二次型的规范形二、实二次型的规范形由由P125定理定理2知，任意实二次型都可以化为标准型。知，任意实二次型都可以化为标准型。设实二次型设实二次型 f 经过适当的可逆线性变换化为标准型：经过适当的可逆线性变换化为标准型：其中其中di0(i=1,2,r),r是是f 的秩的秩.再对标准形作一次再对标准形作一次如下线性变换：如下线性变换：标准形就化为：标准形就化为：称这一简单形式为称这一简单形式为实二次型的实二次型的规范形规范形定理定理4定理定理5任何实二次型任
15、何实二次型 f 总可以经过适当的线性变换总可以经过适当的线性变换化为规范形，且规范形是唯一的化为规范形，且规范形是唯一的.任何实对称矩阵必合同于形如任何实对称矩阵必合同于形如的对角矩阵的对角矩阵.正定二次型正定二次型负定二次型负定二次型例如例如三、正三、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念定义定义4不定二次型不定二次型四、正四、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别.:6个系数全为正，即个系数全为正，即f 的正惯的正惯它的标准形的它的标准形的件是件是为正定的充分必要条为正定的充分必要条实二次型实二次型定理定理nAxxfT=性指数为性指数为n.推论推论1,21,2 实对称矩阵实对称矩阵A为正定
16、矩阵的充分必要条件为正定矩阵的充分必要条件是：是：A合同于合同于E，即存在可逆矩阵，即存在可逆矩阵P，使得，使得APTP.定理定理7 7n元实二次型元实二次型 f xTAx 正定的充要条件是正定的充要条件是A的特征值全部都大于零的特征值全部都大于零.定义定义5 顺序主子式顺序主子式定理定理8 8 n元实二次型元实二次型 f xTAx 为为正定的正定的即实对称矩即实对称矩阵阵A为正定矩阵的为正定矩阵的充分必要条件充分必要条件是：是：A的各阶主子式的各阶主子式均为正，即均为正，即设设A=(=(aij)为为n阶方阵，一次取阶方阵，一次取A的前的前k行与前行与前k列所列所构成的子式构成的子式 称为称为
17、A的顺序主子式的顺序主子式.1111kkkkaaaaLMML正定矩阵的性质正定矩阵的性质P131 P131 例例1 1学习辅导学习辅导P245P245因因AT=A,BT=B，所以，所以(A+B)T=AT+BT=A+B即即A,B也是实对称矩阵也是实对称矩阵.又，对任意非零列向量又，对任意非零列向量x有有xTAx0，xTBx0证：证：于是于是:xT(A+B)x=xTAx+xTBx0即即xT(A+B)x是正定二次型，故是正定二次型，故 A+B 是正定矩阵是正定矩阵.定理定理9 9 对于对于n元实二次型元实二次型 f xTAx，下列各命题，下列各命题相互等价：相互等价：(1)f 是负定二次型；是负定二
18、次型；(2)f 的负惯性指数为的负惯性指数为n；(3)A的特征值全为负；的特征值全为负；(4)A E；(5)A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正顺序主子式为正.负定二次型的判定负定二次型的判定.例例7 7 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的各阶主子式它的各阶主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例8 8 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，定理定理7例例9 9 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解根据定理根据定理9知，知，f 为负定的为负定的.2.2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)主子式判别法主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法）相应的判别方法.五、小结五、小结(4)(4)标准形判别法标准形判别法.定理定理9定理定理8定理定理7定理定理6返回返回