《概率论与数理统计第三章ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第三章ppt课件.ppt（111页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1概率论与数理统计福建师范大学福清分校数计系福建师范大学福清分校数计系2第三章 多维随机变量及其分布第1讲31 二维随机变量4在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样本空间S=e=某地区的全部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量.5一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S=e, 设
2、X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维随机变量.SeX(e)Y(e)6定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二元函数:,)()(),(yYxXPyYxXPyxF记成称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.(x,y)xyO7易知, 随机点(X,Y)落在矩形域x1Xx2, y1Yy2的概率为Px1Xx2, y1x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x, 当y2y1时F(x,y2)F(x,y1).2, 0F(x,y)1, 且对于任意固定的y, F(-,y)=0,
3、 对于任意固定的x, F(x,-)=0,F(-,-)=0, F(+, +)=1.3, F(x,y)关于x和关于y都右连续.4, 任给(x1,y1),(x2,y2), x1x2, y1y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)091(X,Y)是二维离散型的随机变量是二维离散型的随机变量如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型的随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj), i,j=1,2,.,记PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,., 则由概率的定义有. 1, 0
4、11ijijijpp10称PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,.,为二维离散型随机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律.也可用表格表示X和Y的联合分布律:Y Xx1x2.xi.y1p11p21.pi1.y2p12p22.pi2.yjp1jp2j.pij.11例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律.解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知X=i,Y=j的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i的正整数, 且., 4 , 3 , 2 , 1,141|,ijiii
5、XjYPiXPjYiXP12于是(X,Y)的分布律为., 4 , 3 , 2 , 1,141|,ijiiiXjYPiXPjYiXPY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1613将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为)2 . 1 (,),(xxyyijijpyxF其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的. 补充例题: 求例1中随机变量X和Y的联合分布函数.解:由例1 所求的随机变量X和Y的联合分布律得随机变量X和Y的联合分布函数为:140111214332843281 1422 41
6、6,432 41 842 441242343444xyxyxyxyxyFXYxyxxyxyxyxy当或当 1且当 2且 1当 2且当 3且 1当 3且 2当 3且 y32 5当且4 83 8当且4 84 5当且4 81当且15二二. (X,Y)是二维连续型的随机变量是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有,dd),(),( -yxvuvufyxF则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.16按定义,
7、概率密度f(x,y)具有以下性质:1, f(x,y)0. 1dd),(, 2 -yxyxf)3 . 1 (.dd),(),(GyxyxfGYXP3, 设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内的概率为4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有).,(),(2yxfyxyxF17由性质4, 在f(x,y)的连续点处有).,(),(),(),(),(),(1lim,lim20000yxfyxyxFyxFyyxFyxxFyyxxFyxyxyyYyxxXxPyxyx-18这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很小时PxXx+Dx, y2)维随机变量的情况. 一般, 设E
8、是一个随机变量, 它的样本空间是S=e, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1,X2,.,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.任给n个实数x1,x2,.,xn, n元函数F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn称为n维随机变量(X1,X2,.,Xn的分布函数或联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.232 边缘分布24二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 具有分布函数F(x,y). 而X和Y都是随机变量, 分别也有分布函数, 将它们分别记为FX(x),FY(y),
9、依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)所确定, 事实上, FX(x)=PXx=PXx, Y0,20, |0, 考虑在事件Y=yj条件下事件X=xi发生的概率, 也就是求条件概率PX=xi|Y=yj, i=1,2,.38由条件概率公式, 可得, 2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji. 1|, 2; 0|, 111jjijijijijippppyYxXPyYxXP易知上述条件概率具有分布律的性质:39定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的j, 若PY=yj0, 则称) 1 . 3(,
10、2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji)2 . 3(, 2 , 1,|jppxXyYPiijij为在Y=yj条件下的随机变量X的条件分布律.同样, 对于固定的i, 若PX=xi0, 则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律40例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道工序是由机器人完成的. 其一是紧固3只螺栓, 其二是焊接2处焊点. 以X表示螺栓紧固得不良的数目,Y表示焊接点不良数目. 已知(X,Y)的分布律:Y X0123PY=j00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.
11、0010.020PX=i0.9100.0450.0320.0131.000(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律;(2)求在Y=0的条件下, X的条件分布律.41解Y X0123PY=j00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.0010.020PX=i0.9100.0450.0320.0131.000Y=k012PY=k|X=16/92/91/9X=k0123PX=k|Y=084/903/902/901/9042例2 一射手进行射击, 击中目标的概率为p (0p1), 射击直至击中目标两次为止
12、. 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y表示总共进行的射击次数, 试求X和Y的联合分布律及条件分布律.222(1).nnppqqqp qqp- - 个这里解 按题意Y=n表示在第n次射击时击中目标, 且在第1次,第2次,.,第n-1次射击中恰有一次击中目标. 已知各次射击是相互独立的, 于是不管m(m0, 如Py0,)3 . 3(d)(),()(d),(d)(dd),(,|-xYYxyyYxyyuyfyufyfuyufvvfuvvufyYyPyYyxXPyYyxXPeeeeeee46定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y), (X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y).
