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1、线性代数习题讲解第六章 二次型一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍二次型二次型定义定义矩阵表示矩阵表示可逆线性变换可逆线性变换标准二次型标准二次型正交变换正交变换配方法配方法正定二次型正定二次型 正定矩阵正定矩阵定义定义判定判定一、要点复习1. 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 定义定义6.1 含有含有 个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数 nnxxx,21nnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf111131132112222222111212222),(称为称为 元元二次型二次型，n用矩阵表示为用矩阵表示为 AXXXfT)(其中向量其中向量 TnxxxX
2、),(21jiijnijaaaA,)(), 2 , 1, (nji ，矩阵，矩阵 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型，并称的二次型，并称 的秩为该的秩为该二次型的秩二次型的秩 .AA)(Xf所以所以 是对称矩阵是对称矩阵， 称为二次型称为二次型 的矩阵，的矩阵， )(XfAA注注 二次型的矩阵要求是对称矩阵.还有正定矩阵也是这样 .称为称为 的标准形或法式的标准形或法式.称这时的标准形为称这时的标准形为 的的规范形规范形，即，即特别地，当标准形中的系数特别地，当标准形中的系数 只取只取1，-1或或0时，时， 只含平方项的二次型只含平方项的二次型 2.2. 二次型的标准形二次型的标准形 2222
3、211)()(nnTTTydydydYACCYAXXXf)(Xf), 2 , 1(nidi)(Xf22122221)(rkkyyyyyXf 二次型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换二次型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换下下 ）.标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩. 3.合同变换合同变换 对于对于 阶方阵阶方阵 ，如果存在可逆方阵，如果存在可逆方阵 ，使，使 则称则称 为合同矩阵或称为合同矩阵或称 与与 合同，变换合同，变换 称称为合同变换，矩阵为合同变换，矩阵 称为合同变换矩阵称为合同变换矩阵. 对任意可逆方阵对任意可逆方阵 ，若
4、，若 对称，则对称，则 也对称且也对称且 用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换把实对称矩阵化为对角矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相实对称矩阵可以用正交的相似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.n,A BCBACCTBA,ABBACCTCCAACCT)()(ACCRART4.化二次型为标准型方法和步骤化二次型为标准型方法和步骤 定理定理 任给实二次型任给实二次型 总有正交变换总有正交变换 使使 化为标准形化为标准形 其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值的特征值. )()
5、(1,jiijjinjiijaaxxaXfPYX （1）用正交变换化二次型为标准形）用正交变换化二次型为标准形 )(Xf2221122( )nnf Yyyyn,21)(XfnijaA)(步骤步骤: :第一步第一步 写出二次型写出二次型 所对应的实对称矩阵所对应的实对称矩阵 ；第二步第二步 求出求出 的所有特征值；的所有特征值；第三步第三步 对对 的每一特征值求出对应的特征向量，把的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化；的特征向量正交化、规范化；第四步第四步 以全体正交规范化向量为列向
6、量构成正交矩以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵阵 ，得正交变换，得正交变换 ；第五步第五步 写出标准形写出标准形 ，其中其中 为为 的特征值，其顺序应和的特征值，其顺序应和 中中的列特征向量顺序相对应的列特征向量顺序相对应. . 以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致本一致. .AA)(XfAPPYX 2222211)(nnyyyYf)1(niiAP(2) (2) 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新方项，即不含交叉
7、项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之和和. .具体做法是：具体做法是：如果二次型中含有某如果二次型中含有某 的平方项，则先把含的平方项，则先把含 的各项集中，按的各项集中，按 配成完全平方，然后按此配成完全平方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个二次型中不含平方项，但有某个 ，则先作一个可逆的线性变换：则先作一个可逆的线性变换： 使二次型出现平方项，再按上面方法配方使二次型出现平方项，再按上面方法配方. . ixixix)( 0jiaijjiky
8、xyyxyyxkkjijjii,5. 5. 惯性定理惯性定理 一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项的项数是确定的（即二次型的秩）的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的（从而负平方项的个数也是不变的）（从而负平方项的个数也是不变的）.6. 6. 正定二次型正定二次型 设有实二次型设有实二次型 ，如果对任，如果对任何何 都都 （ ），则称），则称 为为正定二次型正定二次型，并称对称矩阵，并称对称矩阵 是正定的，记是正定的，记作作
