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1、第第 4 4 章章线性代数问题的计算机求解问题的计算机求解n n薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题的薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题的MATLAB求解，清华大学出版社求解，清华大学出版社2004n nCAI课件开发：刘莹莹、薛定宇课件开发：刘莹莹、薛定宇1/28/20231高等应用数学问题的 MATLAB 求解主要内容主要内容n n特殊矩阵的输入n n矩阵基本分析n n矩阵的基本变换n n矩阵方程的计算机求解n n非线性运算与矩阵函数求值n n本章要点简介n n习题1/28/20232高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1 4.1 特殊矩阵的输入特殊矩阵的输入n n数值矩阵的输入数值矩阵的
2、输入n n符号矩阵的输入符号矩阵的输入1/28/20233高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1 4.1.1 数值矩阵的输入数值矩阵的输入4.1.1.1 4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵零矩阵、幺矩阵及单位矩阵1/28/20234高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-14-1】1/28/20235高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.2 4.1.1.2 随机元素矩阵随机元素矩阵1/28/20236高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.3 4.1.1.3 对角元素矩阵对角元素矩阵1/28/20237高等应用数学问题的 MATLAB 求
3、解【例【例【例【例4-24-24-24-2】1/28/20238高等应用数学问题的 MATLAB 求解生成三对角矩阵生成三对角矩阵生成三对角矩阵生成三对角矩阵:1/28/20239高等应用数学问题的 MATLAB 求解构造块对角矩阵：构造块对角矩阵：构造块对角矩阵：构造块对角矩阵：1/28/202310高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.4 Hankel 4.1.1.4 Hankel 矩阵矩阵1/28/202311高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-34-34-34-3】1/28/202312高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.5 Hilber
4、t4.1.1.5 Hilbert矩阵及逆矩阵及逆HilbertHilbert矩阵矩阵1/28/202313高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202314高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.6 Vandermonde 4.1.1.6 Vandermonde 矩阵矩阵1/28/202315高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-44-4】1/28/202316高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.1.7 4.1.1.7 伴随矩阵伴随矩阵1/28/202317高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-54-5】1/28/20231
5、8高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.1.2 4.1.2 符号矩阵的输入符号矩阵的输入1/28/202319高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202320高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-64-64-64-6】1/28/202321高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202322高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202323高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2 4.2 矩阵基本分析矩阵基本分析n n矩阵基本概念与性质矩阵基本概念与性质n n逆矩阵与广义逆矩阵逆矩阵与广义逆矩阵n n矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题1/
6、28/202324高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1 4.2.1 矩阵基本概念与性质矩阵基本概念与性质4.2.1.1 4.2.1.1 行列式行列式1/28/202325高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-74-74-74-7】1/28/202326高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-84-8】1/28/202327高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1.2 4.2.1.2 矩阵的迹矩阵的迹1/28/202328高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1.3 4.2.1.3 矩阵的秩矩阵的秩1/28/202329高等应用数
7、学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-94-94-94-9】1/28/202330高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-104-104-104-10】1/28/202331高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1.4 4.2.1.4 矩阵范数矩阵范数1/28/202332高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202333高等应用数学问题的 MATLAB 求解矩阵的范数定义：矩阵的范数定义：矩阵的范数定义：矩阵的范数定义：1/28/202334高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202335高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28
8、/202336高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1.5 4.2.1.5 特征多项式特征多项式1/28/202337高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-114-114-114-11】1/28/202338高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202339高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202340高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202341高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-124-124-124-12】1/28/202342高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.1.6 4.2.1.6 矩阵
9、多项式的求解矩阵多项式的求解1/28/202343高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202344高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202345高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-134-13】1/28/202346高等应用数学问题的 MATLAB 求解符号多项式与数值多项式的转换符号多项式与数值多项式的转换1/28/202347高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-144-144-144-14】1/28/202348高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.2 4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵逆矩阵与广义逆矩阵4.2.2.
