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1、3-1第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征概率论与数理统计教程概率论与数理统计教程 （第四版）（第四版）高等教育出版社高等教育出版社 沈恒范沈恒范 著著3-2大纲要求大纲要求3-33.1 数学期望数学期望3.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望3.3 关于数学期望的定理关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差方差与标准差3.5 某些常用分布的数学期望及方差某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩原点矩与中心矩3.7 协方差协方差与相关系数与相关系数3.8 切比雪夫不等式切比雪夫不等式与大数定律与大数定律学学 习习 内内 容容3-43.1 数学期望数学期望一
2、一.离散随机变量的数离散随机变量的数学期望学期望二二.连续随机变量的数连续随机变量的数学期望学期望三三.二维随机变量的数二维随机变量的数学期望学期望3-5若若级数级数绝对收敛，即绝对收敛，即 则称级数则称级数为为X的的数学期望数学期望,记为记为E(X).X记作记作 设设X是离散随机变量，其概率函数为是离散随机变量，其概率函数为离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望3-6解解:计算计算X1的数学期望的数学期望,由定义有由定义有 E(X1)例例1.甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X1,X2,它们的概率分布表分别为它们的概率分布表分别为:X1 0 1 2 X
3、2 0 1 2P(xk)0 0.2 0.8 p(xk)0.6 0.3 0.1试评定他们的成绩好坏试评定他们的成绩好坏.而乙的得分为而乙的得分为 =0 0+1 0.2+2 0.8=1.8(如甲如甲进行很多次射击进行很多次射击,其得分的平均分为其得分的平均分为1.8)E(X2)=0 0.6+1 0.3+2 0.1=0.5显然显然,乙的成绩比甲的差乙的成绩比甲的差.3-7 设设X是是连续型随机变量，其密度函数为连续型随机变量，其密度函数为f（x），），如果如果积分积分绝对收敛，即绝对收敛，即则则积分积分为为随机变量随机变量X的的数学期望数学期望，记作，记作连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望
4、3-8例例2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 求求X的数学期望。的数学期望。例例3 设随机变量设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为服从柯西分布，其概率密度为 求求X的数学期望。的数学期望。3-9二维随机变量的数学期望离散离散r.v.连续连续r.v.3-103.2 随机变量随机变量函数的数学期望函数的数学期望一.一.离散离散r.v.的函数的的函数的数学期望数学期望二二.连续连续r.v.的函数的的函数的数学期望数学期望3-11是是X的函数，它的取值为的函数，它的取值为则有则有（2）设设X是连续随机变量是连续随机变量，其密度函数为，其密度函数为又又是是X的函数，则的函数，则（1）设
5、设X是离散随机变量是离散随机变量，其概率函数为，其概率函数为3-12例例2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 求求Y=2X1的数学期望。的数学期望。例例1 1 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以以 X X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求求X X的概率分布与的概率分布与 。3-13例例3 3 游客乘电梯从底层
6、到电视塔顶层观光，电梯于每个整游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第点的第5 5分钟、分钟、2525分钟和分钟和5555分钟从底层起行，假设一游客分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第在早八点的第X X分钟到达底层候梯处，且分钟到达底层候梯处，且X X在在0,600,60上服从上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知解：已知 ，其概率密度为，其概率密度为设随机变量设随机变量Y Y是游客等候电梯的时间，则是游客等候电梯的时间，则则随机变量则随机变量Y Y的数学期望为的数学期望为3-143.3 关于关于数学期望的定理数学期望的定理定理
7、定理1 E(c)=c;其中其中c是常数；是常数；定理定理2 E(aX)=aE(X);定理定理3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)；定理定理4 注意：注意：E(X-Y)=?3-15定理定理5 两个独立两个独立随机变量随机变量X，Y，则则定理定理6 有限个独立有限个独立随机变量随机变量 ，则，则例例1 某保险公司规定，如果一年内，顾客某保险公司规定，如果一年内，顾客的投保事件的投保事件A发生，该公司就赔偿发生，该公司就赔偿a元，若元，若一年内事件一年内事件A发生的概率为发生的概率为P，为使公司收为使公司收益的期望值等于益的期望值等于a的的10%，该公司应该要求，该公司应该要求顾客交多少保险费？顾客
8、交多少保险费？3-163.4 方差与标准差方差与标准差一一.方差、方差、标准差的定义标准差的定义二二.方差的计算公式方差的计算公式三三.方差的性质定理方差的性质定理3-17(1)设设X为随机变量为随机变量,E(X)存在存在,称称X-E(X)为为离离差差;显然,EX-E(X)=0(2)设设X为随机变量为随机变量,E(X)存在存在,且且EX-E(X)2存在存在,则称此数学期望为则称此数学期望为X的的方差方差,记为记为:D(X)=EX-E(X)2(3)为为X的的标准差标准差或或均方差均方差.注意注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差、方差、标准差的定