9、；如果对任何；如果对任何 都有都有 则称则称 为为负定二次型负定二次型，并称对称矩阵，并称对称矩阵 是负定是负定的，记作的，记作 . . AXXXfT)(0X0)(Xf0)0(f)(XfA0A0X0)(Xf)(XfA0A判断实二次型正定的充要条件判断实二次型正定的充要条件（1) 1) 实二次型标准形中的个系数全为正；实二次型标准形中的个系数全为正；（2) 2) 实二次型的矩阵的特征值全为正；实二次型的矩阵的特征值全为正；（3) 3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全 大于零大于零. .至于至于 的负定性可通过的负定性可通过 的正定性来的正定性来判断判断. .)(
10、xf)(-xf注注 判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些相对方便些.另要强调的是另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵的大前提下讲的的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误离开了这一点就会犯下列错误: 各阶顺序主子式大于各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵；的矩阵为正定矩阵； 特征值全大于特征值全大于0 的矩阵为正定矩阵；的矩阵为正定矩阵； 对任意对任意 ,使使 的矩阵为正定矩阵的矩阵为正定矩阵.0X 0
11、TX AX 二、作业讲解1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1)(2)(3);4427),(222yzxzxyzyxzyxf22312121321542),(xxxxxxxxxf),(4321xxxxf.46242423241312124232221xxxxxxxxxxxxxxzyxzyxzyxf722211211),(解：(1)321321321002052/222/21),(xxxxxxxxxf4321432143211001231223111211),(xxxxxxxxxxxxf(3) (2) ),(321xxxf322322214332xxxxx2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形
12、：求一个正交变换将下列二次型化成标准形：0)5)(1)(2(320230002EA解：解：112253得得 ，11T）（11-01当当时，特征向量为时，特征向量为22T）（0012当当时，特征向量为时，特征向量为53T）（1103当当时，特征向量为时，特征向量为分析分析 这是本章的一个主要问题，只要按步骤求解即可，这是本章的一个主要问题，只要按步骤求解即可， 关键还是求关键还是求 特征值和特征向量。特征值和特征向量。2102121021-010P取取Pyx 则利用正交变换则利用正交变换23222152yyyf二次型可化为标准型二次型可化为标准型 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：求一
13、个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),(xxxxxxxxxxxxf0)7 ()2(2-4242-22212EA解：解：. .12273得得 ，122T）（1021T）（012-2当当时，特征向量为时，特征向量为，T）（10251e1Te）（452-5312通过施密特正交化得到通过施密特正交化得到， 73T）（11-213当当时，特征向量为时，特征向量为T）（22131e3单位化得单位化得32534513253503153252P取取Pyx 则利用正交变换则利用正交变换232221722yyyf二次型可化为标准型二次型可化为标准型 ),(4321xxxxf
14、43324121242322212222xxxxxxxxxxxx4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：求一个正交变换将下列二次型化成标准形：解：解：0) 3)(1() 1(11011110011110112EA1211334得得 ，121T）（01011T）（10102当当时，特征向量为时，特征向量为，13T）（11113当当时，特征向量为时，特征向量为34T）（11114当当时，特征向量为时，特征向量为212110212101212110212101P取取Pyx 则利用正交变换则利用正交变换24232221y3yyyf二次型可化为标准型二次型可化为标准型 )0(a2332),(3223
15、2221321axxxxxxxxf23222132152),(yyyyyyfa5. 二次型二次型通过正交变换可化为标准形通过正交变换可化为标准形求参数求参数及所用的正交变换矩阵及所用的正交变换矩阵. 3030002aaA112253解：二次型矩阵为解：二次型矩阵为特征值为特征值为，10)9(22aA0a2a故故，又，又，得，得53T）（110311T）（11-0122T）（0012当当时，特征向量为时，特征向量为当当时，特征向量为时，特征向量为当当时，特征向量为时，特征向量为 分析分析 本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形，这等于知道了二次型矩阵本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形
