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1、第七节第七节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义定义 n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式2、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特
2、征方程特征根特征根(1)特征方程特征方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解为两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为(2)特征方程特征方程有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为(3)特征方程特征方程有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:可得可得得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程 求通解的一般步骤求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程:(2)求出特征根求出特征根:
3、(3)根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3例例4 4 求解初值问题求解初值问题解解 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为特征方程
4、为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2 解解 特征方程：特征方程：特征根特征根:原方程通解原方程通解:思考与练习思考与练习求方程求方程的的通解通解.答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解=对应齐次
5、线性微分方程的通解对应齐次线性微分方程的通解 +非齐次线性微分方程的一个特解非齐次线性微分方程的一个特解二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构f(x)常见类型常见类型难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.1、f(x)=Pm(x)e x 型型设设方程方程特解为特解为其中其中 Q(x)为为待定多项式待定多项式 ,代入原代入原方程方程,得得 从而得到特解形式为从而得到特解形式为(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是
6、是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为即即即即综上可得：综上可得：(Page291)可设特解形式为可设特解形式为 不是特征方程的不是特征方程的根根 是特征方程的是特征方程的单根单根 是特征方程的是特征方程的二重根二重根注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.解解故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为特征方程为特征方程为其特征根为其特征根为代入原方程代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为例例1 1对应齐次方程为对应齐次方程为解解故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为特征方程为特征方程为其
7、特征根为其特征根为代入原方程代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为例例2 2对应齐次方程为对应齐次方程为例例3 3解解特征方程为特征方程为特征根为特征根为故对应齐次方程的通解为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为对应齐次方程为代入原方程代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为2、f(x)=e xPl(x)cos x+Pn(x)sin x型型利用欧拉公式利用欧拉公式求如下两方程的特解：求如下两方程的特解：Page 293注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微阶常系数非齐次线性微分方程分方程.的通解
8、的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的为特征方程的根根,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为例例1 1解解对应齐次方程为对应齐次方程为例例2 2特征方程为特征方程为对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为特征根为特征根为提示提示 对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为原方程通解为原方程通解为例例3 3例例4 4解解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为特征根为特征根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设
9、原方程的特解为设原方程的特解为故原方程的通解为故原方程的通解为例例5 53、小结、小结二阶常系数非齐次微分方程特解形式：二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法待定系数法)练习练习写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解解三、二阶常系数线性微分方程应用举例三、二阶常系数线性微分方程应用举例1、建立微分方程的基本条件、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理要熟悉与问题有关的各种定律、原理.2、建立微分方程及求解的注意点、建立微分方程及求解的注意点1)如果问题要求如果问题要求“运动规律运动规律”、“变化规律变化规律”等，等，2)则需要用微分方程来解决问题则需要用微分方程来解决问题.这时应根据这时应根据3)问题的特征利用已知定律来建立微分方程或问题的特征利用已知定律来建立微分方程或4)用微元法导出微分方程用微元法导出微分方程.2)根据问题给出的特定时刻或位置的信息根据问题给出的特定时刻或位置的信息,写写 出定解条件或确定解中的积分常数、比例出定解条件或确定解中的积分常数、比例 系数等系数等.3)要注意单位的统一要注意单位的统一.