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1、理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较大，比如受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的，但其中可能有一部分水泥板的承受力在承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足以上，而另一部分的承受力不足200kg这批水泥板的承受力与平均值这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则
2、会发生质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量对于随机变量X，虽然量，虽然量E|X E(X)|能度量能度量X与其均与其均值值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量了运算方便，通常使用量 来度量来度量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率
3、论与数理统计引例引例 甲、乙两射手各打了甲、乙两射手各打了6 发子弹发子弹,每发每发子弹击中的环数分别为：子弹击中的环数分别为：甲甲 10,7,9,8,10,6,乙乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先比较平均环数E(甲甲)=8.3,E(乙乙)=8.3有有五五个个不不同同数数有有四四个个不不同同数数理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计再比较稳定程度再比较稳定程度甲甲：乙乙：乙比甲技术稳
4、定，故乙技术较好乙比甲技术稳定，故乙技术较好.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计进一步比较进一步比较平均平均偏离平均值的程度偏离平均值的程度甲乙 E X-E(X)2理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定义定义 设设X是随机变量，是随机变量，若若E X E(X)2 存在存在,则称其则称其为为 X 的的方差方
5、差,记为记为Var(X)或或 Var(X)(deviation variance)称称为为 X 的的均方差均方差或或标准差标准差.方差概念方差概念 即即 Var(X)=E X E(X)2 两者量纲相同两者量纲相同 Var(X)描述描述 r.v.X 的取值偏离平均值的取值偏离平均值 的平均偏离程度的平均偏离程度 数值数值理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计若若 X 为离散型为离散型 r.v.，分布律为，分布律为若若 X 为连续型为连续型r.v.，概率密
6、度为，概率密度为 f(x)理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例1 1 设设 X 的概率密度如下，的概率密度如下，求求 Var(X)解解 由方差的定义知由方差的定义知理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例2 2 设设 X N(,2),求求 Var(X)解解 由方差的定义知由方差的定义知令令那么那么理学院
7、University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 方差的计算方差的计算计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：证明：因为证明：因为Var(X)=E X E(X)2 (由由r.v.函数的数学期望函数的数学期望)=E X2 2E(X)X+E(X)2 =E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)E(X)2理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理
8、工大学概率论与数理统计例例3设随机变量设随机变量X具有期望具有期望E(X)=，标准差，标准差(X)=，记记求证求证 E(X*)=0,Var(X)=1.证明证明 由数学期望的性质，得由数学期望的性质，得理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计标准化变量标准化变量设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X)、方差、方差Var(X)都存在都存在,且且Var(X)0,则称则称为为 X 的的标准化变量标准化变量.那么那么理学院University of Shan
9、ghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例4 设设X P(),求求Var(X).解一解一理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计解二解二所以所以理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例6 6 设设X服从参数为服
10、从参数为 的指数分布的指数分布，求，求Var(X).解解 因为因为E(X)=1/.E2(X)=1/2故故理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布p(1 p)B(n,p)np(1 p)P()理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学
11、概率论与数理统计分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上上的均匀分布的均匀分布Exp()N(,2)理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计1.Var(C)=02.Var(aX)=a2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)方差的性质方差的性质3.对任意常数对任意常数C,Var(X)E(X C)2,当且仅当当且仅当 C=E(X)时等号成立时等号成立4.Var(X)=0 P X=E(X)=1称为称为X 依概率依概率 1 等于常数等于常数
12、E(X)理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例6 设随机变量设随机变量X具有概率密度函数具有概率密度函数 求求E(6X 2)和和 Var(6X 2)解：首先计算解：首先计算X的数学期望的数学期望于是于是理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计又 从而 利用方差的性质，得理学院University of Sha
13、nghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差并不能确定其分布的期望与方差并不能确定其分布P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例7 7 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,Var(X)=
14、3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.解解 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时,若知道其期望和方若知道其期望和方差差,便常能确定分布便常能确定分布.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计理学院University of Shanghai for Science and
15、 TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计3.3分位数分位数理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定义定义3.3.1设设X是连续随机变量，是连续随机变量，0p1若实数若实数 xp满足满足 F(xp)=PX xp=p则称则称xp是是X（或（或X服从的分布）的服从的分布）的p分位数分位数或或p分位点当分位点当 p=0.5时，称时，称x0.5为为X的的中位数中位数若用若用X的概率密度函数的概率密度函数
16、f(x)来表达，则有来表达，则有理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计若若XN(,2)，如图下所示，阴影部分面积为，如图下所示，阴影部分面积为 f(x)xppxO O理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例3.3.1设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 求求X的的0.90分位数分位数 x0.
17、90解解X的分布函数的分布函数 由由解得解得 x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计对于标准正态分布对于标准正态分布XN(0,1)，常用，常用up表示其表示其p分位数根分位数根据其概率密度函数的对称性易知据其概率密度函数的对称性易知 up=u1 p，见下图，见下图 x(x)Ou1 puppp标准正态分布的分位数标准正态分布的分位数up和和u1 p理学院University of Shanghai f
18、or Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计下面列出了几个常用的标准正态分布的下面列出了几个常用的标准正态分布的p分位数分位数up的值的值 它的中位数是它的中位数是0p0.0010.0050.0100.0250.0500.1000.500up 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.2820p0.9000.9250.9500.9750.9900.9950.999up1.2821.4391.6451.9602.3262.5763.090标准正态分布的标准正态分布的p分位数分位数 p分位数表
19、是分位数表是教材中给出标准正态分布表的逆运算教材中给出标准正态分布表的逆运算。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队领取登机牌，若要求场排队领取登机牌，若要求95%的旅客能在的旅客能在15分分钟内领到，那么，钟内领到，那么，15就是旅客排队时间（单位为就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量分钟）这一随机变量X的的0.95分位数分位数x0.95；又如，在生产车间机器
20、设备发生故障需要维修，又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求若要求90%的故障在的故障在30分钟内完成维修，那么，分钟内完成维修，那么，30就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量X的的0.90分位数分位数x0.90 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 与数学期望一样，中位数也是描述随机变量与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征在实际中，中位数也常用例如，的位置特征在实际中，中位数也常用例如，
21、假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是金的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于业生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外元，另外将近半数人月薪金则不低于将近半数人月薪金则不低于2100元元 与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质它没有象数学期望那样好的运算性质理学院University of Shanghai for Sci
22、ence and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计众数众数定义定义 设离散随机变量设离散随机变量X 的分布律为的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,3,.若存在实数若存在实数x*,使得对每个使得对每个k=1,2,3,有有PX=x P X=xk,则称则称x*为为X(或或X 服从的分布服从的分布)的众数的众数.(2)设连续随机变量设连续随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为f(x),若存在实若存在实数数x*,使得对一切使得对一切xR 有有f(x*)f(x),则称则称x*为为X(或或X 服从的分布服从的分布)的众数的众数.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计作业 P82 习题3.2 1，2，3，4理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例5 5 已知已知X,Y 相互独立相互独立,且都服从且都服从 N(0,0.5),求求 E(|X Y|).解解故故xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！