10、1 4.2.2.1 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵1/28/202349高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-154-154-154-15】1/28/202350高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202351高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202352高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202353高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-164-164-164-16】1/28/202354高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-174-174-174-17】1/28/202355高等应用数学问题的 MA
11、TLAB 求解4.2.2.2 4.2.2.2 矩阵的广义逆矩阵的广义逆1/28/202356高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202357高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-184-184-184-18】1/28/202358高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202359高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-194-194-194-19】1/28/202360高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202361高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.3 4.2.3 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题4.2.3.1
12、 4.2.3.1 一般矩阵的特征值与特征向量一般矩阵的特征值与特征向量1/28/202362高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-204-20】1/28/202363高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202364高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.2.3.2 4.2.3.2 矩阵的广义特征向量问题矩阵的广义特征向量问题1/28/202365高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-214-214-214-21】1/28/202366高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202367高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3 4
13、.3 矩阵的基本变换矩阵的基本变换n n矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换与正交矩阵n n矩阵的三角分解和矩阵的三角分解和CholeskyCholesky分解分解n n矩阵的矩阵的JordanJordan变换变换n n矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解1/28/202368高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.1 4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换与正交矩阵1/28/202369高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-224-224-224-22】1/28/202370高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-234-234-234-
14、23】1/28/202371高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.2 4.3.2 矩阵的三角分解和矩阵的三角分解和CholeskyCholesky分解分解4.3.2.1 4.3.2.1 一般矩阵的三角分解一般矩阵的三角分解1/28/202372高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202373高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202374高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202375高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-244-244-244-24】1/28/202376高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.2.2 4.
15、3.2.2 对称矩阵的三角分解对称矩阵的三角分解-Cholesky Cholesky 分解分解1/28/202377高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202378高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-254-254-254-25】1/28/202379高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.2.3 4.3.2.3 正定、正规矩阵的定义与判定正定、正规矩阵的定义与判定1/28/202380高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202381高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-264-264-264-26】1/28/202382
16、高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.3 4.3.3 矩阵的矩阵的Jordan Jordan 变换变换【例【例【例【例4-274-274-274-27】1/28/202383高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202384高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202385高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-284-284-284-28】1/28/202386高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-294-294-294-29】1/28/202387高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.3.4 4.3.4 矩阵的奇异值分解
17、矩阵的奇异值分解1/28/202388高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-304-304-304-30】1/28/202389高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202390高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202391高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-314-314-314-31】1/28/202392高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-324-324-324-32】1/28/202393高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4 4.4 矩阵方程的计算机求解矩阵方程的计算机求解n n线性方程组的
18、计算机求解线性方程组的计算机求解n nLyapunovLyapunov方程的计算机求解方程的计算机求解n nSylvesterSylvester方程的计算机求解方程的计算机求解n nRiccatiRiccati方程的计算机求解方程的计算机求解1/28/202394高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.1 4.4.1 线性方程组的计算机求解线性方程组的计算机求解1/28/202395高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202396高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-334-334-334-33】1/28/202397高等应用数学问题的 MATLAB 求解
19、1/28/202398高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/202399高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023100高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-344-344-344-34】1/28/2023101高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023102高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023103高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023104高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023105高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023106高等应用数学问题的 MATLAB
20、求解【例【例【例【例4-354-354-354-35】1/28/2023107高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.2 Lyapunov4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解方程的计算机求解4.4.2.1 4.4.2.1 连续连续LyapunovLyapunov方程方程1/28/2023108高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-364-364-364-36】1/28/2023109高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.2.2 Lyapunov 4.4.2.2 Lyapunov 方程的解析解方程的解析解1/28/2023110高等应用数学问题的 MAT
21、LAB 求解【例【例【例【例4-374-374-374-37】1/28/2023111高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-384-384-384-38】1/28/2023112高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.2.3 4.4.2.3 离散离散LyapunovLyapunov方程方程1/28/2023113高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-394-394-394-39】1/28/2023114高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.3 Sylvester4.4.3 Sylvester方程的计算机求解方程的计算机求解1/28/2023
22、115高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023116高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023117高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-404-404-404-40】1/28/2023118高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023119高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-414-414-414-41】1/28/2023120高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-424-424-424-42】1/28/2023121高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.4.4 Riccati4.4.
