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1、第六章第六章 二次型二次型在平面解析几何中，在平面解析几何中，为为看清二次曲看清二次曲线线 的形状，可以采用坐的形状，可以采用坐标变换标变换 化二次曲化二次曲线为标线为标准形准形 由此二次曲由此二次曲线线的几何性的几何性质质便一目了然便一目了然.定定义义6.1 二次二次齐齐次多次多项项式式称称为为的一个的一个元二次型，元二次型，实二次型实二次型.简简称二次型称二次型.如果系数如果系数和和变变量量都都为实为实数，数，则则称称为为则则二次型二次型可以表示可以表示为为矩矩阵阵形式：形式：记记以下我们只讨论实二次型以下我们只讨论实二次型.其中其中为对为对称称阵阵.二次型二次型与与对对称称阵阵确立了确立
2、了 1-1 对应对应关系。称二次型关系。称二次型唯一确定的唯一确定的对对称称阵阵为为二次型二次型的矩的矩阵阵.的秩的秩为为二次型二次型的秩的秩.的矩的矩阵阵的秩的秩为为3；称对称阵称对称阵例如，例如，而而对对称称阵阵确定的二次型确定的二次型为为称上述称上述那那样样只含平方只含平方项项的二次型的二次型为为标标准形准形.为标为标准形当且准形当且仅仅当当的矩的矩阵阵为对为对角角阵阵.易见易见和和之之间间的关系式的关系式两组变量两组变量 称称为为从从到到换换.其矩阵形式其矩阵形式的一个线性变的一个线性变其中其中称称为线为线性性变换变换的矩的矩阵阵.若若问题问题：如何用可逆如何用可逆线线性性变换变换 将
3、二次型将二次型 化化为标为标准形准形.线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换.可逆，则称可逆，则称代入代入 后，得后，得将将易易证证仍仍为对为对称称阵阵.二次型二次型为标为标准形当且准形当且仅仅当当 为对为对角角阵阵.一、正交一、正交变换变换法法.正交正交变换变换有比一般可逆有比一般可逆线线性性变换变换更好的性更好的性质质：中的中的正交正交变换变换的内的内积积（因而也（因而也不改不改变变向量的向量的长长度和度和夹夹角）角）.定理定理 6.1 不改变向量不改变向量证证明明 若若为为正交正交阵阵，则线则线性性变换变换称为称为正交变换正交变换.阶矩阵阶矩阵正交正
4、交变换变换把把中的中的标标准正交基准正交基变为变为中的中的标标准正交基准正交基定理定理 6.2 对对于于元元实实二次型二次型存在正交存在正交变换变换可将可将该该二次型化二次型化为标为标准形：准形：其中其中是是对对称称阵阵的特征的特征值值.的列向量的列向量组组是是单单位正交特征位正交特征向量组，且向量组，且例例 6.1 用正交用正交变换变换 化二次型化二次型为标为标准形，并准形，并给给出正交出正交变换变换矩矩阵阵解解 的矩的矩阵为阵为由由对对于于 解解可得可得 它的一个基它的一个基础础解系解系为为：得特征得特征值值 正交化得：正交化得：对对于于解解 它的基它的基础础解系解系为为：令令 即即为为所
5、求正交所求正交变换变换矩矩阵阵.于是正交于是正交变换变换化二次型化二次型为标为标准形：准形：满足满足再将再将单单位化得：位化得：例例 6.2 用正交用正交变换变换 化下列二次型化下列二次型为标为标准形准形,并写出并写出该该正交正交变换变换所所对应对应的正交的正交变换变换矩矩阵阵.解解 的矩的矩阵为阵为由由对对于于 解解它的一个基它的一个基础础解系解系为为：得特征得特征值值对对于于 解解它的一个基它的一个基础础解系解系为为：对对于于解解 它的基它的基础础解系解系为为：令令 即即为为所求正交所求正交变换变换矩矩阵阵.于是正交于是正交变换变换化二次型化二次型为标为标准形：准形：满足满足再将再将单单位
