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1、二阶常系数线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 第十章 证毕是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构:是二阶线性齐次方程的两个解,是该方程的通解.定理定理2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 不为常数，二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1.当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r 为待定常数),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回
2、结束 2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解
3、为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束 1、为实数,其特解形如(1)若 不是特征方程的根,取为 m 次多项式.为 m 次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)若 是特征方程的单根,(3)若 是特征方程的重根,取取例例3.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 其特解形如其中 和 为 次多项式，不是特征方程的根，取机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、而 的取值如下：是特征方程的根，取例例5.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.的通解.