9、义标准差的定义定义定义:3-18方差的计算公式方差的计算公式3-19方差的性质定理方差的性质定理(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=D(X)(4)D(aX+b)=a2D(X)(5)两个独立随机变量两个独立随机变量(6)有限个独立随机变量有限个独立随机变量注意：若注意：若 相互独立，相互独立，3-20课课 堂堂 练练 习习1.设设X,求下列求下列X的函数的数学期望的函数的数学期望.(1)2X-1,(2)(X-2)23.随机变量随机变量X只取只取-1,0,1三个值三个值,且相应概率比为且相应概率比为1:2:2,又又Y=X2,求求(1)E(X),(2)D(X),(3
10、)E(Y),(4)D(Y)。2.设设X,求求E(X),D(X).4.X,Y独立，独立，D(X)=6，D(Y)=3，则则D(2X-Y)=（）。）。3-213.5 某些常用分布的数学期望及方差某些常用分布的数学期望及方差（1）若）若则则（2）若）若则则（3）若）若则则（4）若）若则则（5）若）若则则（6）若）若则则3-221 设随机变量设随机变量XP(2),则则E(X)=(),D(X)=(),E(X2)=()2 若随机变量若随机变量XB(n,p),已知已知E(X)=2.4，D(X)=1.44,则则n=(),p=()例题例题3 若随机变量若随机变量XU(a,b),已知已知E(X)=2.4，D(X)=
11、3,则则a=(),b=()3-233.6 原点矩原点矩与中心矩与中心矩(1)若若E(Xk),k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X 的的k阶原点矩阶原点矩.记作记作(2)若若EX-E(X)k,k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X 的的k阶中心矩阶中心矩.记作记作特别：特别：k=1时，时，特别：特别：k=1时，时，k=2时，时，3-243.7 协方差（协方差（相关矩相关矩）与相关系与相关系数数离散离散 r.v.连续连续 r.v.注：注：相关矩描述随机变量之间的相关性；相关矩描述随机变量之间的相关性；3-25相关矩的性质相关矩的性质3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);4.Cov(a1X+
12、b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中其中a1,a2,b1,b2是常数是常数;5.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);1.Cov(X，X)=DX；2.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);6.若若X,Y相互独立相互独立,则则Cov(X,Y)=0;反之不成立反之不成立.注意：注意：若随机变量若随机变量X与与Y不相互独立，则（不相互独立，则（X+Y）和（和（X-Y）的方差与协方差的关系的方差与协方差的关系3-26相关系数相关系数标准化随机变量标准化随机变量 与与 的协方差，的协方差，称为称为随机变量随机变量X和和Y的相关系数的相关系数，记作，记
13、作 即即 由协方差的定义，得由协方差的定义，得3-27相关系数的性质相关系数的性质定理定理1定理定理2 当且仅当随机变量当且仅当随机变量Y与与X之间存在线性关系之间存在线性关系 时，相关系数时，相关系数 的绝对值等于的绝对值等于1，并且，并且定理定理3 设随机变量设随机变量X与与Y独立，则他们的相关系数独立，则他们的相关系数 等于零，即等于零，即 。3-283.8 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律一.一.切比雪夫不等式切比雪夫不等式二二.大数定律大数定律切比雪夫定理切比雪夫定理辛钦大数定理辛钦大数定理伯努利定理伯努利定理3-29 切比雪夫不等式切比雪夫不等式等价形式为：等价形式
14、为：设设随机变量随机变量X有数学期望有数学期望E(X)和方差和方差D(X)，则对于任意正数则对于任意正数 ，下列不等式成立，下列不等式成立3-30课课 堂堂 练练 习习例例 1 设随机变量设随机变量 X 的方差为的方差为2，则根据切比雪夫不等式，则根据切比雪夫不等式 有有例例 2 设随机变量设随机变量X 和和 Y 的数学期望分别为的数学期望分别为-2 和和 2，方，方 差分别为差分别为1 和和 4，而相关系数为，而相关系数为 0.5，则根据切比则根据切比雪雪 夫不等式有夫不等式有 例例3 已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布为的概率分布为X 1 2 3 p 0.2 0.3 0.5试利用切比
15、雪夫不等式估计事件试利用切比雪夫不等式估计事件的的概率概率.3-31大数定律：大数定律：切比雪夫定理切比雪夫定理大数定律！大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性.设设随随机机变变量量序序列列 相相互互独独立立，且且均均存存在在数数学学期期望望 ，方方差差 (n=1,2,.),n=1,2,.),则则对对任任意的意的0 0，有有3-32依概率收敛依概率收敛设随机序列设随机序列a 是一个常数，若对于给定的正数是一个常数，若对于给定的正数 ，有有则称序列则称序列依依概率收敛于概率收敛于a.切比雪夫定理切比雪夫定理!3-33设设随随机机变变量量序序列列 X Xn n 是是独独立立同同分分布布的的，且且有有相相同的期望与方差：同的期望与方差：，(n=1,2,.),n=1,2,.),则对任意的则对任意的0 0，有有算术平均值法则！算术平均值法则！辛钦大数定理辛钦大数定理3-34 伯努力定理伯努力定理频率的稳定性！小概率事件！频率的稳定性！小概率事件！设设每每次次实实验验中中事事件件A A发发生生的的概概率率为为p p，则则事事件件A A在在n n次试验中发生的频率次试验中发生的频率 ，当试验次数，当试验次数 时，则对任意的时，则对任意的0 0，有有3-35本章小结本章小结