6、化得：位化得：第三第三节节 惯惯性定理性定理 一、一、惯惯性定理性定理实实二次型的二次型的标标准形一般不唯一准形一般不唯一.但若一个但若一个实实二次型二次型经经任意一个可逆任意一个可逆线线性性变换变换 化化为标为标准形准形 后，就有后，就有于是一个于是一个实实二次型二次型 而而对对角角阵阵的秩等于它的主的秩等于它的主对对角角线线上非零元的个数，上非零元的个数，中平方中平方项项的个数就等于的个数就等于故标准形故标准形经经不同可逆不同可逆线线性性变换变换化化为为不同不同标标准形后，准形后，标标准形中所含的平方准形中所含的平方项项个数都等于个数都等于实实二次型二次型的的标标准形中的正平方准形中的正平
7、方项项的的 更更进进一步有：一步有：定理定理 6.3(惯惯性定理性定理)对对于一个于一个元元实实二次型二次型 经经任意一个可逆任意一个可逆线线性性变换变换化化为标为标准形准形后，后，标标准形中正平方准形中正平方项项的个数的个数和和负负平方平方项项的的都是唯一确定的，且都是唯一确定的，且(本定理的本定理的证证明略去明略去).个数个数称称为实为实二次型二次型（或（或）的）的称称为实为实二次型二次型）的）的负惯负惯性指数。性指数。可以写成以下形式的可以写成以下形式的标标准形：准形：个数个数负平方项的个数负平方项的个数正惯性指数正惯性指数,（或（或其中其中进进一步令一步令 则则 可以化可以化为为：形如
8、上式形如上式标标准形称准形称为实为实二次型的二次型的规规范形范形.定理定理 6.4 对对于任一个于任一个 元元实实二次型二次型都可都可经经适当的可逆适当的可逆线线性性变换变换化化为规为规范形：范形：且且规规范形是范形是唯一唯一的的.第四第四节节 正定二次型正定二次型定定义义 6.2（正定性正定性）若若对对任意任意 都有都有元元实实二次型二次型 0(或或0(0)改为改为（半负定）矩阵的定义（半负定）矩阵的定义.例如例如 是正定二次型是正定二次型.是是负负定二次型定二次型.是半正定二次型是半正定二次型.既不是正定既不是正定（或负定）（或负定）二次型，也不是半正定（或半二次型，也不是半正定（或半负负
9、定）定）二次型二次型,称为不定二次型称为不定二次型.由定由定义义易得如下性易得如下性质质：1 实对称阵实对称阵正定当且正定当且仅仅当当负定负定.2 若若实实二次型二次型正定，正定，则则经经任意可逆任意可逆线线性性变换变换后所得的二次型后所得的二次型证证明明 1 显显然然 2 ，则对则对任意可逆任意可逆阵阵有有经经可逆可逆线线性性变换变换后，后，即即 也正定也正定.也正定也正定定理定理 6.5 设设为为 阶实对阶实对称称阵阵，则则以下几个命以下几个命题题等价：等价：正定，或正定，或是正定二次型；是正定二次型；的特征的特征值值全大于零；全大于零；的正的正惯惯性性指数性性指数为为4存在可逆存在可逆阵
10、阵使得使得123证证明明 1 2 2 设设经经正交正交线线性性变换变换化化为标为标准形：准形：其中其中是是的特征的特征值值.令令则则由由 是正定二次型得是正定二次型得23 3 若若 的特征的特征值值全大于零，全大于零，则则经经正交正交线线性性变换变换 化化为标为标准形：准形：34 4 若若 的正的正惯惯性指数性指数为为 则则可可经经适当可逆适当可逆线线性性变换变换化化为规为规范形范形 即存在可逆即存在可逆阵阵因因为为故故的正的正惯惯性性指数性性指数为为使得使得 由此由此 记记则则即即41 1 若若存在可逆存在可逆阵阵 使得使得则对则对 有有 故故即是正定二次型（或是正定二次型（或正定）正定）.定理定理 6.6 实对实对称称阵阵 是它的各是它的各阶顺阶顺序主子式全大于零，即序主子式全大于零，即 正定的充要条件正定的充要条件(称为称为 的的 阶顺序主子阶顺序主子式式.)推推论论 实对实对称称阵阵负负定的充要条件定的充要条件是它的顺序主子式满足：是它的顺序主子式满足：,例例 6.3 判判别别是否正定是否正定.因因为为解解故故 不正定不正定.取何取何值时值时，为为正定二次型？正定二次型？例例 6.4 当当解解 当当且且 且且例例 6.5 若若为为正定正定阵阵，证证明：明：证证明明 因因为为的特征的特征值为值为 而而 A 正定正定,故故 于是于是.时时,即即时时，为正定的为正定的.