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1、3.1例例1.1.甲乙掷色子甲乙掷色子,观察点数。观察点数。w1i=甲掷甲掷i点点w2j=乙掷乙掷j点点(i,j)i,j=(1,2,6)X,Y对于随机试验对于随机试验E，是其样本空间。是其样本空间。X(w)和和Y(w)是定义在样本空间是定义在样本空间上的两个随机变量上的两个随机变量,由它们构成的向量由它们构成的向量(X,Y)称为称为二维随机变量二维随机变量或二维随机向量或二维随机向量。l二维二维随机变量的定义随机变量的定义X(w),Y(w)w.(x,y)xyl联合分布函数联合分布函数设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实数对于任意实数x,y,称二元函数称二元函数F(x,y)=P
2、(X x,Yy)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的的联合分布函数联合分布函数，简称分布函数。简称分布函数。xy(x,y)2.0F(x,y)11.x1x2,F(x1,y)F(x2,y)y1X2).Auvy=2xG24(x,y)(x,y)(1)当当x0或或y0时时,F(x,y)=0当当x2,y4时时,F(x,y)=1BCD(x,y)(x,y)当当0 x2,y2x时时,当当x2,0y4时时,当当0 x2,0y0,20,|1,则称则称(X,Y)服从服从参数为参数为1,2,1,2,的的二维正态分布二维正态分布。记作记作(X,Y)N(1,2,12,22,)3.2l边缘分布边缘分布设二维随机变量设二维
3、随机变量(X,Y)的联合的联合分布函数为分布函数为F(x,y)=P(Xx,Yy),则随机变量则随机变量X的分布函的分布函数数称为称为(X,Y)关于关于X的边缘分布函数的边缘分布函数。称为称为(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。l边缘分布边缘分布xyFX(x)xyFY(y)l二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布设设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为为离散型随机变量，其联合分布律为则则(X,Y)关于关于X、Y的的边缘分布函数边缘分布函数分别为分别为(X,Y)关于关于X、Y的的边缘分布律边缘分布律分别为分别为pjp1 p2 pj pip1p2.pi.XYx
4、1x2.xi.y1y2.yjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1例例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量抽取两次，定义随机变量X、Y如下如下 对下面两种抽取方式：对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；有放回抽取；(2)无放回抽取，求无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。的边缘分布律。(1)有放回抽取有放回抽取(2)无放回抽取无放回抽取pi2/53/5pj2/53/51pi2/53/5pj2/53/51l二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机
5、变量的边缘分布设设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为数和联合概率密度分别为F(x,y)和和 f(x,y),则则分别称为分别称为(X,Y)关于关于X和和Y的的边缘概率密度边缘概率密度函数函数，简称边缘概率密度。，简称边缘概率密度。例例2.设设(X,Y)的分布密度的分布密度是是求求:(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。解解:如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)满足满足,则称则称X与与Y相互相互独立独立.连续型连续型l随机变量的独立性随机变量的独立性对任意对任意x,y,有有pjp1 p2 pj pip1p2.pi.
6、XYx1x2.xi.y1y2.yjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1离散型离散型例例3.已知已知(X,Y)的分布如下，判断的分布如下，判断X、Y是否独立。是否独立。XY1231231/31/61/901/61/9001/9例例4.已知已知X、Y独立独立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/611/241/43/41/121/31/43/81/2例例5.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：的分布密度为：求求(X,Y)关于关于X,Y的边缘分布密度的边缘分布密度,并讨并讨论论X与与Y的独立性。的独立性。(X,Y)N(
7、1,2,12,22,)X N(1,12)Y N(2,22)若若(X,Y)N(1,2,12,22,)X与与Y相互相互独立独立=0例例6.设设(X,Y)在区域在区域G=(x,y):0y2x+2,-1x 0 上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求(X,Y)关于关于X,Y的边的边缘缘 分布密度分布密度,并判断并判断X与与Y是否独立。是否独立。xy-12y=2x+2解解:SG=13.3二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布的分布随机变量随机变量Z的分布的分布?Z=g(X,Y)设设(X,Y)为离散型随机变量，为离散型随机变量，Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量为一维离散型随机变量.若对于若对于不同的不同
8、的(xi,yj),g(xi,yj)的值互不相同的值互不相同,则则Z的分布律为的分布律为 l二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布若对于不同的若对于不同的(xi,yj),g(xi,yj)有相同的有相同的值值,则应取这些相同值对应的概率之和。则应取这些相同值对应的概率之和。例例1.设（设（X,Y）联合概率分布如下联合概率分布如下,求求Z1=X+Y,Z2=XY的概率分布。的概率分布。XY010 1 2离散型离散型卷积公式卷积公式例例2.设设X和和Y相互独立，其分布律为相互独立，其分布律为求求Z=X+Y的分布律。的分布律。例例3:设设X,Y相互独立相互独立,且且XP(1),YP(2)
9、证明证明:Z=X+YP(1+2)证证:Z=X+YP(1+2)例例4.设设(X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为f(x,y),边边 缘分布密度分别为缘分布密度分别为fX(x),fY(y),求求 Z=X+Y的分布密度。的分布密度。l二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布xyx+y=z解解:若若X、Y独立独立连续型连续型卷积公式卷积公式例例5.若若XN(0,1),YN(0,1)，X与与Y独立。独立。证：证：Z=X+YN(0,2)。X N(1,12)Y N(2,22)Z1=X+Y N(1+2,12+22)X与与Y相互相互独立独立Z2=aX+bY N(a1+b2,a212+b222
10、)Z=aX+bYX与与Y相互相互独立独立Z=X-Y例例6.若若XN(0,1),YN(0,1)，X与与Y独立。独立。解解:当当z0，则称则称为在为在Y=yj下，随机变量下，随机变量X的的条件分布律条件分布律.l二维离散型随机变量的条件分布二维离散型随机变量的条件分布pjp1 p2 pj pip1p2.pi.XYx1x2.xi.y1y2.yjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1pjp1 p2 pj pip1p2.pi.XYx1x2.xi.y1y2.yjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1l条件概率分布的性质条件概率分布的性质X与与Y相互相互独立独立l二维连续型随机变量的条件分布二维连续型随机变量的条件分布设对于任意给定的设对于任意给定的0,有有P(y-0,若若存在存在,则称此极限为在则称此极限为在Y=y下，随机变量下，随机变量X的的条件概率分布函数条件概率分布函数.为已知为已知 Y=y下，下，X的的条件概率密度函数条件概率密度函数.为已知为已知 X=x下，下，Y的的条件概率密度函数条件概率密度函数.求条件概率密度求条件概率密度fY|X(y|x)。例例1.若若(X,Y)N(1,2,12,22,)3.5*l作业作业习题三习题三2、3、4、5、7、8（1）、）、9、10、11、12、13、15、16、17、19