随机信号分析课件.ppt

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1、随机信号分析1/108第第2 2章章 随机信号随机信号22.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录32.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性 2.1.1 概念与定义概念与定义1.典型典型例子例子（1）贝努里实验贝努里实验:其样本空间只有其样本空间只有两个两个样本点，即样本点，即只有两个可能结果只有两个可能结果:A 和和 。在在掷币实验掷币实验中，贝努里随机变量中，贝努里随机变量 可以表示为可以表示

2、为:4有概率有概率若若重复重复在在t=n(n=1,2,)时刻上，时刻上，独立独立进行相进行相 同的掷币实验同的掷币实验,构成一随机变量构成一随机变量序列序列n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105则有则有 其概率其概率 6n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10所有随机变量序列的集合就是随机信号。所有随机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为每一个随机变量序列称为一个样本一个样本，也叫也叫一个实现一个实现。7（2）时间连续时间连续的的随机现象随机现象 观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。观察电阻上的噪声电压，可能

3、有不同的波形。每一个波形称为每一个波形称为样本函数样本函数，也叫，也叫一个实现一个实现。所有波形的集合就是随机信号。所有波形的集合就是随机信号。82.随机信号的随机信号的定义定义定义定义:设随机实验的样本空间设随机实验的样本空间 ，对于空间，对于空间 的每一个样本的每一个样本 ，总有一个，总有一个时间函数时间函数 与之对应与之对应 ,对于空间的所有样对于空间的所有样 本本 ，可有，可有一族一族时间函数时间函数 与之与之 对应，这族时间函数称为对应，这族时间函数称为随机信号随机信号。定义定义:设设 是随机实验是随机实验E E的样本空间，若的样本空间，若对于每对于每 个样本点个样本点 ,都有都有唯

4、一唯一的的实数实数 与之对应与之对应,且对于任意实数且对于任意实数 ，都有确定，都有确定 的的概率概率与之对应，则称与之对应，则称 为为随机变量随机变量。93.随机信号的随机信号的表征表征(数学模型数学模型)（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量 随机信号随机信号可视为许多可视为许多随机变量随机变量的的集合集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t1,)X(t2,)X(tn,)X(t,)t10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011（2）随机信号随机信号可视为所有可视为所有

5、样本函数样本函数的的集合集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)t12n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013（3）当时刻当时刻 t 与样本与样本 都固定时，随机信号是都固定时，随机信号是 一个实数，称之为一个实数，称之为状态状态；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tt1n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1014（4）当时刻）当时刻 t 与样本与样本 都发生变化时，就构成随都发生变化时，就构成随 机信号的完整概念。机信号的完整概念。X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4

6、)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10154.随机信号随机信号的的分类分类及及举例举例（1）时间离散、取值离散时间离散、取值离散 D.R.Seq.例例：贝努里贝努里r.s.n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1016例例：一脉冲信号发生器传送的信号：一脉冲信号发生器传送的信号（2）时间连续、取值离散时间连续、取值离散 D.R.P.17（3）时间连续、取值连续时间连续、取值连续 C.R.P.例例：正弦型信号：正弦型信号18（4）时间离散、取值连续时间离散、取值连续 C.R.Seq.例例：每隔单位时间对噪声电压抽样：每隔单位时间对噪声电压抽样n02 1 2 3 4

7、5192.1.2 基本概率特性基本概率特性1.1.例子例子2021222.一阶（维）概率分布和密度函数一阶（维）概率分布和密度函数一阶概率分布函数一阶概率分布函数定义：定义：一阶概率密度函数一阶概率密度函数定义：定义：23txf fX X(x x;t;t)242125联合密度函数：联合密度函数：联合分布函数联合分布函数：离散离散型二维随机向量的概率特性型二维随机向量的概率特性26273.二阶（维）概率分布和密度函数二阶（维）概率分布和密度函数二阶概率分布函数二阶概率分布函数定义：定义：二阶概率密度函数二阶概率密度函数定义：定义：4.分析随机过程分析随机过程本质上本质上就是分析相应的随机变量就是

8、分析相应的随机变量 282.1.3基本数字特征基本数字特征任取任取t时，随机变量时，随机变量X(t)的的统计平均统计平均，定义为，定义为t1t2t31.1.随机信号的随机信号的均值均值t429对对R.Seq.:30例：求随机过程正弦波例：求随机过程正弦波 的数学期的数学期望，方差及自相关函数。式中，望，方差及自相关函数。式中，为常数，是为常数，是区间区间0，上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。解：由题可知：解：由题可知：（1）同理同理31（2）可知可知 32（3）332.随机信号的随机信号的自相关函数自相关函数 任取任取 时，两个随机变量时，两个随机变量 的相的相 关矩，定义为关矩，定

