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1、随机信号分析第6讲 哈尔滨工程大学信息与通信工程学院叶方1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随随机机现现象象随随机机变变量量分分布布函函数数数数字字特特征征各各 阶阶 矩矩描述统计规律分布函数某些特性决定数字特征问题：问题：1、随着、随着阶数的增加阶数的增加，如何简化矩计算中用分布函数求积分复杂，如何简化矩计算中用分布函数求积分复杂的过程。的过程。2、对于多个独立的随机变量，求其和的分布复杂，如何简化。、对于多个独立的随机变量，求其和的分布复杂，如何简化。1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数一、特征函数定义一、特征函数定义（是X的函数的数学期望）二、特征函数与分布函数关系二、特
2、征函数与分布函数关系看作傅氏变换对，一一对应（注意正、负号与傅氏变换相反）逆转公式1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数三、特征函数性质三、特征函数性质（1）（2）（3）相互独立的随机变量之和的特征函数，等于各个随机相互独立的随机变量之和的特征函数，等于各个随机变量特征函数之积。变量特征函数之积。1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数四、特征函数四、特征函数与矩函数与矩函数关系关系1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数五、多维随机变量联合特征函数五、多维随机变量联合特征函数1、两个随机变量X 和Y 的联合特征函数注意：针对几个随机变量的联合特征函数，就有几个自变量看作二维傅立
3、叶变换1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数五、多维随机变量联合特征函数五、多维随机变量联合特征函数2、当X、Y 相互独立时注意区别：注意区别：一维特征函数一维特征函数二维联合特征函数二维联合特征函数3、边沿分布1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数五、多维随机变量联合特征函数五、多维随机变量联合特征函数3、N个随机变量的联合特征函数（1）（2）注意区别：注意区别：一维特征函数一维特征函数N 维维联合特征函数联合特征函数1.8 高斯随机变量高斯随机变量一、高斯随机变量一、高斯随机变量一维概率密度函数一维概率密度函数f x 0,1,()f x 0,0.5,()0.2f x 0,2,(
4、)4202400.40.655-xf x 1,0.5,()1.8 高斯随机变量高斯随机变量二、性质二、性质1.正态随机变量经线性变换后仍服从正态分布。正态随机变量经线性变换后仍服从正态分布。1.8 高斯随机变量高斯随机变量二、性质二、性质1.8 高斯随机变量高斯随机变量二、性质二、性质5.平面平面直角坐标上构成一点的两个相互独立的直角坐标上构成一点的两个相互独立的标准正标准正态态随机变量，变换为极坐标后，模服从瑞利随机变量，变换为极坐标后，模服从瑞利分布分布，相位服，相位服从均匀分布，且模和相位相互独立。从均匀分布，且模和相位相互独立。1.8 高斯随机变量高斯随机变量二、性质二、性质6.两两个
5、相互独立的正态随机变量，经过坐标旋转个相互独立的正态随机变量，经过坐标旋转，可变成，可变成 两两个彼此相关的正态随机变量。个彼此相关的正态随机变量。两个彼此相关的正态随机变量，借助坐标两个彼此相关的正态随机变量，借助坐标旋转某旋转某一角度一角度，可可变成两个相互独立的正态变成两个相互独立的正态随机变量随机变量。1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛一、切比雪夫一、切比雪夫不等式不等式数学期望数学期望随机变量随机变量任意正数任意正数方差方差意义：给出了随机变量X 分布未知的情况下，任意随机变量与其 数学期望的偏差落在某一区域以外的概率。任何随机变量与其数学期望的偏差落在其3倍标准差以外的概率，不会
6、超过 1/9。1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛二、中心极限定理二、中心极限定理说明：一般情况下，不同分布律的随机变量之和趋向高斯分布的速度是不同的。在工程上，如果不是某个或某些变量对和的贡献很大，710 个变量之 和的分布可认为服从正态分布。1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛随机变量是随机试验的结果，当随机试验样本空间的所有元随机变量是随机试验的结果，当随机试验样本空间的所有元素对应的一族序列都收敛，称随素对应的一族序列都收敛，称随 机变量序列机变量序列处处收敛处处收敛2.随机变量的处处收敛随机变量的处处收敛1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛2.常用意义
7、上的弱收敛常用意义上的弱收敛 准处处收敛准处处收敛 （almost-everywhere,a.e.收敛）收敛）表示方法表示方法1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛2.常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 均方收敛均方收敛 （mean-square,m.s.收敛）收敛）表示方法表示方法1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛2.常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 依概率收敛依概率收敛 （probability,p收敛）收敛）表示方法表示方法1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛2.常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 分布收敛分布收敛 （distribution,d收敛）收敛）表示方法表示方法1.9 极限定理与收敛极限定理与收敛三、收敛三、收敛2.常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