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1、高等院校非数学类本科数学课程第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常
2、系数非齐线性微分方 程的解法.第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， qp、其中其中 得得的解，则代入方程后，的解，则代入方程后，假设方程有形如假设方程有形
3、如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp ) 121，则，则实根实根特征方程有两个不同的特征方程有两个不同的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为的通解为 22122111。yCeCyCyCyx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp )221，则，则实重根实重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的一个解。的一个解。是方程是方程
4、此时，此时，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为的通解为 )(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp3) 特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根： i i21，则，则， )i(2)i(121xxxxeeyeey，是
5、方程是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为的两个线性无关的解，其通解为 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式：欧拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx由线性方程解的性质：由线性方程解的性质： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均为方程均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的： 0sin cos。，xexeWxx故当特征方程有一
6、对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根 i i21，时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为 )sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根xxeCeCy2121)( 21实重根实重根)(211xCCeyx)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解为所求通解为xxeCeCy 例解解 052 的通解。的
7、通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解为所求通解为xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22满足初始条件的解：满足初始条件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根 ) ( 21。所求通解为所求通解为tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由初始条件由初始条件CCtsstt故所求特解为故所求特解为 ) 24(。test 例解解 的弹簧从静止状态的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为用手将悬挂着的质量为
8、m此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹 O 0时，时，的位移为的位移为当点当点xx 突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。O 例解解 的弹簧从静止状态的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为用手将悬挂着的质量为 m此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹 O 0时，时，的位移为的位移为当点当点xx 突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。O0 xx取取 x
9、 轴如如图所示。轴如如图所示。由力学的虎克定理，有由力学的虎克定理，有 。xkf（ 恢复力与运动方向相反恢复力与运动方向相反 ）由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得 dd22。xktxm 2，则有，则有移项，并记移项，并记mka )0( 0 dd222。，axatx它能正确描述它能正确描述我们的问题吗？我们的问题吗？ 0 ，则有初始条件：，则有初始条件：t记拉长后，突然放手的时刻为记拉长后，突然放手的时刻为 00 ，初始位移初始位移xxt 0 dd 0 。初始速度初始速度ttx我们要找的规律是下列初值问题的解：我们要找的规律是下列初值问题的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0
10、dd 0 ttx 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特征方程特征方程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所求通解为所求通解为taCtaCy 0100 ；，得，得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt从而，所求运动规律为从而，所求运动规律为 ) ( cos0。，mkataxx二、二、n 阶常系数齐线性微分方程阶常系数齐线性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常数。常数。实实为为的方程，称为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程
11、，阶常系数齐线性微分方程， , 1npp 其中其中n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 单实根单实根xCe 1 项项 实重根实重根k)( 121kkxxCxCCek项项 一对共轭复根一对共轭复根)sincos( 221xCxCex项项 011 1 nnnnpppi 2, 1 重复根重复根一对共轭一对共轭 ki 2, 1 2 项项k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项 例解解 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy 0133 23，特征方
12、程特征方程 1 321，特征根特征根 ) ( 2321。所求通解为所求通解为xCxCCeyx 例解解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程 )0( 0dd444。，x试求此方程的通解。试求此方程的通解。 0 44，特征方程特征方程 i)1 (2 i)1 (2 432, 1，特征根特征根， 所求通解为所求通解为 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex 2)(2222244三、二阶常系数非齐线性微分方程三、二阶常系数非齐线性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数非
13、齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， qp、其中其中它对应的齐方程为它对应的齐方程为) 1 ( 0 。 yqypy我们只讨论函数我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，的几种简单情形下，(2) 的特解。的特解。常系数非齐线性微分方程算子解法常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：参考书：常微分方程讲义常微分方程讲义王柔怀王柔怀 伍卓群伍卓群 编编人民教育出版社人民教育出版社)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的情形的情形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 对应的齐方程对应的齐
14、方程 (1) 的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为 0 2；特征方程特征方程qp 21。，特征根特征根单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根假设方程假设方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx则则 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系数与方程的系数与方程 (2) 的特征根有关。的特征根有关。)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun
15、) 1 (不是特征根，则不是特征根，则若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有及多项式求导的特点可知，应有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的特征根时，的特征根时，不是方程不是方程中的中的故当故当xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是单特征根，则是单特征根，则若若 02，qp由多项式求导的特点可知，应有由多项式求导的特点可知，应有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的单特征根时，的单特征根时，是方程是方程中的中的
16、故当故当xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 为为。此时，方程。此时，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，则是二重特征根，则若若 02，qp由多项式求导的特点可知，应有由多项式求导的特点可知，应有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根时，的二重特征根时，是方程是方程中的中的故当故当xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的
17、特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 为为。此时，方程。此时，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx当二阶常系数非齐线性方程当二阶常系数非齐线性方程)2( )( xfyqypy )()( 时，时，的右端为的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xPexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根时，取不是特征根时，取当当k 1 ；是单特征根时，取是单特征根时，取当当k 2 。是二重特征根时，取是二重特征根时，取当当k :。可以为复数可以为复数注意注意 例解解
18、2。的通解的通解求方程求方程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为 012，特征根为特征根为 i2, 1。对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby将它代入原方程，得将它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为 2*2。xxy综上所述
19、，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 2sincos*221。xxxCxCyyy 例解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为 0322，特征根为特征根为 1 321。，对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是单特征根，故取是单特征根，故取由于由于k *0，bexyx将它代入原方程，得将它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb上式即上式即 140， b 410，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为
20、 41*。xexy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 41*231。xxxexeCeCyyy 例解解 1332 。的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 231。xxeCeCy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 3141*231。xexeCeCyyyxxx)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx )( 1110。其中其中nnnnnax
21、axaxaxP)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的情形的情形、xxPexfxxPexfnxnx欧拉公式：欧拉公式： sinicosi。e是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。 )( 1是方程是方程的一个特解，则的一个特解，则xy )( 2是方程是方程的一个特解；的一个特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 实部实部 *mI 2yy 虚部虚部 cos)( xxPeyqypynx sin)( xxPey
22、qypynx )( )i(xPeyqypynx )(*)i(xQexynxk*Re*1yy*Im*2yy i不是特征根，不是特征根， 0 ；取取k i是特征根，是特征根， 1 ；取取k 例解解 cos 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即有，即有beexbxbbxx从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 sin21)cosisin
23、(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy 例解解 sin 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xxyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xbbxb比较系数，得比较系数，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 )cossin()cossin(41 Im22xxxxxxxxxexyyi2)414i
24、( Im*Im*故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx 例解解 sincos 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xxxyy 由上面两个例题立即可得由上面两个例题立即可得)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx 例解解 sin2 )4(的通解。的通解。求方程求方程xyyy 012 24，特征方程特征方程)( i i 4, 32, 1二重共轭复根二重共轭复根，特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 sin)(cos)(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有特解有特解由于方
25、程由于方程xeyyy ) 2 ( *i20。二重根，取二重根，取，kexbyx将它代入此方程中，得将它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 sin81*Im*21，xxyy故原方程的通解为故原方程的通解为 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy我想，我想， 你一定会做这种推广工作。你一定会做这种推广工作。四、欧拉方程四、欧拉方程形如形如 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn的方程，称为的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中阶欧拉方程，其中 ) , 2 , 1 ( 为常数。为常数。nipi
26、tex 令令关于变量关于变量 t 的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程 。引入算子记号：引入算子记号： ddkkktyyDkkktD dd ) , 2 , 1 (。k ，则有，则有令令tex dd1dddddd，tyxxttyxyy dddd1dd22222， tytyxxyy dd2dd3dd1dd2233333， tytytyxxyyyDyxyDDyx) 1(2 yDDDyx)2)(1(3 由数学归纳法可以证明：由数学归纳法可以证明： ) 1()2)(1()(。ynDDDDyxnn 例解解 34 223的通解。的通解。求方程求方程xyxyxyx 这是三阶欧拉方程，这是三阶欧拉方程， ，
27、原方程化为，原方程化为令令tex 34) 1()2)(1( 2，teDyyDDyDDD作代数运算后，得作代数运算后，得 322 223，teDyyDyD即即 (1) 3dd3dd2dd 22233，tetytyty这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且 032 23，特征方程特征方程 , 3 1 0 321，特征根特征根方程方程 (1) 对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 33 21。tteCeCCy 2 0 2 3)( 2特征根，故特征根，故不是不是，且，且，由于由于netftteby 20*为方程为方程 (1) 特解形式，代入方程特解形式，代入方程 (1) 中，得中，得 )688 ( 2 2000，tteebbb从而从而 21* 21 20。，teyb故原欧拉方程的通解为故原欧拉方程的通解为ttteeCeCCyyy 2 33 2121* 21123321。xxCxCC