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1、n阶阶线性线性常系数微分方程的标准形式常系数微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式9-5 二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程 1.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程常系数 齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第十二章-特征方程法特征方程法故有故有特征方程特征方程特征根特征根二阶线性常系数齐次方程的解法二阶线性常系数齐次方程的解法(9.70)和它的导数只差常数因子,代入(9.70)得所以令方程的解为(为待定常数),(1)有
2、两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根为特征根为方程的两个解方程的两个解线性无关线性无关得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为(2)有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为可得方程的一个解可得方程的一个解,可验证可验证 也是方程的一个解也是方程的一个解.带入带入(9.70),得得00这说明 是方程（9.70）的一个解.又因为（不为常数），（不为常数），线性无关线性无关.方程的两个解方程的两个解线性无关线性无关得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为或或例例1的通解.解解 特征方程特征根:因此原方程的通解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为(3)有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为
3、是方程的两个解是方程的两个解也是方程的解也是方程的解线性无关线性无关.例例 2 求下列微分方程的通解：解解（1）特征方程为特征根:因而方程有两个线性无关的特解方程的通解为（2）特征方程为特征根:因而方程有两个线性无关的特解方程的通解为 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式)sincos(21xCxCeyxb bb ba a+=实根实根21 实根实根21=复根复根（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求
4、出特征根;n阶常系数线性齐次方程解法阶常系数线性齐次方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项注意注意 n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一个根都对而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.例例 3 求 的通解.解解特征方程为易看出 是一个特征根，于是利用多项式除法可得特征根:因此原方程的通解为例例4.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解2.若干特殊线性常系数非齐次微分方程的特解若干特殊线性常系数非齐
5、次微分方程的特解 根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程非齐次方程特解特解齐次方程齐次方程通解通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法 为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,为为 n 次多项式次多项式.(1)注：注：(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,代入原方程代入原方程,得得(*)由于 是一个n次多项式，要使（*）的两端恒等可令Q(x)为另一个n次多项式 ：其中 为待定系数.代入（*）比
6、较两端(*)(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,即即那么(*)成为(*)x的同次幂的系数，就得到n+1个方程联立的方程组，从而确定(n+1)个待定常数 ,所求特解为要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式，令 用同样的方法确定 的系数.(*)3.如果是特征方程的重根,即那么(*)成为(*)要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式.令用同样的方法确定系数.结论：结论：在（在（1）中，若）中，若则（则（1）具有形如）具有形如的特解，其中的特解，其中 与与 同次，同次，k按按 不是特征根、是不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取特征单根、是特征重根依次取 0、1或或2.特别是特解
7、 补例补例 求 y-2y-3y=3x+1 的一个特解.解解 对应的齐次方程为 y-2y-3y=0,其特征方程为 这里=0不是特征根，应设特解为 y*=b0 x+b1 .代入方程，-3b0 x-2b0-3b1=3x+1 ,比较x同次幂系数，得 -3b0=3,-2b0-3b1=1.于是特解为求得求得例例4 求方程 的通解.解解对应的齐次方程为特征方程：特征根：齐次方程的通解：这里=0不是特征根，应设特解为 代入方程得比较x同次幂系数得：于是特解为原方程的的通解为例例5 求 的通解.解解对应的齐次方程的特征根为“5”不是特征根，所以设方程有特解代入微分方程得求得故得特解于是微分方程的通解补例 解方程
8、特征方程：代入原方程，得解解齐次方程：特征根：齐次方程的通解因为 为 特征方程的单根，故设特解原方程的的通解为补例补例 求方程 y -5y+6y=的通解.解解 对应的齐次方程为y -5y+6y=0,特征方程为特征根为齐次方程的通解为由于=2是特征单根，故应设特解代入方程，得比较x同次幂系数得解得于是特解为通解为 （2）其中a,b中可以一个等于0，设想方程(1)有如下形式的特解：其中A，B 待定.代入(1),整理得由于函数组 线性无关，上式两端与 的系数应相等，即有其中A，B 为未知数.由线性代数的理论知，上式方程组有惟一解的充要条件是其系数行列式（1）当 与 不同时为零(这等价于 不是方程的特
9、征根）时 (9.82)有唯一解，记作A*，B*.这时方程（1）有特解（11）当 与 同时为零(这等价于 是方程的特特征根）时,由方程组（）无法确定A与B.这时，设方程(1)有下列形式的特解其中常数A，B待定.将上式代入(1)(注意注意 ）由此得其系数行列式 所以此方程有惟一解A*，B*，这时就是(1)的一个特解.例例6 求方程的通解.解解对应的齐次方程为特征方程为特征根为由于 不是特征根，所以设特解为齐次方程的通解为代入方程得比较系数得解得 A=1,B=3.特解为通解为 若若 (当当 =常数，常数，时，时，即情况即情况(3)的型的型.也可作类似的讨论，并可得类似的结论也可作类似的讨论，并可得类
10、似的结论.现将不同的非齐次项现将不同的非齐次项f(x)所对应的特解列表如下：所对应的特解列表如下：f(x)的形式的形式 条件条件 特解的形式特解的形式“0”不是特征根不是特征根“0”是单特征根是单特征根“0”是重特征根是重特征根 不是特征根不是特征根 是单特征根是单特征根 是重特征根是重特征根 不是特征根不是特征根 是是特征根特征根 不是特征根不是特征根 是单特征根是单特征根 是重特征根是重特征根 不是特征根不是特征根 是是特征根特征根例例 7 求微分方程的一个特解.解解分别求出方程与的特解.由于 不是方程(9.84)对应的齐次方程的特征根，而方程(9.84)得右端是形式，故设(9.84)的特
11、解为代入方程(9.84)得比较系数得解得所以方程(9.84)有特解方程(9.85)，其右端是 形式，是方程(9.85)特征根，故设(9.84)的特解为代入方程(9.85)得由此推出所以方程(9.85)有特解故方程(9.83)有特解习题习题 9-5 1.（1）(3)(5);2.3.(1),(3),(5),(6);4.(1),(3),(5).例例9 求方程的通解.解解对应的齐次方程为特征方程为特征根为齐次方程的通解为由于 是方程的特征根，故设特解为代入原方程可定出A，B.请自己完成.补例补例解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列
12、高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式)sincos(21xCxCeyxb bb ba a+=实根实根21 实根实根21=复根复根（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(一一)二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;内容小结内容小结参阅参阅(二二)n阶常系数线性齐次方程解法阶常系数线性齐次方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项注意注意 n次代数方程有次代
13、数方程有n个根个根,而特征方程的每一个根都对而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.参阅参阅(三三)线性常系数非齐次微分方程的特解线性常系数非齐次微分方程的特解 根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法其中为其中为 次多项式，而次多项式，而 按按不是或者是特征方程的根依次取或不是或者是特征方程的根依次取或3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为参阅参阅