9、义为 C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理可同理写出。写出。34自相关函数自相关函数的性质：的性质：（1）相关相关的概念表征了随机信号在的概念表征了随机信号在两时刻两时刻之间之间 的的关联程度关联程度；（2）同一时刻同一时刻之间的之间的相关性相关性大于等于大于等于不同时刻不同时刻 之间的之间的相关性相关性；（3）实际中的）实际中的大多数大多数随机信号，当随机信号，当两观察时刻两观察时刻 越远越远，相应随机变量的，相应随机变量的相关性相关性通常通常越弱越弱；（4）自相关函数自相关函数具有具有功率功率的的量纲量纲。353.随机信号的随机信号的协方差函数协方差函数与与方差函数方差函数(1)协方差

10、函数协方差函数 任取任取 时，两个随机变量时，两个随机变量 的的联联联联合合中心矩，定义为中心矩，定义为C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。可同理写出。36当当 时，协方差函数时，协方差函数退化退化为方差函数为方差函数(2)方差函数方差函数C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。可同理写出。37X(t)的的均方差均方差（或（或标准差标准差）函数为）函数为384.相关系数相关系数 类似类似于于随机变量随机变量的相关系数，定义为的相关系数，定义为同样，同样，有关系式有关系式：当当 时，时，392.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3

11、 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录402.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.2.1 随机正弦信号随机正弦信号 电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收正弦振荡信号，它本质上都是随机的。正弦振荡信号，它本质上都是随机的。部分或全部是部分或全部是随机变量随机变量。4142随机相位信号（随机相位信号（随相信号随相信号）：）：讨论讨论随相信号随相信号X(t)的的基本特性基本特性：1.均值均值432.自相关函数自相关函数4445都服从都服从都服从都服

12、从一维高斯分布一维高斯分布一维高斯分布一维高斯分布：4.一阶概率密度函数一阶概率密度函数462.2.2 伯努利伯努利随机随机序列序列47nX（n,n）01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X（9，）nX（n,1）01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数字通信中，串行传输的二进制比特流是数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。481.均值均值2.自相关函数自相关函数 讨论讨论伯努利伯努利随机随机序列序列X(n)的的基本特性基本特性：493.一阶概率密度函数一阶概率密度函数502.2.3 半随机二进制

13、传输信号半随机二进制传输信号 51ttt52DD1 1DD2 2DD3 3ttt531.均值均值 ，讨论讨论半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号 X(t)的的基本特性基本特性：542.自相关函数自相关函数令令令令 若位于若位于若位于若位于同一时隙同一时隙同一时隙同一时隙 ，有，有，有，有 ，若位于若位于若位于若位于不同时隙不同时隙不同时隙不同时隙 ，有，有，有，有 ,合并两种情况，有合并两种情况，有合并两种情况，有合并两种情况，有则则则则则则则则55当当当当 ，有有有有563.一阶密度函数一阶密度函数 57随机信号还可以分为：随机信号还可以分为：随机信号还可以分为：随机信号还可以分为：n

14、n可预测随机信号可预测随机信号可预测随机信号可预测随机信号（或称（或称（或称（或称确定的随机信号确定的随机信号确定的随机信号确定的随机信号）：）：）：）：信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。n n不可预测随机信号不可预测随机信号不可预测随机信号不可预测随机信号（或称（或称（或称（或称不确定的随机信号不确定的随机信号

15、不确定的随机信号不确定的随机信号）：）：）：）：信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。582.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号

16、独立信号目目 录录592.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算 1.n n维概率分布与密度函数维概率分布与密度函数 n个随机变量个随机变量 的的n n维维联合概联合概 率率分布分布函数为：函数为：2.3.1 n阶概率特性阶概率特性t1t2t3tnX(tX(t)t t60则称则称 为其为其n n维维概率概率密度密度函数。函数。如果存在如果存在 ，使，使 2.n n维维特征函数特征函数任取任取 与与611.随机信号的随机信号的nm维维联合概率分布和密度函数联合概率分布和密度函数 两个不同两个不同r.s.X(t)与与Y(t)之间的之间的联联合合概率特性。概率特性。对随机信号对随机信号X(

17、t)任取任取 时，获得时，获得n个个随机变量随机变量 ;2.3.2 联合特性联合特性 对随机信号对随机信号Y(t)任取任取 时，获得时，获得m个个随机变量随机变量 。62t1t2t3tnX(tX(t)t ts1s2s3smY(tY(t)t t63定义定义n nmm维维联合概率联合概率分布分布函数为函数为:定义定义n nmm维维联合概率联合概率密度密度函数为函数为:642.随机信号的随机信号的互相关函数互相关函数与与互协方差函数互协方差函数 两个不同随机信号两个不同随机信号X(t)与与Y(t)的的联合联合矩特性矩特性 互相关函数互相关函数定义为定义为:互协方差函数互协方差函数定义为定义为:65互