13、)4 . 3(.)(),()|(,)(),(, 0)(,|yfyxfyxfXyYyfyxfyfyYYXYY记为条件概率密度的条件下为在则称若对于固定的47|( , )( | )dd( ),|( | ),( , )( | )|d . (3.5)( )xxX YYX YxX YYf x yfx yxxfyYyXP Xx YyFx yf x yFx yP Xx Yyxfy-称:为在条件下的条件分布函数记为:或即:48 |0,( , )( | )( )( , )( | )d( )|( | )d( | ).Y XXyY XXxX YX YxXxf x yfy xfxf x yFy xyfxP Xx yY
14、yfx yxFx ye-X类似地可以定义:对于固定的x,f在条件下Y的条件概率密度为:条件分布函数为:且有49例3 设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量(X,Y)具有概率密度, 0,),(,1),(其它GyxAyxf则称(X,Y)在G上服从均匀分布. 现设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y21上服从均匀分布, 求条件概率密度fX|Y(x|y).50解 由假设知随机变量(X,Y)具有概率密度, 0, 1,1),(22其它yxyxf ,()X YYf x yfx yfy因为51而y的边缘概率密度为: y 0 x22121( )( ,)d12d1,11,0,.Yyyfyf x y
15、xxyy-其它221xy21y-21 y-52于是当-1y1时有 2222|1/1,11,22 11,( | )0,X YYyxyyyf x yfx yfy-其它53例4 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到X=x(0 x1)时, 数Y在区间(x,1)上随机地取值. 求Y的概率密度fY(y).解 按题意X具有概率密度., 0, 10, 1)(其它xxfX-., 0, 1,11)|(|其它yxxxyfXY对任意给定的值x(0 x1), 在X=x条件下, Y的条件概率密度为54由(3.4)式得X和Y的联合概率密度为-., 0, 10,11)|()(),(|其它yxxxyfxfyxfXYX
16、-., 0, 10),1ln(d11d),()(0其它yyxxxyxfyfyY于是得关于Y的边缘概率密度为 55作业 第三章习题 第10页开始第8、12题56请提问57概率论与数理统计福建师范大学福清分校数计系福建师范大学福清分校数计系58第三章多维随机变量及其分布第2讲594 相互独立的随机变量60定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x,y有PXx,Yy=PXxPYy, (4.1)即 F(x,y)=FX(x)FY(y), (4.2)则称随机变量X和Y是相互独立的.61设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX
17、(x), fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x,y)=fX(x)fY(y)(4.3)几乎处处1成立.注1: 此处几乎处处成立的含义是: 在平面上除去面积为零的集合以外, 处处成立.62当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4)63例1、设随机变量X和Y的概率密度为( 2)220202 e,0,0,(,)0,.22 e,0,()0,2e,0,()0,xyxyxXxyyYxyfx yedyxfxedx
18、yfy-其 它求 证 X与 Y相 互 独 立 .证 :因 为其 它其 它故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互独立的.64例2 若X,Y具有联合分布律Y X01PY=j11/62/61/221/62/61/2PX=i1/32/31求证: X、Y是相互独立的.65例3 求证: 2例1中的随机变量F和D,不相互独立证： D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示: 证由于PD=1,F=0=1/10PD=1PF=0=(1/10)(1/10). 因而F和D不是相互独立的. D F1234PF=j01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD
19、=i 1/104/102/103/10166例4: 问二维正态随机变量X和Y是否相互独立？ 解：(X,Y)的概率密度为其边缘概率密度 的乘积为:2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2.xf x yxyy -22122212()()112212221222121211( )( )22()()11exp.22xyXYfx fyeexy -. ,XYfxfy67 由此可以看出，如果 ，则对于所有的x，y 都有 即有X和Y相互独立 反之，如果 X和Y相互独立，由于都是连续函数，故对于所有的x，y 都有 从而 0 ,XYfx fy ( , )XYf x yfx
20、 fy ( , )XYf x yfx fy2,222,11y -111我们特别令:x=则就这一等式有122( , )f x y068由此得出结论：二维正态随机变量X和Y相互独立的充要条件是069例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为其它其它, 0, 97, 2/1)(, 0,128, 4/1)(yyfxxfYX70因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为., 0, 97
21、,128, 8/1)()(),(其它yxyfxfyxfYX按题意需要求概率P|X-Y|1/12. 画出区域: |x-y|1/12, 以及长方形8x12; 7y9, 它们的公共部分是四边形BCCB,记为G. 显然仅当(X,Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为71y=xy-x1/12y-x-1/1278910111289BBCCAG72而G的面积=DABC的面积-DABC的面积).(81dd),(12/1|的面积GyxyxfYXPG-.6112112112132122-即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.73以上关于二
