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1、6.6 二阶常系数线性微分方程与二阶常系数线性微分方程与Euler方程方程在二阶线性微分方程在二阶线性微分方程非齐次线性微分方程。而称方程非齐次线性微分方程。而称方程（6.49）则称（则称（6.49）为二阶常系数）为二阶常系数（6.50）为与方程（为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。）对应的齐次线性微分方程。6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程形如形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即即特征方程特征方程特征方程特征方程二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为的特征方程为是方程是方程(1)的两个线
2、性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程(1)的的通解为通解为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为的特征方程为由求根公式由求根公式由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通的通解为解为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：是方程是方程(1)的两个线性无关的解，其通解的两个线性无关的解，其通解为为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i。欧拉公式：欧拉公式：由线性方程解的性质：
3、由线性方程解的性质：均为方程均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的：故当特征方程有一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征方程特特 征征 根根通通 解解 形形 式式 例例解解 例例解解 例例解解故所求特解为故所求特解为 例解解此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k）。）。（略）（略）例解解此时弹簧仅受到弹性恢复力此
4、时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k）。）。取取 x 轴如如图所示。轴如如图所示。由力学的虎克定理，有由力学的虎克定理，有（恢复力与运动方向相反恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得它能正确描述它能正确描述我们的问题吗我们的问题吗？记拉长后，突然放手的时刻为记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：我们要找的规律是下列初值问题的解：从而，所求运动规律为从而，所求运动规律为简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动n 阶常系数齐线性微分方程阶
5、常系数齐线性微分方程形如形如的方程，称为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，阶常系数齐线性微分方程，n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项 例例解解例例6.50求下列方程的通解：求下列方程的通解：解解故原方程的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为 二阶常系数非齐线性微分方程二阶常系数非齐线性微分方程形如形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为它对应的齐方程为我们只讨论函数我们只讨论函数 f(x)的几种简单情形下，的几种简单
6、情形下，(2)的的特解。特解。方程方程(2)对应的齐方程对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根 你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？假设方程假设方程有下列形式的特解：有下列形式的特解：则则代入方程代入方程(2)，得得即即方程方程(3)的系数与方程的系数与方程(2)的特征根有关。的特征根有关。由方程由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有及多项式求导的特点可知，应有方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有由
7、多项式求导的特点可知，应有方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有由多项式求导的特点可知，应有方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:定理定理定理定理 1 1当二阶常系数非齐线性方程当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：其中：其中：例例解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 例例解解对应的齐
8、方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得上式即上式即故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 例例解解对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为例例6.54解解代入原方程得代入原方程得所以所以故原方程的通解为故原方程的通解为例例6.55解解根据定理根据定理6.7（P315），原方程的特解由），原方程的特解由代入原方程得代入原方程得故原方程的特解为故原方程的特解为故原方程的通解为故原方程的通解为例例6.56解解代入原
9、方程得代入原方程得于是于是故原方程的通解为故原方程的通解为故原方程满足初始条件的特解为故原方程满足初始条件的特解为欧拉公式：欧拉公式：定理定理定理定理6.86.8的一个特解。的一个特解。例例解解代入上述方程，得代入上述方程，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 例解解代入上述方程，得代入上述方程，得比较系数，得比较系数，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为故故 例例解解由上面两个例题立即可得由上面两个例题立即可得 例解解对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为故原方程的通解为故原方程的通
10、解为例例6.59解解原方程可化为原方程可化为两端对两端对x 求导得求导得整理得整理得两端再对两端再对x 求导得求导得此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为特征方程为特征方程为故齐次方程通解为故齐次方程通解为故，自由项为故，自由项为1 时原方程的特解可设为时原方程的特解可设为代入原方程得代入原方程得由此得由此得注意到由方程（注意到由方程（5-69）、（）、（5-70）有）有所以有所以有解之得解之得5.5.3 欧拉方程（欧拉方程（略略）形如形如的方程，称为的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中阶欧拉方程，其中关于变量关于变量 t 的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程。引入算子记号：引入算子记号：由数学归纳法可以证明：由数学归纳法可以证明：例解解这是三阶欧拉方程，这是三阶欧拉方程，作代数运算后，得作代数运算后，得即即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且方程方程(1)对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为为方程为方程(1)特解形式，代入方程特解形式，代入方程(1)中，得中，得从而从而故原欧拉方程的通解为故原欧拉方程的通解为