18、相关系数互相关系数定义为定义为:66673.两个随机信号两个随机信号正交正交、线性无关线性无关与与统计独立统计独立(1)正交正交:对于任意时刻对于任意时刻 ,都都有有 则称则称X(t)与与Y(t)正交。正交。(2)线性无关线性无关:对于任意时刻对于任意时刻 ,都有都有 则称则称X(t)与与Y(t)线性无关。线性无关。68（3）统计独立统计独立:对于对于X(t)和和Y(t)的任一组随机的任一组随机 变量变量,都有都有则称则称X(t)与与Y(t)彼此统计独立。彼此统计独立。两个随机信号的两个随机信号的正交正交、线性无关线性无关与与统计独立统计独立三者三者关系关系与两个随机变量间的完全与两个随机变量

19、间的完全相同相同。69 统计统计独立性，独立性，线性无关线性无关性和正交性性和正交性的的关系关系 1.两个两个随机信号随机信号统计独立统计独立，它们必然是，它们必然是线性无关线性无关的的；2.两个两个随机信号随机信号线性无关线性无关，不一定不一定互相互相独立独立；3.在两个随机信号中在两个随机信号中任一均值为零任一均值为零时，时，线性无关线性无关 性性与与正交性正交性是等价的；是等价的；4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零不为零 时，它们时，它们不是线性无关不是线性无关的，也的，也不是相互正交不是相互正交的。的。70(a)一般情况下一般情况下 统统

20、 计计 独独 立立线线 性性无无 关关 相相 互互 正正 交交 任一随机信号任一随机信号 均值为零均值为零71 当当 和和 均为均为高斯随机信号高斯随机信号时时:统计独立性统计独立性和和线性无关性线性无关性是等价的；是等价的；(b)高斯随机信号高斯随机信号 线线 性性 无无 关关 统统 计计 独独 立立 进一步，且有进一步，且有一个均值为零一个均值为零时时:独立性独立性、线性无关性线性无关性和和正交性正交性三者是等价的。三者是等价的。(c)高斯随机信号，且高斯随机信号，且 有一个均值为零有一个均值为零 线线 性性 无无 关关 统统 计计 独独 立立 相相 互互 正正 交交72若若X(t)与与Y

21、(t)正交正交，则，则若若X(t)与与Y(t)无关无关，则，则解解:732.3.3 相关函数与协方差函数的性质相关函数与协方差函数的性质性质性质1 1 ：随机信号随机信号X(t)的自相关函数等满足的自相关函数等满足 （1）对称性对称性（2）均方值为非负实数均方值为非负实数（3）方差为非负实数方差为非负实数（4）74（2）（3）对信号进行对信号进行中心化中心化与与归一化归一化处理，则有处理，则有性质性质2 2：随机信号随机信号X(t)与与Y(t)的的联合矩联合矩特性满足特性满足 （1）对称性对称性7576772.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.

22、3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录782.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.4.1 多维高斯分布多维高斯分布一维高斯分布一维高斯分布记为 1.一维与二维高斯分布一维与二维高斯分布79一维高斯分布的一维高斯分布的特征函数特征函数为为80二维高斯分布二维高斯分布记为记为 81二维高斯分布的二维高斯分布的特征函数特征函数为为822.4.3 高斯随机信号高斯随机信号1.定义定义若若对任意正整数对任意正整数及及，元随机元随机的联合分布为的联合分布为高斯分布，则称高

23、斯分布，则称 该信号为该信号为高斯信号高斯信号（或（或正态正态变量变量维维 信号信号）。）。832.高斯随机信号的高斯随机信号的概率特性概率特性与与数字特征数字特征均值均值函数：函数：自相关自相关函数：函数：协方差协方差函数：函数：方差方差函数：函数：记为记为 84概率密度概率密度函数：函数：特征特征函数：函数：一阶一阶85（1）所有所有分布分布由其由其和决定；决定；（2）经过）经过线性变换线性变换(或线性系统或线性系统)后仍然是高后仍然是高 斯信号；斯信号；（3）它是独立信号的它是独立信号的充要条件充要条件是是3.高斯随机信号的性质高斯随机信号的性质862.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录872.5 2.5 独立信号独立信号 1.定义定义 指它自身的任意随机变量之间指它自身的任意随机变量之间彼此统计独立彼此统计独立。2.概率特性概率特性 其其n维概率维概率分布分布(或密度、特征或密度、特征)函数满足：函数满足：88自相关自相关函数：函数：协方差协方差函数：函数：自相关系数自相关系数：3.数字特征数字特征 均值均值函数：函数：方差方差函数：函数：89