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1、21.2.3 求求二次函数的解析式二次函数的解析式1 1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx+c0经过点（经过点（-1,01,0），则），则_经过点（经过点（0,-3），则），则_经过点（经过点（4,5,5），则），则_对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_当当x=1=1时，时，y=0=0，则，则a+b+c=_ab2-=1a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（顶点坐标是（-3,4-3,4），），则则h=_,k=_，-3a（x+3）2+442 2、已知抛物线、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_代入得代入得y=_代入得代入得y=_h=1a（x
2、-1）2+k抛物线解析式抛物线解析式抛物线与抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标(x1,0),(,0),(x2,0),0)-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）(x1,0),(,0),(x2,0),0)y=a(x_)()(x_)（a0 0）交点式交点式y=a(x-1)(1)(x-3)3)（a0 0）y=a(x-2)()(x+1)（a0 0）y=a(x+4)()(x+6)（a0 0）已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或
3、对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式二次二次函数常用的几种解析式函数常用的几种解析式一般式一般式 y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a0)用待定系数法用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原例例1.已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与
4、与x轴交于轴交于A(-1,10），），B(1，4)，（，（2，7）三点，求抛物线的解析式？）三点，求抛物线的解析式？解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 yax2bxc由条件得：由条件得：10=a-b+c4=a+b+c4a+2b+c=7得：得：a2 b=-3 c=5故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2x23x+5练习练习1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），），（3，0），（），（1，-5），求函数解析式。），求函数解析式。解法一解法一 设所求二次函数解析式为：设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（又抛
5、物线过点（-1，0），（），（3，0），（），（1，-5），依题意得），依题意得 a b+c=0 9a+3b+c=0 a+b+c=-5 解得 所求的函数解析式为 。练习练习2：已知二次函数的图像过（已知二次函数的图像过（-1，2），（），（0，1），（），（2，-7）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点a-b+c=2c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1解之得例例2 根据二次函数的顶点坐标为（根据二次函数的顶点坐标为（-2，3），且过），且过点（点（-1，5），求函数解析式。），求函数解析式。
6、解：有题意可知设函数解析式为解：有题意可知设函数解析式为y=a(x+h)+k顶点坐标为（顶点坐标为（-2，3）y=a(x+h)+k 即即y=a(x+2)+3(a0)把点（把点（-1，5）的坐标代入）的坐标代入y=a(x+2)+3(a0)可得：可得：a=2即即y=2(x+2)+3(a0)练习练习3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k顶点是（1，2）设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1 y=(x-1)2+2，即y=x2-
7、2x+3 已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(-1,0），），B(3，0)，并且过点，并且过点C(0,-3)，求抛物线的，求抛物线的解析式？解析式？解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x3）由条件得：由条件得：点点C(0,-3)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(01)(03)3得：得：a1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=(x1)(x3)即：即：y=x22x3例例3练习练习4：已知一抛物线与：已知一抛物线与x轴的交点轴的交点A（-2，0），），B（1，0）且经过点且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式）求该抛物线的解析式
8、 （2）求该抛物线的顶点坐标）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）例例4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为的对称轴为x=3，最小值为最小值为2，且过（，且过（0，1），求此函数的），求此函数的解析式解析式。解：有题意可知设函数解析式为解：有题意可知设函数解析式为y=a(x-3)-2函数过点（函数过点（0，1
9、）1=a(0-3)-2 a=y=(x-3)-2解：解：根据题意得顶点为根据题意得顶点为(1,4)由条件得与由条件得与x轴交点坐标轴交点坐标(2,0)；(-4,0）例例5（如图所示）已知当（如图所示）已知当x1时，抛物线最高点的纵坐标为时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与且与x轴两交点之间的距离为轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式，求此函数解析式yox设二次函数解析式：设二次函数解析式：ya(x-2)(X+4)故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=(x1)24把（把（-1，4）代入）代入ya(x-2)(X+4)得得 a1 用待定系数法确定二次函数解析式的基本方用待定系数法确定二次函
10、数解析式的基本方法分四步完成：法分四步完成：一一设设、二、二代代、三、三解解、四还、四还原原一设一设:指先设出二次函数的解析式指先设出二次函数的解析式二代二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于解析式，得到关于a、b、c的方程组的方程组三解三解:指解此方程或方程组指解此方程或方程组四还原四还原:指将求出的指将求出的a、b、c还原回原解析式中还原回原解析式中 小小 结结2已知图象上已知图象上三点或三对的对应值，通的对应值，通常选择常选择一般式一般式3已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择通常选择顶点式顶点式4已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择，通常选择交点式交点式