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1、4.3 4.3 线性方程组的解线性方程组的解 一、矩阵的秩与线性方程组的解一、矩阵的秩与线性方程组的解 二、齐次线性方程组解的结构二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构系数矩阵系数矩阵 A增广矩阵增广矩阵 解向量：解向量：满足方程组的一组值满足方程组的一组值mn 型型方程组方程组一、矩阵的秩与线性方程组的解一、矩阵的秩与线性方程组的解定理定理定理定理1 1 mm n n 型型型型方程组方程组方程组方程组 AX=b AX=b 有解有解有解有解的的的的充要充要充要充要条件是条件是条件是条件是注注注注 (1)(1)齐次方程组总是有解的（总有零解）；齐次方
2、程组总是有解的（总有零解）；齐次方程组总是有解的（总有零解）；齐次方程组总是有解的（总有零解）；(2)(2)系数矩阵的秩小于等于增广矩阵的秩。系数矩阵的秩小于等于增广矩阵的秩。系数矩阵的秩小于等于增广矩阵的秩。系数矩阵的秩小于等于增广矩阵的秩。如果如果 AX=b 有解有解，向量向量b b为向量组为向量组的线性组合的线性组合,向量组向量组b b,与向量组与向量组的秩相等的秩相等即即对非齐次方程组证明定理对非齐次方程组证明定理1 1：令令反之反之,如果如果向量向量b b为向量组为向量组的线的线方程组方程组 AX=b 有解有解 。则向量组则向量组与向量组与向量组的秩相等的秩相等 性组合性组合 定理定
3、理定理定理2 2 mm n n 型型型型方程组方程组方程组方程组 AX=bAX=b，若若即即 应用应用Gauss消元法的思想消元法的思想，对一个方程组做初等对一个方程组做初等变换就相当于对其增广矩阵做初等变换就相当于对其增广矩阵做初等行行变换变换。例例1 设有线性方程组设有线性方程组解：解：其解可表为：其解可表为：线性无关线性无关这时又分两种情形：这时又分两种情形：对齐次线性方程组对齐次线性方程组因为因为增广矩阵增广矩阵总有总有，所以齐次方程组一定有解。，所以齐次方程组一定有解。设设有有无穷多解无穷多解仅有零解仅有零解，则，则例例4 4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解得同解的方程组得
4、同解的方程组线性无关线性无关（一）、解的性质（一）、解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明二、齐次线性方程组解的结构二、齐次线性方程组解的结构（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）记
5、为记为:（二）、（二）、基础解系基础解系基础解系的定义：基础解系的定义：可见基础解系即为解空间的一个基。可见基础解系即为解空间的一个基。定理：定理：设设是是矩阵，如果矩阵，如果则则齐次线性方程组齐次线性方程组的解空间的解空间N(A)的维数的维数证明：若证明：若得同解的方程组得同解的方程组线性无关。线性无关。向向量量组组说明：说明：解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础系，的基础系，则其则其通解通解为为 齐次线性方程组解的齐次线性方程组解的结构结构例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的的基础解系与通解基础
6、解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为作初等行变换，变为行最简矩行最简矩阵阵，有，有例例2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为（三三）利用线性方程组讨论矩阵的秩利用线性方程组讨论矩阵的秩通常借助于齐次线性方程组的基础解系通常借助于齐次线性方程组的基础解系包含解向量的个数来解决包含解向量的个数来解决.例例3 3 设设证证即即量的个数不多于
7、量的个数不多于n-r个个，例例4 4证证明明：只证只证Ax=0与与0是同解方程组即可是同解方程组即可.证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构证明证明证毕证毕非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为的通解为其中其中 为对应齐次为对应齐次组的通解组的通解 ，为非齐次线性方程组的为非齐次线性方程组的任意任意一个特解一个特解.解解例例1 1 求下述方程组的解求下述方程组的解所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组求齐次方程基础解
8、系：求齐次方程基础解系：令令依次解得依次解得求特解求特解所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系另一种解法另一种解法则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等行变换（）利用初等行变换（Gauss消元法）消元法）特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法无解无解 有有 解解 唯一解唯一解无穷多解无穷多解唯一零解唯一零解无穷多解无穷多解小结：线性方程组的解