22、维随机变量的一些概念, 容易推广到n维随机变量的情况.n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数的定义为F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn其中x1,x2,.,xn为任意实数.74若存在非负函数f(x1,x2,.,xn),使得对于任意实数x1,x2,.,xn有 -nnxxxnnnttttttfxxxF11ddd),(),(212121则称f(x1,x2,.,xn)为(X1,X2,.,Xn)的概率密度函数.75设(X1,X2,.,Xn)的分布函数F(x1,x2,.,xn)为已知, 则(X1,X2,.,Xn)的k(1k0时, Z=X1+X2的概率密度为12121212
23、121212121211/()/012/110121/1111/012( )( )()d11e()ed()()e()d()() ()e(1)de() ()ZXXzxz xzzzzfzfx fzxxxzxxxzxxxztztttAzaabbaabaaaaaabaaaabaabababaabaa-GG-GG-GG令95现计算A, 由概率密度的性质得到:)0( ,e)(/121-zAzzfzZbaa.)(1),()/d(e)/(d)(121210/1021212121aaGbaaGbbbbaaaabaaaa-AAzzAzzfz即有96于是-.0, 0,e)(1)(/1212121其它zzzfzZba
24、aaaaaGb亦即Z= X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布, 即X1+X2G(a1+a2,b).上述结论还能推广到n个相互独立的G分布变量之和的情况. 即若X1,X2,.,Xn相互独立, 且Xi服从参数为ai,b(i=1,2,.,n)的G分布, 则X1+X2+.+Xn服从参数为a1+.+an,b的G分布.97(二) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y). 现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有PMz=PXz,
25、Yz.又由于X和Y相互独立, 得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=PMz=PXz, Yz=PXzPYz98即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.7)类似地, 可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz=1-P(XzPYz即Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z).(5.8)以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.99设X1,X2,.,Xn是n个相互独立的随机变量, 它们)10. 5().(1 )(1)(1 1)()9 . 5(),()()()(),min(),max(), 2 , 1)(2121minmax2
26、121xFxFxFzFzFzFzFzFXXXNXXXXnixFnniXXXXXXnniX-的分布函数分别为及则的分布函数分别为100特别, 当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数时有Fmax(z)=F(z)n,(5.11)Fmin(z)=1-1-F(z)n.(5.12)例4XYL1L2XYL1L2XYL1L2101设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成, 联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作). 设L1, L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为)14. 5(, 0, 0, 0,e)()13. 5(, 0, 0,
27、0,e)(-yyyfxxxfyYxXbaba其中a0, b0且ab. 试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.102解 (1)串联的情况.由于当L1,L2中有一个损坏时, 系统L就停止工作, 所以这时L的寿命为Z=min(X,Y).由(5.13), (5.14)式X,Y的分布函数分别为-. 0, 0, 0,e1)(, 0, 0, 0,e1)(yyyFxxxFyYxXba103由(5.8)式得Z=min(X,Y)的分布函数为-. 0, 0, 0,e1)()(minzzzFzba-. 0, 0, 0,e)()()(minzzzfzbaba于是Z=min(X,Y)的概率密度为104(2)并
28、联的情况由于当L1,L2都损坏时, 系统L才停止工作, 所以这时L的寿命Z为 Z=max(X,Y)按(5.7)式得Z的分布函数为-. 0, 0, 0),e1)(e1 ()()()(maxzzzFzFzFzzYXba-. 0, 0, 0,e)(ee)()(maxzzzfzzzbabababa于是Z的概率密度为105(3)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y按(5.3)式, 当z0时Z=X+Y的概率密度为.eedeedeed)()()(0)()(zzzyzyyzYXyyyyfyzfzfbaababaabababb
29、a-106当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为-. 0, 0, 0,ee)(zzzfzzbaabab107补充例题:一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和.这两个部件的长度X和Y为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表,求此仪器的分布律X91011P0.30.50.2Y67P0.40.6108解：设仪器总长度为Z=X+Y，其可能取值如下表： 9,6960.3 0.40.129,71060.3 0.6 0.5 0.40.3810,71160.5 0.6 0.2 0.40.3811,71170.2 0.60.12ZP XYP XP YP XYP XP YP XYP XP YP XYP XP Y所以 的可能取值为:15,16,17,18.如上表得:P X=15P X=16P X=17P X=18X9910101111Y676767Z=X+Y151616171718109则Z=X+Y的分布律为:z15161718P0.120.380.380.12110作业 第三章习题 第107页第19、21题111请提问