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1、4.2 行列式的定义 设含有两个未知数，两个方程的线性方设含有两个未知数，两个方程的线性方程组的一般形式为程组的一般形式为方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解 三阶行列式 设含有3 3个未知数，3 3个方程的线性
2、方程组的一般形式为当当D=时，方程组有唯一解于是有以下定义定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式注意注意 红线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一
3、项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:三三 n阶行列式的定义阶行列式的定义 问题问题 前面通过前面通
4、过2 2，3 3阶行列式给出了其对应阶行列式给出了其对应方程组的解方程组的解 。那么，对。那么，对n个未知数个未知数,n个方程的线个方程的线性方程组是否有类似求解公式呢性方程组是否有类似求解公式呢?下面分析下面分析3 3阶行列式的展开式阶行列式的展开式三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的
5、逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列n阶行列式的定义例例5 5计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例6 6 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例7同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例8 8 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