23、4 Riccati方程的计算机求解方程的计算机求解1/28/2023122高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-434-434-434-43】1/28/2023123高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.5 4.5 非线性运算与矩阵函数求值非线性运算与矩阵函数求值n n面向矩阵元素的非线性运算面向矩阵元素的非线性运算n n矩阵函数求值矩阵函数求值1/28/2023124高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.5.1 4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算面向矩阵元素的非线性运算1/28/2023125高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-444-44
24、4-444-44】1/28/2023126高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.5.2 4.5.2 矩阵函数求值矩阵函数求值4.5.2.1 4.5.2.1 矩阵指数的运算矩阵指数的运算,19种数值方法1/28/2023127高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023128高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023129高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023130高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-454-454-454-45】1/28/2023131高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023132高等应用数学
25、问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-464-464-464-46】1/28/2023133高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023134高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.5.2.2 4.5.2.2 矩阵的三角函数运算矩阵的三角函数运算1/28/2023135高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-474-474-474-47】1/28/2023136高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023137高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-484-484-484-48】1/28/2023138高等应用数学问题的 M
26、ATLAB 求解1/28/2023139高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-494-494-494-49】1/28/2023140高等应用数学问题的 MATLAB 求解【例【例【例【例4-504-504-504-50】1/28/2023141高等应用数学问题的 MATLAB 求解4.5.2.3 4.5.2.3 一般矩阵函数的运算一般矩阵函数的运算1/28/2023142高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023143高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023144高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023145高等应用数学问题的
27、MATLAB 求解【例【例【例【例4-514-514-514-51】1/28/2023146高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023147高等应用数学问题的 MATLAB 求解本章要点简介本章要点简介n n函数一览表1/28/2023148高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023149高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023150高等应用数学问题的 MATLAB 求解1/28/2023151高等应用数学问题的 MATLAB 求解n n本章介绍了零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、随机数本章介绍了零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、随机数矩阵、对角矩阵等特殊矩阵的矩阵
28、、对角矩阵等特殊矩阵的 MATLAB MATLAB 函数，并函数，并介绍用介绍用 MATLAB MATLAB 语言的符号运算工具箱语句编写语言的符号运算工具箱语句编写输出符号矩阵的方法。输出符号矩阵的方法。1/28/2023152高等应用数学问题的 MATLAB 求解n n可以利用 MATLAB 语句对给定矩阵进行数值解与解析解分析，如计算矩阵的行列式、迹、秩、范数、特征多项式、逆矩阵和广义逆矩阵、特征值与特征向量等。n n本章还介绍了矩阵的分解方法，如 LU 分解、正交分解、对称矩阵的 Cholesky 分解、Jordan 分解、奇异值分解等，介绍利用 MATLAB 语言直接对矩阵分解的数值
29、解和解析解方法。1/28/2023153高等应用数学问题的 MATLAB 求解n n本章分析了线性代数方程可解的条件，分别对唯一解、无穷解和无解等问题进行处理，给出了基于 MATLAB 语言的无穷解的基础解系与通解求取方法，还介绍了无解方程的最小二乘求解方法等。n n分析了连续、离散 Lyapunov 方程及Sylvester 方程的数值解法和基于 Kronecker 乘积的解析解算法，并给出了解析解函数实现。还研究了基于MATLAB语言的二次型 Riccatti 方程的数值解法。1/28/2023154高等应用数学问题的 MATLAB 求解n n引入了逐点函数求值和矩阵函数求值的概念，并对指数函数、三角函数等矩阵函数求值给出了基于 MATLAB 语言的解析解、数值解方法，并给出了基于 Jordan 分解的矩阵一般矩阵函数求值方法和 MATLAB 程序，可以推出诸如 型的任意矩阵函数求值 MATLAB 解析程序，理论上可以求解任意复杂的矩阵函数求值问题。1/28/2023155高等应用数学问题的 MATLAB 求解