16、，这等于知道了二次型矩阵 的特征值的特征值.2102121021-010P取取Pyx 用正交变换用正交变换23222152yyyf二次型标准型为二次型标准型为 ),(321xxxf32312321222xxxxxx),(321xxxf2322223132312321)222xxxxxxxxxxx（6. 用配方法化用配方法化为规范形，写出所用变换的矩阵为规范形，写出所用变换的矩阵33222131yxxyxyxx323223211yyxyxyyyx由由 得得),(321xxxf232221yyy得二次型的规范型为得二次型的规范型为110010111CCyx 取取C可逆，由变换可逆，由变换分析分析
17、化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求. 若无要求，在变量不多时配方法相对简单些若无要求，在变量不多时配方法相对简单些. 解：解：注注 用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征而特征向量正交、规范化所得的变换是正交变换向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方由于配方的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然所得到的标准形也不
18、唯一所得到的标准形也不唯一. ),(321xxxf312123222122462xxxxxxx424131212423222162421993xxxxxxxxxxxxf4312xx7. 判别下列二次型的正定性：判别下列二次型的正定性：(1)(2)解：（解：（1）分析：判断一二次型或实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件，若是一分析：判断一二次型或实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件，若是一 具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些. 038, 0116112-022-321A，401061112A故负定故负定.(2)故为正定故为正定19
19、631690230311211A06902031211, 023111011321，0244A323121242322214321222)(),(xxxxxxxxxxtxxxxft8. 二次型二次型取何值时是正定二次型？取何值时是正定二次型？0) 2() 1(1000011011011, 0) 2() 1(111111, 0111, 0222ttttttttttttttt二次型正定即要求所有顺序主子式二次型正定即要求所有顺序主子式2t 可得可得时此二次型正定时此二次型正定. 1000011011011ttt解：解： 二次型矩阵为二次型矩阵为AnEA A9. 已知已知为为阶方阵，阶方阵，是正定矩
20、阵，证明是正定矩阵，证明为正定矩阵为正定矩阵.EA EAEAEATTAATA是正定矩阵，所以是正定矩阵，所以所以所以 ，即，即为对称矩阵为对称矩阵.证明：因为证明：因为A1EA 为为的任意一个特征值，则的任意一个特征值，则是是的一个特征值的一个特征值设设EA010A为正定矩阵，所以为正定矩阵，所以从而从而，因此，因此为正定矩阵为正定矩阵. 因为因为分析分析 本题所涉及的是抽象矩阵，根据已知条件，可用特征值证明本题所涉及的是抽象矩阵，根据已知条件，可用特征值证明CACCTxxfAT10. 10. 设设为可逆矩阵，为可逆矩阵，证明，证明为正定二次型为正定二次型)()(TCxCxCxCxfTTTxx
21、 A证明：证明：yx CC0y0)()(yyCxCxfTT令令，因为，因为可逆，可逆，, ,有有从而从而为正定二次型。为正定二次型。 0 x对任意对任意分析分析 本题所涉及的是抽象问题，根据已知条件，可用定义证明。本题所涉及的是抽象问题，根据已知条件，可用定义证明。三、典型例题介绍三、典型例题介绍解解写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例1 1从而得特征值从
22、而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T 得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以将正交向量组单位化，得正交矩阵将正
23、交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 05
24、11 a, 026622522211211aaaa, 080 A.为负定根据定理知 f,402062225 AAnAnBABABT例例4 4 设设为为阶实对称矩阵，试证明：矩阵阶实对称矩阵，试证明：矩阵可逆的充要可逆的充要阶方阵阶方阵，使，使为正定矩阵为正定矩阵.条件是存在条件是存在111)()(AAABTTTAAAT证证 由题设已知由题设已知为实对称矩阵，所以为实对称矩阵，所以()TTTTTTAB B AB AA BAB B AABABT又又即即也为实对称矩阵也为实对称矩阵.IAAAAABABT211所以所以 I2ABABT而而为正定矩阵，故为正定矩阵，故为正定矩阵为正定矩阵.1A1 AB存
25、在，取存在，取（必要性）因（必要性）因（充分性）用两种方法证明：（充分性）用两种方法证明：0X0AX 因此，对任给因此，对任给，恒有，恒有0AX即齐次方程组即齐次方程组只有零解，只有零解，ABABT为正定矩阵，为正定矩阵，方法方法1 如如0X0, 2)()()()()(BXAXAXBXBXAXAXBXABXXXABABXTTTTTTT， 则对任意向量则对任意向量A为满秩矩阵从而可逆为满秩矩阵从而可逆 所以所以0)()()()()(0000000000AXBXBXAXAXBXABXXXABABXTTTTTTTA方法方法2 (反证法反证法) 若若不可逆，不可逆，00X有非零解，即存在向量有非零解，即存在向量00AX，使，使nB从而对任意从而对任意阶方阵阶方阵，有，有 0AX则齐次方程组则齐次方程组nBABABTA 这与存在这与存在阶方阵阶方阵使使为正定矩阵矛盾，故为正定矩阵矛盾，故可逆可逆.nBABABT 这与存在这与存在阶方阵阶方阵使使为正定矩阵矛盾，故为正定矩阵矛盾，故